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受迫振动 共振
一、单选题
1．如图所示，一根轻弹簧下端连接一个小球，小球浸入盛有黏滞液体的烧杯。现使小球在竖直方向做小幅度振动。小球相对平衡位置的位移随时间变化的关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（ ）
A．在时刻速度为零
B．在时刻向下运动
C．在时刻速度为零
D．木筷（含铁丝）振动过程中，机械能保持不变
3．对下列各图的叙述，正确的是（　　）
A．图甲为大楼建筑中的阻尼器，当阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反
B．图乙中，C摆开始振动后，A、B、D三个摆中B摆的振幅最大
C．图丙为一个单摆做受迫振动的振幅与驱动力频率的曲线，此单摆的固有周期约为0.5 s
D．图丁中随海浪上下振动的游艇运动到最高点时具有向上的最大加速度
4．如图是水平弹簧振子做阻尼振动的位移—时间图像，弹簧振子在P点与N点所对应时刻具有相同的（ ）
A．速度 B．动能 C．势能 D．机械能
5．一单摆，图是其做阻尼振动的位移-时间图像，图是其做受迫振动的共振曲线。以下说法正确的是（ ）
A．受到的拉力 B．机械能
C．若仅摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若仅摆长增大，共振曲线的峰将向右移
6．如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，当圆盘静止时，小球可稳定振动。改变圆盘匀速转动的周期，其共振曲线（振幅 A与驱动力的频率f的关系）如图乙所示。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，则下列说法正确的是（　　）
A．此振动系统的固有频率约为0.25Hz
B．此振动系统的振动频率约为3Hz
C．若圆盘匀速转动的周期减小，系统的振动频率变大
D．若圆盘匀速转动的周期增大，共振曲线的峰值将向左移动
7．如图所示，A、B、C三个小钢球的质量分别为2m、、m，且A、C两摆的摆长相同。当A球振动后，通过张紧的水平细绳给其他各摆施加驱动力，当B、C振动达到稳定时，下列说法正确的是（　　）
A．B的振动周期最大
B．A比B、C振动的快
C．C的振幅比B的振幅大
D．C比B的振动周期大
8．某研究团队利用四分之一波长管改进了一种声学发电机系统，如图，FEP塑料膜恒带负电并附着在弹性电极上，二者与3D打印的PLA导电塑料正对，弹性电极通过外电路与PLA导电塑料相连，在声波的驱动下做受迫振动，在外电路中产生交流电。则根据你所掌握的知识，下列说法正确的有（ ）
A．该装置的原理是电磁感应
B．将声波振动产生的机械能转化为电能
C．声音的振幅越大，则交流电的频率越大
D．同一波长管对不同波长的声波用来发电效率相等
9．在张紧的水平绳上挂5个单摆，先让A摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、B、C的摆长相等，下列判断错误的是（ ）
A．振动稳定后E摆的振动频率最大 B．E摆的固有频率最大
C．振动稳定后5个摆的振动频率都相等 D．B、C摆的振幅比D、E要大
10．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅与驱动力频率的关系）如图所示，则（ ）
A．此单摆的固有周期为
B．此单摆的摆长约为
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
11．如图所示，四个摆的摆长分别为，，，现用一个周期等于2秒的驱动力，使它们做受迫振动，那么当它们振动稳定时，下列判断正确的是（　　）
A．四个摆的周期和振幅都相等 B．四个摆的周期不等但振幅相等
C．四个摆的周期振幅都不等 D．摆3的振幅最大
12．如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统。现使圆盘以不同的频率转动，测得小球的振幅与圆盘转动频率的关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A．小球振动频率始终等于3Hz
B．小球振动频率始终小于圆盘的转动频率
C．小球和弹簧组成振动系统的固有频率为3Hz
D．若改变小球的质量，则图乙中曲线峰值对应的频率不变
二、多选题
13．近年来，我国超高层建筑（如上海中心大厦、深圳平安金融中心）广泛安装调谐质量阻尼器（TMD），用于削弱地震、强风等带来的振动破坏。2025年，我国自主研发的新一代智能阻尼器在多个地标建筑投入使用，可实时适配不同工况的振动需求，下列有关说法正确的是（ ）
A．阻尼器做受迫振动时的频率与自身的固有频率无关
B．阻尼器做受迫振动时的频率与所在建筑物振动的频率相同
C．阻尼器摆动幅度与地震、强风等外界因素的频率无关
D．阻尼器能起到减震作用，其原理是阻尼器能改变建筑物的固有频率，从而起到保护作用
14．如图是摆球做阻尼振动的位移－时间图像，下列说法正确的是（ ）
A．振动过程中周期不变 B．摆球在P时刻的势能等于N时刻的势能
C．摆球在P时刻的动能等于N时刻的动能 D．摆球在P时刻的机械能等于N时刻的机械能
15．单摆做阻尼振动的振动图线如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．摆球时刻的动能等于时刻的动能
B．摆球时刻的势能等于时刻的势能
C．摆球时刻的机械能等于时刻的机械能
D．摆球时刻的机械能大于时刻的机械能
16．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。每根钢轨长为，列车固有振动周期为。下列说法正确的是（　　）
A．列车的危险速率为
B．列车过桥需要减速，是为了防止桥梁发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
17．下列说法正确的是（　　）
A．图①中单摆在摆动的过程中振幅越来越小是做受迫振动
B．图②为在水面上振动的波源，为在水面上的两块挡板，要使处水也能发生振动，则波源的频率应该变小
C．图③是一个单摆做受迫振动，当驱动力的周期为2秒时，该单摆发生共振
D．图④救护车向右运动的过程中，A、B两人听到警笛声的频率为
三、解答题
18．如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
(1)小球的运动有哪些特点？为什么小球最终停止运动？
(2)满足什么条件才可以把小球和弹簧组成的系统看成弹簧振子？
(3)对于水平弹簧振子，小球在平衡位置时受力情况如何？弹簧所处的状态如何？
(4)对于竖直弹簧振子，如图所示，小球在平衡位置时受力情况如何？弹簧所处的状态如何？
19．一个单摆做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，重力加速度g约为10 m/s2，求：
(1)此单摆的频率？
(2)此单摆的周期
(3)此单摆的摆长
(4)若摆长增大，共振曲线的峰将向左还是向右移动
试卷第4页（共4页）
试卷第3页（共4页）
《受迫振动 共振》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C A C C B A A
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 D C AB AB BD ABD BC
1．C
【详解】小球在黏滞液体中做小幅度振动，运动过程中会持续受到液体的黏滞作用，小球的机械能会不断克服阻力做功而损耗，对应的振动振幅会随时间逐渐减小。
故选C。
2．A
【详解】A．在振动图像（图）中，时刻是图中的波峰位置，也就是木筷向上运动到最大位移处，速度为零，故A正确；
BC．图像的切线斜率表示瞬时速度，时刻图像的斜率为正，说明速度方向为正（竖直向上），且斜率不为零，因此木筷正向上运动、速度不为零，故BC错误；
D．由图乙可知木筷的振动振幅不断减小，属于阻尼振动，运动过程中要克服水的阻力做功，机械能不断减小，故D错误。
故选A。
3．A
【详解】A．大楼的调谐阻尼器作用就是抵消大楼的振动，阻尼器摆动方向始终与大楼振动方向相反，从而抑制共振、减小大楼摆动幅度，故A正确；
B．图乙中C摆振动后，驱动力频率等于C摆的固有频率；共振发生在固有频率等于驱动力频率时，图中A摆摆长与C摆摆长相等，固有频率和C摆相同，因此A摆振幅最大，故B错误；
C．受迫振动共振时，驱动力频率等于固有频率，由丙图得单摆固有频率，因此固有周期，故C错误；
D．游艇随海浪上下做简谐类振动，运动到最高点时位移向上最大，回复力方向向下，因此加速度方向向下，是向下的最大加速度，故D错误。
故选 A。
4．C
【详解】AB．图斜率表示速度，由图可知P点速度大于N点速度，因此P点动能大于N点动能，故AB错误；
CD．由于弹簧振子在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减小，弹簧振子的机械能逐渐减少，所以弹簧振子在P点所对应时刻的机械能大于在N点所对应的机械能，由于P、N两时刻弹簧振子的位移大小相同，可知势能相同，故C正确，D错误。
故选C。
5．A
【详解】A．点与点的位移大小相等，摆球所处高度相同。阻尼振动的机械能随时间减小，且点对应时刻早于点，所以，进而，两点摆角大小相同，由沿摆线方向的动力学关系有
所以，故A正确；
B．阻尼力做负功，机械能随时间减小，点对应时刻早于点，所以，故B错误；
CD．单摆的固有频率
摆长增大时减小；共振曲线的峰值对应驱动力频率等于，峰值将向左移动，故CD错误。
故选A。
6．C
【详解】A．由图乙共振曲线可知，此振动系统的固有频率约为，故A错误；
B．此振动系统的振动频率为，故B错误；
C．因系统的振动频率等于驱动力的频率，根据，若圆盘匀速转动的周期减小，系统的振动频率变大，故C正确；
D．因共振曲线的峰值与振动系统的固有频率有关，振动系统的固有频率不变，若圆盘匀速转动的周期增大，系统的振动频率变小，但是共振曲线的峰值不变，故D错误。
故选C。
7．C
【详解】AD．B和C做受迫振动，周期都等于A球的振动周期，所以B、C的振动周期相等，故AD错误；
B．A、B、C的振动周期相等，所以振动的快慢相同，故B错误；
C．由于C的摆长与A的摆长相等，则C的固有周期与A的振动周期相等，即C的固有周期与驱动力周期相等，C发生共振，振幅最大，所以C的振幅比B的振幅大，故C正确。
故选C。
8．B
【详解】A．该装置中没有磁场参与，不是利用电磁感应原理，故A错误；
B．声波驱动弹性电极振动，消耗了声波的机械能，在外电路中产生了电能，即将声波振动产生的机械能转化为电能，故B正确；
C．受迫振动的频率等于驱动力的频率，交流电的频率等于声波振动的频率，与声音的振幅无关，故C错误；
D．四分之一波长管具有共振选频特性，对于不同波长的声波，发电效率不相等，当声波波长满足特定条件时，管内形成共振，发电效率最高，故D错误。
故选B。
9．A
【详解】AC．受迫振动稳定后，物体的振动频率等于驱动力的频率，本题中摆振动带动其他摆振动，摆是驱动源，其他摆做受迫振动，所以振动稳定后，所有摆的振动频率都等于摆的振动频率，即5个摆的振动频率相等，故A项错误、C项正确，C项不符合题意、A项符合题意；
B．单摆的固有频率由摆长决定，公式为
由图可知，摆的摆长最短，所以摆的固有频率最大，故B项正确，不符合题意；
D．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，发生共振，振幅最大。
已知，则，、摆的固有频率等于驱动力频率，发生共振，振幅最大；而、摆的摆长与不同，固有频率与驱动频率不相等，不发生共振，振幅较小。所以、摆的振幅比、要大，故D项正确，不符合题意。
故选A。
10．A
【详解】A．由共振曲线可知，振幅最大时驱动力频率为，故单摆的固有频率，固有周期，故A正确；
B．由单摆周期公式
整理得，故B错误；
CD．由
可知，摆长增大时固有频率减小，共振峰向左移动，故CD错误。
故选A。
11．D
【详解】ABC．根据单摆的周期公式可知，将四个单摆的摆长代入公式，可求得它们的固有周期分别为，，，
当四个摆振动起来后，驱动力使得摆做受迫振动，由于受迫振动物体的周期等于驱动力的周期，所以四个摆振动起来后的振动周期都等于，故各摆振动的周期都相等；由于四个摆的摆长不同，固有周期不同，故振幅不全相同。故ABC错误；
D．当驱动力的周期接近物体的固有周期时，其振幅最大，此时物体发生共振。由于摆的固有周期与驱动力的周期相等，故摆发生共振，振幅最大，故D正确。
故选D。
12．C
【详解】AB．小球做受迫振动，稳定后振动频率等于驱动力的频率，随圆盘转动频率改变而改变，始终等于圆盘的转动频率，并不是始终等于3Hz，故AB错误；
C．当驱动力频率等于振动系统的固有频率时，发生共振，振幅最大。由图乙可知，振幅峰值出现在，说明该振动系统的固有频率为，故C正确；
D．若改变小球质量，振动系统固有频率会发生改变，因此乙图中峰值对应的频率也会改变，故D错误。
故选C。
13．AB
【详解】A．阻尼器做受迫振动时的频率与驱动力的频率相同，与自身的固有频率无关，故A正确；
B．阻尼器做受迫振动时的频率与驱动力的频率相同，即与所在建筑物振动的频率相同，故B正确；
C．阻尼器摆动的幅度受风力影响，当大厦晃动频率与阻尼器的固有频率相同时，阻尼器发生共振，摆幅达到最大值，可知摆动幅度与地震、强风等外界因素的频率有关，故C错误；
D．阻尼器在摆动时吸收能量，达到减震效果，而不是改变建筑物的固有频率，故D错误。
故选AB。
14．AB
【详解】A．阻尼振动中，虽然振幅逐渐减小，但是周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A正确。
B．因P、N两时刻摆球的位移相同，故摆球P时刻的势能等于N时刻的势能，B正确。
CD．由于振动的能量逐渐减小，故摆球P时刻的动能大于N时刻的动能，摆球在P时刻的机械能大于N时刻的机械能，CD错误。
故选AB。
15．BD
【详解】A．图斜率表示速度，由图可知时刻的速度比时刻的速度大，即时刻的动能比时刻的动能大，故A错误；
B．由题图可以看出、两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，故势能相同，故B正确；
CD．单摆做阻尼振动，因此其机械能不断减小，故C错误，D正确。
故选BD。
16．ABD
【详解】A．设每根钢轨的长度为，列车的运行速率为，列车的固有振动周期为。车轮受到周期性冲击的周期为
当时，列车发生共振，此时的速率为危险速率，故，A正确；
B．列车通过桥梁时，会对桥梁产生周期性作用力，减速可以改变驱动力的频率，以避免其接近桥梁的固有频率而引起共振，B正确；
C．列车做受迫振动，其振动频率等于驱动力的频率，不一定等于列车的固有频率，只有发生共振时两者才相等，C错误；
D．由A项可知，列车的危险速率为
列车的固有振动周期不变时，增加钢轨长度可提高列车发生共振时的速率，有利于列车高速运行，D正确。
故选ABD。
17．BC
【详解】A．图①中的单摆做的是阻尼振动，故A错误；
B．要使A处水也能发生振动，要求波要发生衍射，由波长越长，越容易衍射，根据可知，v相同，频率f越大，波长越短，波越不容易发生衍射，因此要使A处水也能发生振动，则波源S频率应该变小，故B正确；
C．由图可知，单摆的振幅最大时频率f=0.5Hz，此时发生共振，所以驱动力周期T==2s，故C正确；
D．图④救护车向右运动的过程中，根据多普勒效应可知，A听到警笛声的频率变高，B听到警笛声的频率变低，即，故D错误。
故选BC。
18．(1)刚开始的一段时间，小球做往复运动。小球运动时受到摩擦阻力和空气阻力的作用，所以小球最终停止运动
(2)需要满足以下4个条件：
①弹簧的质量与小球相比可以忽略；
②小球体积足够小，可以把小球看成质点；
③小球运动时受到的摩擦阻力和空气阻力可以忽略；
④小球从平衡位置被拉开的位移在弹簧的弹性限度内
(3)所受合力为0，弹簧处于原长状态
(4)所受合力为0，弹簧处于拉伸状态
【详解】（1）刚开始的一段时间，小球做往复运动。小球运动时受到摩擦阻力和空气阻力的作用，所以小球最终停止运动。
（2）把小球和弹簧组成的系统看成弹簧振子模型需要满足以下4个条件：
①弹簧的质量与小球相比可以忽略；
②小球体积足够小，可以把小球看成质点；
③小球运动时受到的摩擦阻力和空气阻力可以忽略；
④小球从平衡位置被拉开的位移在弹簧的弹性限度内。
（3）对于水平弹簧振子，小球在平衡位置时所受合力为0，弹簧处于原长状态。
（4）对于竖直弹簧振子，小球在平衡位置时所受合力为0，弹簧处于拉伸状态。
19．(1)0.5Hz
(2)2s
(3)
(4)左
【详解】（1）受迫振动发生共振时：驱动力频率 = 单摆固有频率。从共振图像：峰值对应频率，即单摆固有频率为0.5Hz。
（2）
（3）由
（4）摆长L增大，由，周期T变大，固有频率变小。共振峰对应固有频率，频率变小，所以共振曲线的峰向左移动。
答案第2页（共3页）
答案第1页（共3页）实验：用单摆测量重力加速度
一、单选题
1．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为。摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为，摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、F3、均已知。当地的重力加速度为g。下列选项正确的是（ ）
A．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
B．单摆n次全振动的时间为
C．多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立
D．在图2的测量过程中，满足的关系
二、实验题
2．某班同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的探究：
(1)用游标卡尺测量摆球直径，如图所示，则摆球直径为________cm，测量单摆摆长为；
(2)用秒表测量单摆的周期。在平衡位置按下秒表开始计时，同时数下数字“0”，若同方向再次经过该位置时记为“1”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间，算出振动周期=________。
(3)误将摆线长和球的直径之和当成了摆长，将测量数据代入公式得到的测量结果________真实的重力加速度。（填＞、＜、或＝）
(4)该组同学纠正了之前的错误操作，尝试测量不同摆长对应的单摆周期，并在坐标纸上画出与的关系图线，如图所示。由图线计算出的重力加速度的值________m/s2。（，计算结果保留3位有效数字）
3．(1)用单摆测量重力加速度，图甲所示的各项实验操作中合理的是 。
A．采用如图甲中所示的悬挂方式
B．如图甲中，在小球摆到最高点时开始计时
C．如图甲中，用竖直放置的直尺和直角板测量球心到悬点间距离，作为摆长
(2)采用如图乙所示的实验装置继续探究，取一根细线从金属戒指中穿过，两端悬于细杆上。实验步骤如下：
①用刻度尺测得两个悬点距离为，两悬点间细线总长为；
②轻敲戒指使之在垂直于纸面的竖直平面内摆动，摆角小于；
③记录摆动个全振动的总时间，计算周期数值。多次测量，得到周期的平均值；
④如图丙所示，选用游标卡尺的测量爪__________（选填“”或“”）测量戒指内径。十分度游标卡尺上的示数如图丁所示，那么该戒指的内径__________；
⑤等效摆长为__________；
A、 B、 C、
⑥改变细线长度，多次重复上述实验步骤；
⑦将数据绘制成图像，如图戊所示，请将图中数据点进行拟合；__________
⑧经计算得到重力加速度的测量值为__________。（取，结果保留位有效数字）
(3)题（2）中如果等效摆长忘了加戒指的半径，用测得的等效摆线长和对应周期的数据绘制成图像，则图像的斜率表示什么？__________如果其他操作都准确，测得的重力加速度的值是否受影响？__________
4．在“利用单摆测重力加速度”的实验中，
(1)实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数如图所示，其读数为____________．
(2)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________________
A．甲的说法正确
B．乙的说法正确
C．两学生的说法都是错误的
(3)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，刘同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径。具体做法如下：第一次量得悬线长，测得振动周期为；第二次量得悬线长，测得振动周期为，由此可推得重力加速度的表达式为=________________
(4)下列振动图像真实地描述了对摆长约为的单摆进行周期测量的四种操作过程。图中横坐标原点表示计时开始，均为次全振动的图像，已知，，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是__________（填字母代号）
A． B．
C． D．
5．某同学用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。
(1)实验过程中，分别用图乙、图丙的两种不同方式悬挂小球，你认为________（选填“乙”或“丙”）的悬挂方式较好。
(2)下列振动图像真实地描述了摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四组信息。图中横坐标原点表示计时起点，图A、B、C、D为单摆全振动的图像，符合实验要求且误差最小的是（ ）。（已知sin5°=0.087，sin15°=0.26）
A． B．
C． D．
(3)如果在实验时用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。该同学测出多组摆线长L与周期T的数据，根据实验数据，作出的关系图像如图丁所示，根据图中数据可算出重力加速度为________m/s2（取，结果保留三位有效数字），仅考虑该数据处理方法，他得到的重力加速度________真实值（填“大于”、“小于”或“等于”）。
6．请完成下列实验操作和计算。
(1)在“练习使用游标卡尺和螺旋测微器的实验中”，用游标卡尺测量小球的直径，示数如图甲所示，读数为_______cm。
(2)某同学利用力传感器和单摆小球来验证机械能守恒定律，实验步骤如下：
a．按图乙所示固定力传感器；
b．取一根不可伸长的轻质细线，一端连接一小铁球，另一端固定在力传感器上；
c．让小铁球自由悬挂并处于静止状态，从计算机中得到拉力读数为；
d．让小铁球以较小的角度在竖直平面内的A、B之间摆动，从计算机中得到拉力随时间变化的关系图像如图丙所示，其中是拉力的最大值，是拉力的最小值。
①小铁球的重力为________（用题中所给字母表示）。
②该同学想在此基础上继续测定当地的重力加速度，首先根据图丙可知单摆的周期为________；然后用游标卡尺测出小铁球的直径D，还测得该单摆的摆线长为L，则重力加速度的表达式为________（用物理量、L、D表示）。
7．小明同学进行“用单摆测定重力加速度”实验。
（1）该同学组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是__________。（填正确答案前的标号）
（2）实验时，用刻度尺测得摆线的长度为，用游标卡尺测得球的直径为。
（3）摆球在竖直平面内稳定摆动后，若用秒表记录单摆经历次全振动所用的时间，则此单摆的周期__________。重力加速度大小__________（用、和表示）。
（4）与重力加速度的真实值比较，发现根据公式计算出的结果偏大，原因可能是__________。（多选，填正确答案前的标号）
A．振幅偏小
B．将摆线长加直径当成了摆长
C．将摆线长当成了摆长
D．将通过平衡位置的次数当成全振动次数
8．小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用甲图装置做了该实验。
(1)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d=___________mm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g=___________（用L、d、T表示）。
(2)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的___________（填对应序号）。
(3)在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T=___________（用n、t表示）。
(4)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2-l图像如丙图所示，则可得知月球重力加速度大小为___________m/s2。
9．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。
(1)组装单摆时，应该选用________（选填器材前的字母代号）。
A．长度为1 m左右的细线 B．长度为20 cm左右的细线
C．直径约为1.0 cm的木质球 D．直径约为1.0 cm的小钢球
(2)某同学将摆球沿圆弧拉离竖直方向约，然后由静止释放，摆动稳定后，自摆球经过最低点时记为0次并用秒表开始计时，此后摆球每经过最低点一次计数一次，计数到50时，秒表的读数为t，则摆的振动周期________（用t表示）。图丁中用游标卡尺测量的小球直径是________cm。
(3)甲同学多次改变摆长L，测量对应的周期T，绘制出图像，如图乙所示，直线的斜率为k。由此可得重力加速度________（用含k的式子表示）。
(4)已知四位同学做出的图线的示意图如图丙中的a、b、c、d所示，其中a、b和d平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是_______（选填选项前的字母）。
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值大于图线b对应的g值
D．出现图线d的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L
(5)实验过程中，由于操作失误给了小球初速度，使小球做圆锥摆运动，但仍按照单摆公式计算。请通过推理，证明此操作测量出的重力加速度偏大。________
10．用单摆测定当地重力加速度的实验装置如图所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用______（选填选项前的字母）。
A．长度为1.0m左右的细线 B．长度为30cm左右的细线
C．直径为1.8cm的塑料球 D．直径为1.8cm的铁球
(2)用毫米刻度尺测出摆线长l，用游标卡尺测出摆球的直径d，用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t，则当地重力加速度的表达式为______（用测出的物理量的符号表达）。
(3)下表是某同学记录的3组数据，并做了部分计算处理。请计算出第3组实验中的周期______s和重力加速度______。
组次 1 2 3
摆长L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/ 9.74 9.73
(4)用多组实验数据作出图像，也能求出重力加速度g。已知三位同学作出的图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是______（选填选项前的字母）
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
(5)某同学在家里测重力加速度。他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为30cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长。实验中，当O、A间细线的长度分别为、时，测得相应单摆的周期为、。由此可得重力加速度______（用、、、表示）。
11．某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中
(1)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长 ，再用游标卡尺测量摆球直径 ，其示数如图乙所示，则_________；
(2)该组同学测出五组单摆振动周期 与摆长的数据如下表，请在图丙中作出关系图像。__________根据图像算出重力加速度_________；（结果保留位有效数字）
次数
(3)若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是_________（写出一个）。
试卷第4页（共4页）
试卷第3页（共4页）
《实验：用单摆测量重力加速度》参考答案
题号 1
答案 A
1．A
【详解】A．摆球在光滑斜面上运动，沿斜面方向的等效重力加速度为
仅和斜面倾角有关，改变可获得不同的等效重力加速度，故A正确；
B．单摆摆动时，最高点速度为0，拉力最小；最低点速度最大，拉力最大。由图2可知，单摆的周期
因此次全振动的时间为，故B错误；
C．原结论为“单摆周期与重力加速度的二次方根成反比”，即
本题中等效重力加速度
即，因此，应多次改变倾角，得出就可以验证该结论成立，故C错误；
D．静止时
最高点拉力最小为
解得
最低点拉力最大，由动能定理和向心力公式得，
整理得，故D错误；
故选A。
2．(1)2.06
(2)
(3)＞
(4)9.86
【详解】（1）主尺读数为20mm，游标尺读数为
故读数为
（2）从平衡位置记0开始，每同方向经过该平衡位置1次，就完成1次全振动，数到30时共完成30次全振动，总时间为，因此周期
（3）由单摆公式
变形得，若误将摆线长加球直径作为摆长，代入计算的摆长比真实摆长偏大，而周期测量准确，因此得到的测量值大于真实值。
（4）由单摆公式
平方后得
则图线的斜率
由图像可得斜率
代入得
3．(1)C
(2) B 16.0 C 9.87
(3) 不受
【详解】（1）A．为防止实验过程摆长发生变化，单摆上端应固定，故A错误；
B．如题图甲中，在小球摆到最低点时开始计时，故B错误；
C．如题图甲中，用竖直放置的直尺和直角板测量球心到悬点间距离，作为摆长，故C正确。
故选C。
（2）[1] 如题图丙所示，选用游标卡尺的测量爪测量戒指内径。
[2] 十分度游标卡尺的精确度为，该戒指的内径
[3] 等效摆长，故C正确。
故选C。
[4] 拟合图线如图所示
[5] 根据单摆周期公式
得
根据图像斜率可知
解得。
（3）[1][2] 根据单摆周期公式
解得
此时的图像的斜率不变，仍然为，故测得的重力加速度的值不受影响。
4．(1)
(2)A
(3)
(4)A
【详解】（1）根据游标卡尺的读数，摆球的直径为
（2）考虑到空气浮力，浮力的方向始终与重力方向相反，相当于等效的重力场的等效重力加速度变小，振动周期变大，甲的说法正确。
故选A。
（3）设摆球的重心到线与球结点的距离为，根据单摆的周期公式
得，
联立两式解得
（4）当摆角小于等于时，我们认为小球做单摆运动，所以振幅约为
当小球摆到最低点开始计时，误差较小，测量周期时要让小球做次全振动，求平均值。明显选项B不是从最低点开始计时的；选项CD振幅过大，则摆角过大，且选项D实际只记录了一次全振动作为周期，选项A合乎实验要求且误差最小。
故选A。
5．(1)丙
(2)A
(3) 等于
【详解】（1）图丙中摆线被夹持得更牢固，悬点位置不易改变，摆长较稳定；图乙的绕线支承在摆动时容易发生相对滑动或形变。因此丙的悬挂方式较好。
（2）A．图A的振幅为，摆长约为，振幅与摆长之比为，小于对应的正弦值，所以最大偏角小于，满足单摆周期测量的小角度条件；从平衡位置同向经过开始和结束计时，摆球速度较大，起止时刻容易判定，故A正确；
B．图B的振幅同样满足小角度条件，但从最大位移处开始和结束计时，摆球在端点速度为零，端点附近位置变化缓慢，起止时刻不易准确判定，计时误差较大，故B错误；
C．图C的振幅为，摆长约为，振幅与摆长之比为，大于对应的正弦值，所以最大偏角超过，不能满足小角度条件，故C错误；
D．图D的振幅同图C一样过大，且只计时一个周期，计时的相对误差较大，故D错误。
故选A。
（3）[1]设摆球重心到悬点的实际距离为，其中是与摆线长无关的常量。单摆周期公式为
平方后得
所以图像的斜率为
代入图中两点得
由图线斜率与重力加速度的关系，代入得重力加速度为
[2]只改变图线的横轴截距，不改变斜率，因此用斜率求出的重力加速度不受重心位置未知的影响，故等于真实值。
6．(1)2.045
(2)
【详解】（1）小球的直径
（2）[1]小铁球静止时，力传感器的示数为，即细线的拉力为，可知小铁球的重力为
[2]小铁球在经过最低点时细线的拉力最大，且一个周期内两次经过最低点，所以小铁球做单摆运动的周期
[3]由单摆周期公式可知
解得
【点睛】
7． B 2.0/2 / BD
【详解】（1）[1]为了减小误差小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，摆线用细丝线，而不能用弹性绳，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应采取铁夹夹住细丝线，故ACD错误，B正确；
故选B。
（2）[2]单摆经历次全振动所用的时间，则单摆的周期为
[3]根据单摆周期公式可得
解得重力加速度大小为
[4] A．由重力加速度公式可知，测量结果与振幅无关，振幅偏小不影响测量结果，故A错误；
B．将摆线长加直径当成了摆长，则重力加速度公式中的分子偏大，测量值偏大，故B正确；
C．将摆线长当成了摆长，则重力加速度公式中的分子偏小，测量值偏小，故C错误；
D．将通过平衡位置的次数当成全振动次数，则周期T偏小，重力加速度公式中的分母偏小，测量结果偏大，故D正确；
故选BD。
8．(1)
(2)③
(3)
(4)
【详解】（1）[1]游标卡尺的主尺读数为，游标尺分度值为，第10条刻度线与主尺刻度线对齐，因此
[2]单摆的摆长等于悬点到摆球球心的距离，因此
将单摆周期公式平方后得
整理得
代入摆长表达式得
（2）①．用绳结悬挂时，摆动过程中绳结处可能发生滑动，悬点不稳定，故①错误；
②．将摆线缠绕在横杆上时，摆线与横杆的接触点可能随摆动而改变，摆长不稳定，故②错误；
③．用夹子固定摆线上端，能够使悬点位置固定且摆线不易滑动，故③正确。
故选③。
（3）相邻两次经过最低点的时间间隔为，从第1次到第次共有个时间间隔，因此
解得
（4）图像是图像，当时
图线过原点，因此图线斜率为
设月球表面的重力加速度大小为，将单摆周期公式平方后得
所以图线斜率满足
代入图中数据得
9．(1)AD
(2)
(3)
(4)BC
(5)设细线与竖直方向的夹角为，为细线对小球的拉力，为运动周期，则由牛顿第二定律得
在竖直方向，由平衡条件可得
解得
等效摆长比真实值偏小，测得的运动周期偏小，根据单摆公式求出的重力加速度偏大。
【详解】（1）为减小实验误差，单摆摆线应选用长度1m左右的细线以保证周期测量精度，摆球应选用密度大、体积小的小钢球以降低空气阻力的影响。
故选AD。
（2）[1]摆球完成一次全振动会2次经过最低点，从记为0次的初始时刻到计数到50次，共完成25次全振动，总时间为，因此振动周期为
[2]根据游标卡尺读数规则，小球直径是
（3）由单摆周期公式
整理可得
因此图像的斜率
整理得重力加速度
（4）A．图线a与b平行，斜率相同说明测量值准确，截距为正，说明相同摆长下测量值偏大，是误将悬点到小球上端的距离记为摆长（漏加小球半径）导致，故A错误；
B．误将49次全振动记为50次时，周期测量值小于真实值，相同摆长下偏小，导致图像斜率偏小，与图线c特征吻合，故B正确；
C．由可知，斜率越小对应的值越大，因此图线c的值大于图线b的值，故C正确；
D．图线d与b平行，斜率相同说明准确，截距为负，说明相同下摆长测量值偏大，可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长（多加小球半径）导致，故D错误。
故选BC。
（5）设细线与竖直方向的夹角为，为细线对小球的拉力，为运动周期，则由牛顿第二定律得
在竖直方向，由平衡条件可得
解得
等效摆长比真实值偏小，测得的运动周期偏小，根据单摆公式求出的重力加速度偏大。
10．(1)AD
(2)
(3) 2.01 9.77
(4)B
(5)
【详解】（1）在用单摆测定重力加速度的实验基本条件是摆线长度远大于小球直径，小球的密度越大越好；故摆线应选取长约1m左右的不可伸缩的细线，摆球应选取体积小而质量大的铁球，以减小因空气阻力造成的实验误差。
故选AD。
（2）次全振动的时间为，则振动周期为
根据单摆周期公式
其中摆长为
解得
（3）[1]50次全振动的时间为100.5s，则振动周期为
[2]根据
解得
（4）根据
整理可得
C．图线的斜率为
由图可知，图线c对应的斜率小于图线b对应的斜率，则图线c对应的g值大于图线b对应的g值，故C错误；
A．根据可知，图线应为过坐标原点的直线，图线a和图线b平行，且在一定时，图线a对应的L小于图线b对应的L，因此出现图线a的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L，故A错误；
B．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故B正确。
故选B。
（5）设A到铁锁重心的距离为，则第一次的实际摆长为，第二次的实际摆长为，由周期公式可得，
联立，解得
11．(1)
(2) //////
(3)测得的周期偏小或测得的摆长偏大
【详解】（1）由题图乙可知摆球直径为
（2）[1]作出关系图像如图所示。
[2]根据单摆周期公式可得
所以图像的斜率为，解得
（3）（1）本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n次全振动的总时间t，从而求得周期，若计算时不慎将n的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g的测量值偏大。
（2）实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为的情况下，小球向心力为，解得
由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g的测量值偏大。
（3）测量摆长时，用摆线长加小球的直径，使得摆长的测量值偏大，从而造成g的测量值偏大。
答案第4页（共5页）
答案第5页（共5页）单摆
一、单选题
1．如图所示，在北京某中学的实验室中有一单摆，在它的正下方放置一个方位刻度盘。开始时，单摆沿方位刻度盘的方向摆动，经过数小时后，单摆的摆动为（ ）
A．沿的刻度方向摆动
B．沿刻度盘顺时针转过的某一刻度方向摆动
C．沿刻度盘逆时针转过的某一刻度方向摆动
D．无法确定
2．在用单摆测当地的重力加速度实验中，一个单摆的摆长为L，摆球的质量为m，它做简谐运动的振幅为A，当摆球运动至平衡位置时速度大小为v。现小郴同学保持微小摆动，将这个单摆的摆球质量增加为2m，并使其在平衡位置的速度大小变为，以单摆的平衡位置所在的水平面为重力势能的参考面，则（　　）
A．振动周期为原来的 B．摆球机械能为原来的
C．振动振幅变为原来的 D．摆球经过平衡位置动量为原来的2倍
3．图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中的最大值。已知小球质量，小球的直径，取重力加速度，取9.8，不计细线质量及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．单摆周期为1s
B．细线的长度为
C．小球经过最低点时速度大小为
D．
4．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．t1时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大
5．如图所示为一单摆装置，点是摆球的平衡位置，、两点为摆球摆动过程中的最高点（摆角小于5°）。不计空气阻力，在摆球由点运动到点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．摆球在点时的回复力最大
B．摆球在点时的回复力最小
C．摆球在点时的加速度方向水平向右
D．摆球在点时的加速度为0
6．甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（ ）
A．摆长之比为 B．振动频率之比为2∶3
C．在时刻，振动方向相反 D．在时刻，加速度均不为零
7．甲、乙两个单摆在同一地点的振动图像如图所示，则（ ）
A．甲、乙的振幅之比是4∶1 B．甲、乙的摆长之比是1∶4
C．甲、乙的最大速度大小相等 D．甲、乙的最大加速度相等
8．如图甲所示，小明同学利用漏斗做简谐运动实验，他将漏斗下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗4s内漏出的细沙在板上形成了如图乙所示曲线AE，当地重力加速度大小g=9.8m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．该沙摆的摆动频率为2Hz
B．该沙摆的摆长约为2m
C．由图乙可知薄木板做匀加速直线运动，且加速度大小约为0.03m/s2
D．当图乙中的D点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小约为0.25m/s
二、多选题
9．下图是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B．时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为0
C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D．甲、乙两摆摆球在最低点时的动能一定相等
10．如图甲所示，一单摆做小角度（）摆动。从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。忽略空气阻力不计，取，重力加速度，对于这个摆球的振动过程，下列说法正确的是（ ）
A．单摆做简谐运动时，摆长约为1.0m
B．时，摆球运动的位移为零，速度为零
C．时，摆球运动的速度最大，加速度为零
D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐增大，摆线上的拉力逐渐减小
11．如图所示，一根不可伸缩的轻绳一端系在天花板上，一端与一质量为m的小球连接，轻绳长为L。现将小球拉起，使轻绳与竖直方向成一小角度θ（θ＜5°），由静止释放小球，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．小球做简谐运动的回复力为重力和轻绳拉力的合力
B．小球做简谐运动的回复力为重力沿轨迹圆弧切线方向的分力
C．小球做简谐运动的周期为2π
D．小球运动到最低点时所受合力为零
12．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法不正确的是（ ）
A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为
D．该地的重力加速度
13．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图，以下说法正确的是（　　）
A．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最小
B．时刻摆球速度最大，绳对它的拉力最大
C．时刻摆球速度为零，绳对它的拉力最小
D．时刻摆球速度最小，绳对它的拉力最大
14．一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．时刻摆球速度为0，悬线对它的拉力最小
B．时刻摆球速度最大，但加速度不为0
C．时刻摆球速度为0，悬线对它的拉力最大
D．时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
15．如图甲所示，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，做简谐运动，M、N是摆球所能到达的最远位置，设向右为正方向，图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．单摆振动的周期为0.4 s
B．单摆振动的频率是1.25 Hz
C．t＝0时摆球在M点
D．单摆的摆长约为0.16 m
三、实验题
16．通过对地球上不同的地点测量发现，重力加速度的大小会随纬度和高度的变化而改变，同时它还受当地地质条件等因素的影响，通过测量和研究的数值及变化特征，可以推断该区域的地质构造、岩石分布和矿产储量等信息。在实验室中，我们常利用单摆和秒表等器材测定当地的重力加速度。
(1)如图甲利用单摆测量某地的重力加速度时，为减小实验误差，应从单摆的最高点还是最低点开始计时。（　　）
A．最高点 B．最低点
(2)单摆竖直悬挂固定后，用米尺测量悬点到小球上端的摆线长度；将小球拉离平衡位置至摆角小于处，由静止释放。待摆动稳定后开始计时，当小球完成50次全振动时停止计时，秒表示数如图乙所示。通过测量与计算，可得该单摆的周期_____s。
(3)改变摆线长度，测量多组单摆摆线的长度和对应周期的数据，作出图像如图丙所示，由图像可计算出重力加速度大小_____（取，结果保留3位有效数字）。
(4)分析可知，该图像的图线不过坐标原点，_____（填“会”或“不会”）影响当地重力加速度的测量结果。
四、解答题
17．如图所示，质量为的小球甲在半径为的光滑圆槽上的、之间来回运动，间弧长远小于圆槽半径。当摆角很小时，重力加速度为。小球均可看成质点，不计空气阻力的影响。
(1)证明小球甲的运动是简谐运动；
(2)将小球甲从圆弧面的处由静止释放，同时在圆弧的圆心处由静止释放另一小球乙（图中未画出）。通过计算说明哪个小球先到达圆弧面的最低点；
(3)当甲球完成（为整数）次全振动过程中，圆槽对甲球的冲量。
18．单摆摆长为l、摆球质量为m。将摆球拉离平衡位置O后释放，摆球沿圆弧做往复运动。当摆球沿圆弧运动到某一位置P时，摆线与竖直方向的夹角为。此时摆球受到重力G和摆线拉力的作用，如图所示。
(1)什么力提供小球绕悬点转动的向心力？小球沿圆弧做往复运动，什么力提供回复力？
(2)如何证明小球的摆动是简谐运动？
(3)摆球经过平衡位置时，所受合力是不是0？摆球到达最大位移处，速度为0，所受合力是不是0？
(4)如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，喷在木板上的墨汁图样有什么特点？该图样反映出注射器做什么运动？
19．如图甲，O点为单摆的固定悬点，用力传感器测量细线拉力。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10 m/s2。
(1)求单摆的振动周期和摆长。
(2)求摆球的质量。
(3)求摆球运动过程中的最大速度。
试卷第4页（共4页）
试卷第1页（共4页）
《单摆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D B D B C AB AD
题号 11 12 13 14 15
答案 BC AD BC AB BCD
1．B
【详解】单摆在摆动时考虑科里奥利力的影响，位于北半球的单摆，沿运动方向观察，科氏力的方向指向右方，故单摆的摆动面会沿顺时针方向（俯视）变动，故ACD错误，B正确。
故选B。
2．B
【详解】A．由单摆的周期公式可知，单摆摆长不变，则周期不变，故A错误；
B．由可知，将这个单摆的摆球质量增加为2m，并使其在平衡位置的速度大小变为，所以摆球经过平衡位置时的动能变成原来的，则机械能变为原来的，故B正确；
C．设摆球的位移最大时，悬线与竖直方向之间的夹角为，摆球的位移为A，则
摆球上升的最大高度
摆球从最低点到最高点的过程中机械能守恒，有
解得
由三角函数关系，
联立可得
由于单摆的摆角很小，则，
此时，则
解得
当摆球在平衡位置的速度大小变为时，其振幅变成原来的，故C错误；
D．摆球经过平衡位置动量为
摆球经过平衡位置动量与原来的相同，故D错误；
故选B。
3．D
【详解】AB．小球每经过最低点时动能最大，细线拉力最大，由图乙可知，两次经过最低点的时间间隔是，则单摆的周期是，根据单摆的周期公式
解得摆长
小球的直径
则细线的长度，故AB错误；
CD．设单摆最大摆角为，在最低点速度大小为，则在最低点有
从最高点运动至最低点，由动能定理有
最高点小球速度为零，有
联立解得、，故C错误，D正确。
故选D。
4．D
【详解】AC．由题图可知，在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，悬线的拉力最小，故AC错误；
BD．在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线的拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。
故选D。
5．B
【详解】AB．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力。在平衡位置点，重力沿切线方向的分力为，因此回复力最小，等于；在最高点、回复力最大，故A错误，B正确；
CD．摆球经过点时，做圆周运动，速度不为零，需要指向圆心（沿绳竖直向上）的向心力，因此合外力方向竖直向上，加速度不为零，方向竖直向上，故CD错误。
故选B。
6．D
【详解】A．由图像可知，甲、乙单摆振动周期之比为2：1，根据单摆的周期公式可知，甲、乙单摆摆长之比为4：1，故A错误；
B．根据周期与频率的关系所以振动频率之比为1：2，故B错误；
C．根据振动图像可知，在时刻，甲、乙两单摆均沿轴正向振动，故C错误；
D．在时刻，沿振动方向的加速度均为零，但还有向心加速度，因此加速度不为零，故D正确。
故选D。
7．B
【详解】A．甲振幅，乙振幅，振幅比，故A错误；
B．甲的周期，乙的周期
周期比
同一地点重力加速度相同，单摆周期公式为
变形得
因此摆长与周期平方成正比，故B正确；
C．图像的切线斜率表示速度，单摆最大速度在平衡位置，在时，甲的切线斜率更大，最大速度不相等，故C错误；
D．单摆最大位移处，最大加速度满足
代入数据得，最大加速度不相等，故D错误。
故选B。
8．C
【详解】由题图乙可知，漏斗内漏出的细沙在板上共形成、、、、五个最远位置，沙摆完成两次完整的摆动，相邻两个最远位置之间的时间间隔为
故沙摆的摆动周期
摆动频率。
A．由上述计算可知，故A错误；
B．由单摆的周期公式
得摆长，故B错误；
C．相邻两个最远位置之间的时间间隔，薄木板在这四个相等时间内的位移依次为、、、，相邻位移之差近似相等，可知薄木板做匀加速直线运动。
由逐差法得，故C正确；
D．匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，是到的中间时刻。
故薄木板经过时的速度大小，故D错误。
故选C。
9．AB
【详解】A．由图可知甲的振幅为2cm，乙的振幅为1cm，故甲、乙两摆的振幅之比为2∶1，故A正确；
B．时，甲摆位于最低点，即重力势能最小，乙位于最高点，速度为零，即动能为零，故B正确；
C．甲乙振动周期之比为
由单摆周期公式可知，甲乙两摆的摆长之比为1：4，故C错误；
D．因最大摆角和质量未知，故最低点的动能无法计算，故D错误。
故选AB。
10．AD
【详解】A．由图可知单摆的周期为，根据单摆周期公式
解得摆长约为，故A正确；
B．时，摆球运动的位移为零，速度最大，故B错误；
C．时，摆球运动的速度最大，在最低点，有
加速度不为零，故C错误；
D．从到的过程中，位移变大，根据可知回复力逐渐增大；根据牛顿第二定律有
可得摆线上的拉力
随着角度变大，变小，速度变小，可得摆线上的拉力变小，故D正确。
故选AD。
11．BC
【详解】AB．小球做简谐运动的回复力为重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，故A错误，B正确；
C．小球做简谐运动时，因小球可视为质点，则绳长即为摆长，则其周期为，故C正确；
D．小球运动到最低点时所受合力提供向心力，即所受合力不为零，故D错误。
故选BC。
12．AD
【详解】A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力沿切线方向的分力提供，故A错误，符合题意；
B．当秋千摆至最低点时，秋千的加速度方向竖直向上，则有
得，即秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B正确，不符合题意；
C．结合秋千的运动可知，秋千在和时刻相继通过同一侧的最大位移处，故秋千摆动的周期为，故C正确，不符合题意；
D．由单摆的周期公式，得，故D错误，符合题意。
故选AD 。
13．BC
【详解】AC．由图可知，和时刻摆球分别位于正、负向最大位移处，速度均为零。设摆线与竖直方向的夹角为，绳长为，沿摆线方向有
在最大位移处且最大，右侧两项均取最小值，绳的拉力最小，故A错误，C正确。
BD．和时刻摆球均经过平衡位置，速度大小最大，且，由
可知绳的拉力最大，故B正确，D错误。
故选BC。
14．AB
【详解】AC．时刻和时刻摆球离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，悬线对摆球的拉力最小，故A正确，C错误；
BD．时刻和时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，则速度最大，根据圆周运动可知此时悬线对摆球的拉力最大，加速度不为0，加速度竖直向上，故B正确，D错误。
故选AB。
15．BCD
【详解】A．由题图乙知，单摆振动的周期，A错误；
B．频率，B正确；
C．由题图乙知，t＝0时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以t＝0时摆球在M点，C正确；
D．由单摆做简谐运动的周期公式，得，D正确。
故选BCD。
16．(1)B
(2)2
(3)9.82
(4)不会
【详解】（1）为了方便计时，减小实验误差，应从单摆的最低点开始计时。
故选B。
（2）根据秒表的指针位置可得该秒表的示数为
一次全振动等于单摆的周期，则该单摆的周期为
（3）根据单摆的周期公式
其中为小球的半径，整理得
根据图像可知斜率
可得重力加速度为
（4）图像不过原点，没有考虑小球的半径，此时
化简可得
若图像过原点，则有
化简可得
图像不过原点与过原点对比，图像的斜率不变，故重力加速度测定值不变，即不会影响重力加速度的测量。
17．(1)见解析
(2)小球乙先到达圆弧面的最低点，说明见解析
(3)，方向竖直向上
【详解】（1）小球甲的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
当摆角很小时
因此小球甲运动的回复力可表示为
负号表示与位移方向相反，所以小球甲的运动是简谐运动
（2）小球甲做简谐运动，周期
小球甲第一次运动到最低点的时间
根据自由落体运动规律，小球乙到达最低点时间
因为，所以小球乙先到达最低点
（3）小球甲完成次全振动过程，动量的变化量
重力的冲量
由动量定理
解得，方向竖直向上
18．(1)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供小球绕悬点转动的向心力，即
重力沿圆弧切线方向的分力提供小球做往复运动的回复力，即
(2)
如果小球的摆动是简谐运动，它的回复力一定与位移成正比并且方向相反。
↓
重力G沿圆弧切线方向的分力提供了小球振动的回复力，即。
↓
当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，可认为F指向平衡位置O，与位移x反向。
↓
圆弧的长度可认为与摆球的位移大小相等，即（表示小球偏离平衡位置的位移）。
↓
令常数，则单摆的回复力可写成，即单摆做简谐运动。
(3)摆球经过平衡位置时，回复力为0，但向心力不为0，所以摆球所受合力不为0。摆球到达最大位移处，速度为0，向心力为0，但回复力不为0，所以摆球所受合力不为0。
(4)得到的图样是注射器的位移一时间图像，图样满足正弦函数关系，说明注射器做简谐运动。
【详解】（1）细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供小球绕悬点转动的向心力，即
重力沿圆弧切线方向的分力提供小球做往复运动的回复力，即
（2）
如果小球的摆动是简谐运动，它的回复力一定与位移成正比并且方向相反。
↓
重力G沿圆弧切线方向的分力提供了小球振动的回复力，即。
↓
当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，可认为F指向平衡位置O，与位移x反向。
↓
圆弧的长度可认为与摆球的位移大小相等，即（表示小球偏离平衡位置的位移）。
↓
令常数，则单摆的回复力可写成，即单摆做简谐运动。
（3）摆球经过平衡位置时，回复力为0，但向心力不为0，所以摆球所受合力不为0。摆球到达最大位移处，速度为0，向心力为0，但回复力不为0，所以摆球所受合力不为0。
（4）得到的图样是注射器的位移一时间图像，图样满足正弦函数关系，说明注射器做简谐运动。
19．(1)0.8π s，1.6 m
(2)0.05 kg
(3)
【详解】（1）摆球在A、C点处受力最小，一个周期内有2次受力最小，则单摆的振动周期T＝0.8πs
根据单摆的周期公式有
联立解得单摆摆长l＝1.6m
（2）设单摆的最大摆角为θ，质量为m，最大速度为vm，则从最高点到最低点，由机械能守恒定律有
在最高点时，有
在最低点时，有
由图乙可知，
联立解得m＝0.05kg，
（3）由第（2）问可知，摆球运动过程中的最大速度
答案第4页（共4页）
答案第3页（共4页）简谐运动的回复力和能量
一、单选题
1．如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上。当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则（ ）
A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零
B．弹簧振子速度减小时，物块的加速度也减小
C．弹簧振子远离平衡位置时，振动系统的机械能减小
D．弹簧振子远离平衡位置时，振动系统的动能减小
2．如图所示，“弹簧公仔”玩具由头部、轻弹簧及底座组成，底座固定，用力向下缓慢按压头部，忽略阻力，释放后头部的运动可视为简谐运动，则下列关于头部在运动过程中的说法正确的是（）
A．若经过A位置前、后位移相同，则A位置一定为平衡位置
B．若经过B位置前、后速度相同，则B位置一定为振幅处
C．若经过C位置前、后弹力相等，则C位置一定为平衡位置
D．若经过D位置前、后加速度相同，则D位置一定为振幅处
3．如图甲所示弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动，图乙为该弹簧振子在0到内的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是（ ）
A．第2s内振子的加速度逐渐增大
B．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C．从第3s末到第5s末振子动能先增大后减小
D．振动周期为5s，振幅为8cm
4．如图所示，将质量为m的小球用轻弹簧竖直悬挂，用外力将小球沿竖直方向移至某一位置后由静止释放，释放瞬间小球的加速度大小为g、方向竖直向上。不计空气阻力，弹簧的劲度系数为k，且始终在弹性限度内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的振幅为
B．小球振动的回复力由弹簧弹力提供
C．当小球的动能最大时，弹簧的弹性势能为零
D．当弹簧的弹性势能为零时，小球的动能也为零
5．有一只小鸟从上往下落在细树枝上，随树枝小幅度上下振动（可视为竖直方向的简谐运动），某时刻开始计时，其振动位移x随时间t变化的规律如图所示。取竖直向上为正方向，则下列说法正确的是（ ）
A．t2时刻，小鸟受到的回复力最大
B．t1时刻，小鸟的速度最小
C．0时刻与t2时刻，小鸟的振幅不相同
D．从t1到t2，小鸟的加速度逐渐减小
6．如图所示为某弹簧振子的振动图像，则（ ）
A．时刻，弹簧振子沿 y轴正方向的加速度最大
B．振子的振动方程为
C．振子在任意一个0.4s内运动的路程均为 20cm
D．振子在 周期内通过的路程不可能是
7．如图所示，弹簧人公仔固定在车的水平台面上，静止在图示位置A，先用手竖直向下压公仔的头部，使之缓慢下降至某一位置B，之后迅速放手，公仔头部沿竖直方向上升到另一位置C时速度为零。此过程弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力及弹簧质量，则振动过程中（ ）
A．公仔头部在C点处的加速度为0
B．公仔头部在B点处的速度为0
C．公仔头部在B、C点处的速度不相同
D．公仔头部在B、C点处的加速度相同
8．质量均为的小球和由劲度系数为的轻质弹簧连接，小球由不可伸长的细线悬挂在点，系统处于静止状态，如图所示。将小球竖直下拉长度后由静止释放。重力加速度大小为，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球后（ ）
A．若小球做简谐运动，则其振幅为
B．若小球做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动
D．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动
9．一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点（ ）
A．在0.015s时，速度与加速度都为方向
B．在0.01~0.03s内，速度与加速度先沿负方向后沿正方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小
C．在第8个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大
D．在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零
10．某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。某鱼咬钩后将鱼漂向下拉了一下，使点M到达水面，但鱼随后脱钩，鱼漂便上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。假设水面静止，鱼漂在M、N间的横截面积不变，不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．鱼漂的上下运动不一定是简谐运动
B．点N过水面时，鱼漂有方向向下的最大加速度
C．点M到达水面时，鱼漂达到向上的最大位移
D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大
二、多选题
11．一质点做简谐运动的图像如图所示，则（　　）
A．在0.1s~0.2s时间内质点沿x轴负方向做回复力减小的加速运动
B．在t =0.1s时，该质点具有x轴负方向最大加速度
C．在t =0.1s时，该质点的速度最大
D．在0~0.6s时间内质点运动的路程为100cm
12．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cm
B．0.5s末和1.1s末，振子的速度不相同
C．在0.4s~0.8s时间内，振子的速度和加速度方向始终相反
D．振子做简谐运动的表达式为
13．一个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是 （　　）
A．在任意4s的时间内，质点经过的路程都是4cm
B．t=2s前后，质点加速度方向改变
C．在 t=2s到t=3s时间内，质点的位移大小在增大
D．t=0.5s和t=1.5s两个时刻， 质点的速度大小相等，方向相同
14．某质点做简谐运动的振动图像如图所示，则（ ）
A．质点的振动周期为 B．时质点所受的回复力为0
C．时质点向平衡位置运动 D．时质点速度为0
15．如图所示，一弹簧振子可沿竖直方向做简谐运动，O为平衡位置，现将弹簧振子从平衡位置向下拉一段距离ΔL，释放后振子在M、N间振动，且MN=40 cm，振子第一次由M到N的时间为0.2 s，不计一切阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．振子在振动过程中，若速度大小相同，则弹簧的长度一定相等
B．振子在振动过程中，系统的机械能守恒
C．从释放振子开始计时，振子在0.1 s内动能逐渐增大
D．从释放振子开始计时，振子在0.6 s末偏离平衡位置的位移大小为10 cm
三、实验题
16．某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图甲所示，轻质弹簧上端连接力传感器，力传感器固定在铁架台上，弹簧下端挂有钩码，并与计算机相连，通过计算机软件可获得传感器受到的弹力随时间变化的图像。
（1）测出钩码的质量和弹簧的劲度系数。
（2）悬挂钩码，钩码处于静止状态后，竖直向下拉动钩码，释放钩码并开始记录力传感器受到的弹力大小随时间变化的曲线，如图乙所示。根据图像可知，钩码做简谐运动的周期____________（用“”表示），振幅____________（用“”和“”表示）。
（3）多次更换弹簧和钩码重复上述步骤，实验测得数据如下表所示。分析数据可知，弹簧劲度系数一定时，在误差范围内弹簧振子振动周期的平方（）与质量（）的关系是____________（填“线性的”或“非线性的”）。
0.010 100 0.063 0.0039
0.020 100 0.089 0.0079
0.040 100 0.126 0.0158
0.010 200 0.044 0.0020
0.020 200 0.063 0.0039
0.040 200 0.089 0.0079
（4）结合（3）中实验数据，弹簧振子振动周期的表达式可能是____________（填正确答案标号）。
A． B． C． D．
四、解答题
17．两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示，
(1)写出两弹簧振子位移时间函数表达式？
(2)比较两个振子谁的能量较大？
18．某研发团队发现弹簧振子的模型可以用于研究弹性体的振动特性。通过分析弹簧振子的运动，可以了解弹性体在受到外力作用下的振动行为，这对于设计和优化弹性体结构具有重要意义，如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距40cm。时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，（向右为正方向）求：
(1)振子在6s内通过的路程和位移的大小；
(2)振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值；
(3)写出弹簧振子做简谐运动的方程，在图乙中画出一个周期内的振动图像（有相应的标度）；并求出振子从释放运动到P的最短时间。
19．如图是某弹簧振子做简谐运动的振动图像，根据图像回答下列问题。
(1)简谐运动的振幅、周期、频率分别是多大？0~4s内振子的路程是多少？
(2)曲线上A、B、C三点，哪些点表示振子的动能最大，哪些点表示振子的势能最大？
五、综合题
20．如图所示，一质点在水平方向做简谐运动，点为其平衡位置。
(1)质点由点到点的运动过程中，质点的加速度________，速度________，系统机械能________。（均选填“增大”“减小”或“不变”）
(2)质点先后以相同的速度依次通过、两点，历时，质点通过点后再经过又第2次通过点，在这内质点通过的总路程为。则质点的振动周期和振幅分别为________。
A．、 B．、 C．、 D．、
(3)质点动能变化的周期是________s。
试卷第4页（共4页）
试卷第3页（共4页）
《简谐运动的回复力和能量》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D A C B D D B
题号 11 12 13 14 15
答案 AB BCD BC AC BC
1．D
【详解】A．振子速度最大的位置是平衡位置，题目规定该位置物块的重力势能为零，但此时弹簧已经发生弹性形变，存在弹性势能，因此振动系统的总势能不为零，故A错误；
B．简谐运动中，速度减小时振子正远离平衡位置，回复力与位移成正比、方向指向平衡位置，位移增大则回复力增大，物块的加速度也随之增大，故B错误；
C．本题的振动系统指弹簧和物块组成的整体，运动过程中只有重力和弹簧弹力做功，系统的机械能（动能+重力势能+弹簧弹性势能）守恒，故C错误；
D．振子远离平衡位置时，位移增大，回复力与运动方向相反，速度不断减小，因此振子的动能减小，故D正确。
故选D。
2．D
【详解】A．简谐运动中，位移x随时间t按正弦或余弦规律变化。若经过A位置前、后位移相同，说明位移x关于该时刻对称，对应最大位移处（振幅处）。在平衡位置，位移为零，前、后时刻位移大小相等、方向相反，故A错误；
B．速度v是位移对时间的导数。若经过B位置前、后速度相同，说明速度v关于该时刻对称，即该时刻速度处于极大值，对应平衡位置。在振幅处，速度为零，前、后时刻速度方向相反，故B错误；
C．根据胡克定律，弹簧弹力与形变量成正比，若经过C位置前后弹力相等，说明对应时刻弹簧形变量相同，即相对于平衡位置的位移相同，对应振幅处，故C错误；
D．根据牛顿第二定律和简谐运动回复力公式F= kx=ma
加速度a与位移x成正比，若经过D位置前、后加速度相同，则前、后位移x相同，此时位置一定为振幅处，故D正确。
故选D。
3．A
【详解】A．由简谐运动的特征，第2s内振子的位移逐渐增大，所以加速度逐渐增大，故A正确；
B．第2s末，振子位于负向最大位移处，速度为零，加速度正向最大，故B错误；
C．从第3s末到第5s末，振子从平衡位置运动到正向最大位移处，再回到平衡位置，则动能先越来越小，后逐渐变大，故C错误；
D．振子的振动周期为，振幅为，故D错误。
故选A。
4．D
【详解】A．小球静止时弹簧伸长量为，满足，静止时的位置为小球的平衡位置，由于释放瞬间小球的加速度大小为g、方向竖直向上，由牛顿第二定律
解得
因此释放位置的弹簧伸长量
所以振幅，A错误；
B．回复力是弹簧弹力与重力的合力，B错误；
C．动能最大的位置是平衡位置，此时弹簧仍处于伸长状态，弹性势能不为零，C错误；
D．小球能到达的最高点为平衡位置上方处，恰好为弹簧原长位置，所以弹簧振子在最高点的速度为零，因此动能也为零，D正确。
故选D。
5．A
【详解】依据题目和图像判断，小鸟随树枝做竖直方向简谐运动，回复力与位移关系为，加速度与位移关系为，回复力和加速度的大小都与位移大小成正比。
A．时刻小鸟处于负向最大位移处，位移大小最大，由可知回复力大小最大，故A正确；
B．时刻小鸟经过平衡位置，位移为，简谐运动中平衡位置处速度最大，故B错误；
C．简谐运动的振幅是离开平衡位置的最大距离，同一次小幅振动中振幅不变，时刻与时刻对应的最大位移大小相同，振幅相同，故C错误；
D．从到，小鸟从平衡位置运动到负向最大位移处，位移大小逐渐增大，由可知加速度大小逐渐增大，故D错误。
故选A。
6．C
【详解】A．时刻，振子在正的最大位移处，由可知，此时加速度沿 y轴负方向最大，A错误；
B．由图像可知，振子的振动方程为，B错误；
C．根据简谐运动的对称性可知，振子在除平衡位置外的任一位置，经过0.4s会运动到关于平衡位置对称的位置，运动的路程为2A=20cm，开始在平衡位置时运动0.4s又回到平衡位置，运动的路程也为2A=20cm，C正确；
D．振子在时刻的位移 运动到时刻，位移
，因此从运动到时刻，运动的路程为，D错误。
故选C。
7．B
【详解】ABC．公仔头部做简谐运动，在B、C点处，位移最大，加速度最大，速度均为0，故AC错误，B正确；
D．加速度指向平衡位置，则公仔头部在B、C点处的加速度方向不同，故D错误；
故选B。
8．D
【详解】AB．若小球做简谐运动，则小球初始静止时的位置即为平衡位置，将小球竖直下拉长度后由静止释放，则长度就是小球偏离平衡位置的最大位移，即小球做简谐运动的振幅为，故AB错误；
CD．小球初始静止时受力平衡，设此时弹簧的伸长量为，则有
小球要始终做简谐运动，必须保证小球始终静止。假设小球运动到最高点时，细线对小球的拉力恰好为零，即此时弹簧处于压缩状态，且弹簧的弹力大小为
此时对应的小球的下拉长度最大，根据回复力的对称性有
解得
因此当且仅当（即）时，小球才能始终做简谐运动，故C错误，D正确。
故选D。
9．D
【详解】A．在时，图像斜率为负，速度沿负方向；质点位移为负，简谐运动的加速度指向平衡位置，沿正方向，二者方向相反，故A错误；
B．在内，质点先沿负方向运动，后沿正方向运动；但在该过程中位移始终为负，加速度始终沿正方向，并非先沿负方向后沿正方向，故B错误；
C．由图可知振动周期为，第8个对应，与的运动状态相同。此时位移和速度均沿正方向，但质点向正向最大位移运动，位移增大而速度大小减小，并非二者都不断增大，故C错误；
D．由前述计算得频率为
由瞬时功率公式
回复力在平衡位置为零，速度在最大位移处为零，所以每个周期内回复力的瞬时功率有4次为零。每内包含25个周期，零功率次数为，故D正确。
故选D。
10．B
【详解】A．设鱼漂横截面积为，水的密度为，以平衡位置O为原点，取向下为正方向。平衡时鱼漂重力等于浮力：（为平衡时鱼漂浸入水中的深度）；
当鱼漂相对平衡位置向下位移为时，浸入深度变为，合力，合力与位移成正比、方向相反，满足简谐运动的回复力特征，因此鱼漂的运动是简谐运动，故A错误；
B．脱钩后鱼漂从M在水面的位置（衡位置下方）开始运动，上升到最高处时N到达水面（鱼漂处于平衡位置上方），两个端点相对于平衡位置的位移大小相等，是简谐运动的两个最大位移处。
当N到达水面时，鱼漂处于向上运动的最高点，此时回复力方向向下，加速度方向向下且达到最大值，故B正确；
C． M到达水面时，鱼漂处于平衡位置下方，是简谐运动向下的最大位移处，并非向上的最大位移，故C错误。
D．鱼漂从最低点由下往上运动时，先向平衡位置运动，合力向上、速度逐渐增大；经过平衡位置O后继续向上运动时，合力向下，速度逐渐减小，并非一直越来越大，故D错误。
故选B 。
11．AB
【详解】A．在0.1s~0.2s内，质点从正方向最大位移处运动至平衡位置过程，即沿x轴负方向做加速度减小的加速运动，故A正确；
BC．在t=0.1s时，该质点处于正的最大位移处，质点具有x轴负方向最大加速度，质点的速度为零，故B正确，C错误；
D．在0~0.6s时间内，质点经历，运动的路程为，故D错误。
故选AB。
12．BCD
【详解】A．由图可知振幅为，振子从负向最大位移到正向最大位移用时，该时间为半个周期，故周期为，故A错误；
B．末与末关于末对称，振子的位置相同、速度大小相等而方向相反，故速度不相同，故B正确；
C．在内，振子从平衡位置沿正方向运动至正向最大位移处，运动过程中速度方向向右，回复力和加速度方向均向左，故C正确；
D．简谐运动的角频率为
时，振子随后向正方向运动，可取初相位，可得，故D正确。
故选BCD。
13．BC
【详解】A．由图可知振幅，周期，任意一个周期内质点经过的路程均为，故A错误；
B．简谐运动的加速度方向始终与位移方向相反。前位移为正、加速度沿负方向，后位移为负、加速度沿正方向，故B正确；
C．在到内，位移由变为，位移大小增大，故C正确；
D．位移随时间变化图像的斜率表示速度。和两时刻图像斜率大小相等、正负相反，所以速度大小相等、方向相反，故D错误。
故选BC。
14．AC
【详解】A．根据题图可知质点的振动周期为，故A正确；
B．根据题图可知时质点处于正向位移最大处，则所受的回复力最大，故B错误；
C．根据题图可知时质点向平衡位置运动，故C正确；
D．根据题图可知时质点处于平衡位置，速度最大，故D错误。
故选AC。
15．BC
【详解】A．由题意可知，振子做简谐运动，由简谐运动的对称性可知，振子在振动过程中，若速度大小相同，则振子要么位于同一位置，要么位于关于平衡位置对称的位置处，所以弹簧的长度不一定相等，故A错误；
B．振子在振动过程中，只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故B正确；
C．由简谐运动的对称性可知，振子振动的周期为T=2×0.2 s=0.4 s，可知，故从释放振子开始计时，在0.1 s内振子从最大位移M处运动至平衡位置O处，其速度逐渐增大，动能逐渐增大，故C正确；
D．由可知，从释放振子开始计时，振子在0.6 s末位于最大位移处N点，偏离平衡位置的位移大小为，故D错误。
故选BC。
16． 线性的 A
【详解】[1]根据图乙可知，在时间内弹簧振子完成了10次全振动，因此振动周期。
[2]由图像可知，弹簧弹力的最大值为，最小值为0（弹簧处于原长状态）。弹簧的最大伸长量，最小伸长量为0，根据简谐运动的对称性，振幅。
[3]分析表中数据可知，当弹簧劲度系数一定时（如），随着质量的增大，周期的平方等比例增大；同理，当时也有相同规律。这说明在一定时，与成正比，即与的关系是线性的。
[4]由第[3]空分析可知，，即。进一步分析表中数据可知，当质量相同，弹簧劲度系数加倍时，减半，说明与成反比。综合以上分析可得。再结合量纲分析，的量纲为时间，即写成等式需要添加比例系数，对应四个选项则有弹簧振子的周期公式可能为。
故选A。
17．(1)，
(2)由于不知道两弹簧振子弹簧的劲度系数，无法比较甲、乙的能量大小。
【详解】（1）甲：振幅，周期；，，向正方向运动，正弦函数，
乙：振幅，周期；，，向正方向运动，正弦函数，
所以两弹簧振子位移时间函数表达式分别为，
（2）弹簧振子总能量
能量不仅看振幅，还取决于劲度系数k。题目只给了振动图像，不知道甲、乙弹簧劲度系数k，所以无法比较二者能量大小。
18．(1)，0
(2)
(3)，，
【详解】（1）弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，可知振幅为
时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，可知
可知，振子在6s内通过的路程为
6s后回到原来位置，可知位移的大小为零。
（2）振子在B点的位移大小是在距O点10cm处P点的2倍，根据可知振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值为
（3）周期为，可知角速度为，时，振子处于O点向左运动，可知弹簧振子做简谐运动的方程为
振子从释放运动第一次到P点时有
可得
可得
可知振子从释放运动到P的最短时间为
19．(1)2cm，0.8s，1.25Hz，40cm
(2)在B点振子动能最大，在A点、C点振子势能最大
【详解】（1）由题图可知，简谐运动的振幅，周期，频率
由于，则0~4s内振子的路程
（2）根据简谐运动的特点及题图可知，振子在B点位于平衡位置，动能最大；在A点、C点位于端点，具有最大势能。
20．(1) 减小 增大 不变
(2)B
(3)2
【详解】（1）[1][2][3]如题图所示，质点从向平衡位置运动，位移减小，回复力减小，因此加速度减小；速度增大；只有弹簧弹力做功，系统机械能不变。
（2）做简谐运动的质点，先后以相同的速度通过、两点，则可判定、两点关于平衡位置点对称，所以质点由到O的时间与由到的时间相等，那么从平衡位置到点的时间，因过点后再经过，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过点，则从点到右侧最大位移处的时间，因此，质点振动的周期是
这内质点通过的总路程的一半，即为振幅，所以振幅
故选B。
（3）动能是标量，一个周期内动能两次达到最大（经过平衡位置），两次为零（最大位移）。动能变化周期为简谐运动周期的一半，即
答案第4页（共4页）
答案第1页（共4页）简谐运动、简谐运动的描述
一、单选题
1．一质点在 B、O、A 之间做简谐运动，O 为平衡位置，P 点位于 OA 之间，如图所示。分别用 x、a、F 表示该质点相对 O 点的位移、加速度、回复力，取 O 指向 A 的方向为正方向。当质点运动至 P 点且速度正在增大时，则该质点在此（ ）
A．x 正在减小且其方向为正
B．x 正在增大且其方向为负
C．a 正在增大且其方向为负
D．F 正在减小且其方向为正
2．做简谐运动的物体经过A点时，加速度的大小是，方向指向B点；当它经过B点时，加速度的大小是，方向指向A点。它的平衡位置在（ ）
A．A点的外侧 B．AB之间 C．AB的中点 D．B点的外侧
3．如图所示为一水平弹簧振子，其平衡位置为O。现使振子做振幅为A的简谐运动，若从振子运动到距O点最远的位置P处开始计时，则经半个周期，振子运动的路程为（　　）
A． B． C．A D．2A
4．如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成弹簧振子，用手把钢球向上托起一段距离后释放，钢球便上下振动起来。若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是（　　）
A．球运动的最低点为平衡位置
B．弹簧原长时的位置为平衡位置
C．球的速度为0的位置为平衡位置
D．球原来静止时的位置为平衡位置
5．某学生自制简谐运动轨迹描绘装置如图甲所示，滑块在弹簧作用下水平振动，画笔在匀速移动的纸面绘制轨迹如图乙所示（A、B为最左端位置，C为最右端位置）。纸张竖直向上匀速移动，A、C竖直距离为8.00cm，下列说法正确的是（ ）
A．画笔经过A点时，滑块速度最大
B．画笔从A画到B经历了一个周期
C．滑块振幅为8.00cm
D．画笔从A画到C的过程中滑块的加速度先变大再变小
6．如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过O点时开始计时，经过1.0s第二次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期一定为0.8s
B．小球振动的振幅为0.3m
C．1.8s末，小球一定在平衡位置
D．弹簧振子振动方程可能为x=﹣0.15sin（2.5πt）m
7．下列运动属于简谐运动的是（ ）
A．图a，小球在光滑的V形槽内来回运动
B．图b，弹簧振子竖直放置，下端固定，按压小球释放后小球在竖直平面内上下振动
C．图c，小球与墙壁碰撞无能量损失，在光滑的地面上来回运动
D．图d，忽略空气阻力，乒乓球在竖直平面内上下振动
8．有两个简谐运动的振动方程：，，则下列说法中错误的是（ ）
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致
9．如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一小球，使其在竖直方向做简谐运动。取竖直向下为正方向，平衡位置为坐标原点。时刻小球恰好经过平衡位置且向下运动，其图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．在0~0.1s内，小球做加速运动
B．时，小球的加速度为零
C．在0.1~0.2s内，小球的速度方向竖直向下
D．0~0.3s内，小球的路程为4cm
二、多选题
10．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，金属杆相应的曲线方程为（单位：），式中。将一小环套在该金属杆上，并从处以的初速度沿杆向下运动，则该环（ ）
A．沿曲线作简谐运动
B．时加速度为0
C．运动到时速度大小为
D．在轴方向最远能运动到处
11．一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该简谐运动的表达式为
B．时质点的速度最大，且方向沿x轴负方向
C．时质点的速度最大，且方向沿x轴负方向
D．时质点的位移为
12．甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知（ ）
A．两弹簧振子完全相同
B．甲振子总是在四分之一周期内经过的路程与乙在二分之一周期经过的路程相等
C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
D．振子的振动频率之比
13．某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．鱼漂的运动是简谐运动
B．点O过水面时，鱼漂的加速度最大
C．点M到达水面时，鱼漂具有向上的速度
D．鱼漂由上往下运动时，速度先增大后减小
14．如图所示，水平光滑平面与顺时针匀速转动的水平传送带的右端A点平滑连接，轻质弹簧右端固定，原长时左端恰位于A点。现用外力缓慢推动一质量为m的小滑块（与弹簧不相连），使弹簧处于压缩状态，由静止释放后，滑块以速度v滑上传送带，一段时间后返回并再次压缩弹簧。已知返回后弹簧的最大压缩量是初始压缩量的一半，滑块第一次从释放点到A点的时间及第一次在传送带上运动的时间均为，弹簧弹性势能，其中k为劲度系数。不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，以下说法正确的是（　　）
A．传送带匀速转动的速度大小为
B．经过足够长的时间，滑块最终静止于A点
C．滑块第一次在传送带上运动的过程中滑块与传送带间因摩擦产生的热量为
D．滑块从释放到第5次经过A点的总时间为
三、填空题
15．如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经T时间，小球的路程为___________ ；经 T 时间小球的位移为___________，小球经过O点时的动能___________（选填“最大”或“最小”），小球和弹簧的机械能___________（选填“最大”或“最小”或“不变”）。
四、解答题
16．一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm的A、B两点，且由A到B的过程中速度方向不变，历时0.5s（如图所示）。过B点后再经过质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是多少？
17．如图所示是某弹簧振子的振动图像。
(1)当时，振子相对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？
(2)如果从点开始计时，写出振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式。如果从点开始计时，表达式又是怎样的？
18．一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量，g取，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长后从静止释放，A和B一起沿竖直方向做简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，问：
(1)盒子的振幅A是多少？
(2)盒子的最大速率是多少？
(3)当盒子振动到最低点时，A对B的支持力多大？
19．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移随时间变化的关系如图所示。
(1)求弹簧振子的振幅和周期；
(2)求时振子的位移；
(3)求从到这段时间内，振子的路程。
试卷第2页（共3页）
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《简谐运动、简谐运动的描述》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D B D B D B CD
题号 11 12 13 14
答案 ABD CD AD ACD
1．A
【详解】简谐运动中质点速度增大的过程，是从最大位移处向平衡位置运动的过程。本题规定O指向A为正方向，P在OA之间，说明质点此时正从A点向平衡位置O运动：
位移方向为正，向O运动时位移的大小正在减小，因此x正在减小且方向为正；
根据简谐运动加速度公式，加速度与位移反向、大小成正比。x为正且大小减小时，a的方向为负，大小也随之减小；
根据回复力公式，回复力与位移反向、大小成正比。x为正且大小减小时，F的方向为负，大小也随之减小。
故选A。
2．B
【详解】简谐运动回复力公式，加速度
加速度方向永远指向平衡位置；加速度大小与质点到平衡位置的距离成正比：，加速度越大，离平衡位置越远。
物体在点：，加速度指向，平衡位置在朝向的一侧；
物体在点：，加速度指向，平衡位置在朝向的一侧；
由此可知：平衡位置在两点之间。
距离对比，说明到平衡位置的距离大于到平衡位置的距离，平衡位置更靠近点。
故选B。
3．D
【详解】振子从距O点最远的位置P处开始计时，经过半个周期，振子将运动到左侧距离O点最远的位置，运动的路程为
故选D。
4．D
【详解】AC．球在平衡位置两侧做往复运动，运动到最低点和最高点时球的速度都为0，但这两点不是平衡位置，故选项A、C错误。
BD．平衡位置是弹簧振子不振动，振子受力平衡时所处的位置，此时弹簧处于伸长状态，故选项D正确，选项B错误；
故选D。
5．B
【详解】A．画笔经过A点时，滑块处于左端极限位置，位移的绝对值最大，速度为零，故A错误；
B．A、B是滑块连续两次到达最左端的位置，振动状态完全相同，所经历的时间为一个周期，故B正确；
C．A、C分别为左、右端点，端点间距等于振幅的两倍。由图可知端点间距为，所以振幅为，故C错误；
D．从A到C，滑块先由左端点运动到平衡位置，再由平衡位置运动到右端点。位移绝对值先减小后增大，而简谐运动的加速度大小与位移绝对值成正比，因此加速度大小先减小后增大，故D错误。
故选B。
6．D
【详解】B．B、C是简谐运动的两个端点，间距
因此振幅，故B错误。
A．从O点开始计时，存在两种初始运动方向：若时，振子向B端运动，第一次到达B的时间为，第二次到达B的时间为
解得
若时，振子向C端运动，第一次到达B的时间为，第二次到达B的时间为
解得
因此周期不一定为，故A错误；
C．对的情况，有
时振子恰好位于B点，不是平衡位置，因此1.8s末不一定在平衡位置，故C错误；
D．对的情况，角频率
时振子在平衡位置，速度向右，沿着负方向，则设弹簧振子振动方程为
代入，
解得
即
对的情况，角频率
时振子在平衡位置，速度向左，沿着正方向，则设弹簧振子振动方程为
代入，
解得
即
因此弹簧振子振动方程可能为，故D正确。
故选D。
7．B
【详解】A．小球在光滑的V形槽内运动时，受到的回复力为重力沿槽壁向下的分力，大小恒定，不满足回复力与位移成正比且方向相反的条件，故A错误；
B．竖直放置的弹簧振子，小球在竖直方向上振动时，受到的合力与偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，满足，属于简谐运动，故B正确；
C．小球在光滑地面上来回运动时，在水平方向上不受力，做匀速直线运动，回复力不满足，故C错误；
D．乒乓球在竖直平面内上下振动时，在空中只受重力作用，加速度恒为重力加速度，回复力恒定，不满足，故D错误。
故选B。
8．D
【详解】A．简谐运动表达式为
其中为振幅。两式中振幅均为，故A正确；
B．两式角频率均为，由
整理得=，两者周期相同，故B正确；
C．两式角频率相同，相位差=
不随时间变化，故C正确；
D．只有相位差为（为整数）时两振动步调一致，本题相位差为，故D错误。
故选D。
9．B
【详解】A．由图乙可知，在内，小球从平衡位置向正向最大位移处运动，则小球的速度逐渐减小，即小球做减速运动，故A错误；
B．由图乙可知，时，小球经过平衡位置，则小球的加速度为零，故B正确；
C．由图乙可知，在内，小球从正向最大位移处（最低点）向平衡位置运动，即小球的速度方向竖直向上，故C错误；
D．由图乙可知，振幅，在内，小球先由平衡位置运动到正向最大位移处，又由正向最大位移处经平衡位置运动到负向最大位移处，通过的路程为，故D错误。
故选B。
10．CD
【详解】A．简谐运动的核心条件是回复力满足
小环沿弯曲杆运动时，受到杆的弹力和重力，合力并不满足简谐运动的回复力特征，因此小环不做简谐运动，故A错误；
BD．当时，代入曲线方程得
小环出发点对应的纵坐标
根据机械能守恒定律，小环运动到时，速度大小满足
解得
故小环在轴方向最远能运动到处，在该位置，小环的重力存在沿杆切线方向的分量，因此小环切向合力不为0，加速度不为0，故B错误，D正确；
C．小环运动到时，代入曲线方程得
根据机械能守恒定律，小环的速度大小满足
解得，故C正确。
故选CD。
11．ABD
【详解】A．由题图可知该简谐运动的周期，由，，所以质点做简谐运动的表达式为，或，故A选项正确；
B．时质点位于平衡位置，速度最大，质点沿x轴负方向运动，故B选项正确；
C．时质点不位于平衡位置，速度不是最大，质点沿x轴正方向运动，故C选项错误；
D．当时质点的位移为，故D选项正确。
故选ABD。
12．CD
【详解】A．由图可知，甲、乙两振子的振幅分别为、。，周期分别为、，二者并不完全相同，故A错误；
B．乙振子在任意二分之一周期内经过的路程均为；甲振子在四分之一周期内经过的路程与计时起点有关，只有从平衡位置或最大位移处开始计时才为，故B错误；
C．由图可知，甲振子位于最大位移处、速度为零时，乙振子均通过平衡位置，速度大小最大，故C正确。
D．由图可知，，所以，故D正确。
故选CD。
13．AD
【详解】A．鱼漂在水中仅受重力和浮力的作用，以静止时的O点为坐标原点，在O点
当处在位移x处时，有
符合简谐运动回复力的形式，故A正确；
B．点O过水面时，鱼漂到达了平衡位置，所受合力为零，加速度最小，故B错误；
C．点M到达水面时，鱼漂达到了向下的最大位移，此时鱼漂的速度为0，故C错误；
D．由简谐运动的特点可知，平衡位置速度最大，则鱼漂由上往下运动时，速度先增大后减小，故D正确。
故选AD。
14．ACD
【详解】A．由于返回后弹簧的最大压缩量是初始压缩量的一半，表明滑块滑上传送带时先向左做匀减速直线运动，后向右做匀加速直线运动，加速至与皮带速度相等后向右做匀速直线运动，则有，
解得传送带的速度，故A正确；
B．结合上述可知，滑块返回A点后匀速向右运动，压缩弹簧至最短，又向左加速至脱离弹簧做匀速运动，之后再次在传送带上向左做匀减速直线运动，减速至0后向右做匀加速直线运动到达A时速度恰好与皮带速度相等，之后重复上述运动，可知，经过足够长的时间，滑块最终不会静止于水平面上，故B错误；
C．设滑块在传送带上运动时的动摩擦因数为，加速度大小为，根据牛顿第二定律可得
解得
滑块第一次向左做匀减速直线运动过程，利用逆向思维有
第一次返回向右做匀加速直线运动过程有
滑块第一次在传送带上运动的过程中滑块与传送带间相对滑动的路程为
联立，解得
则产生的热量为，故C正确；
D．滑块第一次向右匀速运动的时间
根据题意有
其中，由C选项分析可知，
可知
由于滑块与弹簧接触过程的运动是简谐运动，可知，滑块在水平面上每次向右与向左运动的时间相等，均为，则滑块从释放到第5次经过A点的总时间为，故D正确。
故选ACD。
15． 4A 0 最大 不变
【详解】[1]简谐运动振幅为A，一个周期T内路程为4A；
[2]经过一个周期物体回到初始位置，初末位置相同，位移为0；
[3]O点是平衡位置：简谐运动平衡位置速度最大，所以动能最大。
[4]小球和弹簧组成的系统，只有重力、弹簧弹力做功，系统机械能不变。
16．2.0s
【详解】根据题意，由振动的对称性可知，AB的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为，质点从B向右到位移最大值处（设为D）的时间，所以质点从O到D的时间，所以。
17．(1)，
(2)，
【详解】（1）从振动图像可得振幅
由振动图像可知 时，振子运动到负向最大位移处，因此相对平衡位置的位移为；简谐运动中振子一个全振动通过的路程为，则路程为。
（2）由振动图像可得周期
设简谐运动位移表达式为
其中角频率
从点开始计时：时有，且振子向正方向运动，则初相位
因此表达式为
从点开始计时：时有，
可得
则表达式为
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩，根据平衡条件可得
解得
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅为
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等。从开始到平衡位置，根据机械能守恒定律可得
解得
（3）根据简谐运动的对称性可知，当盒子振动到最低点时，弹簧的压缩量为
此时弹簧的弹力大小为
对整体，根据牛顿第二定律可得
解得
对B，根据牛顿第二定律可得
解得
19．(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）由图知，，
（2）根据公式有，或
振子的振动方程为（cm）或（cm）
当时位移为
（3）从到的时间内的周期数为
所以在这段时间内通过的路程为
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答案第3页（共4页）

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