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3.2.3离散型随机变量的数学期望题型分类练习
学习目标：
1．通过具体实例理解离散型随机变量期望的数字特征.
2．能够计算离散型随机变量的期望，掌握期望的性质.
方法要点：
1．求离散型随机变量的期望一般分为四步：（1）确定离散型随机变量的可能取值；（2）求出变量取不同值时对应的概率；（3）写出分布列；（4）利用期望公式计算.
2．若，，为常数，一般思路是先求出，在利用公式，求得，也可由的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算的取值，对应的 概率相等，再有定义求得.
3．解决实际问题时.（1）把实际问题概率模型化；（2）利用有关概率的知识去分析相应各事件的可能性大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相应数学期望.
4．二项分布：若，则，超几何分布：若，则
典型例题：
题型一、利用定义求离散型随机变量的数学期望
例题1
1．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，设正面向上的次数为．
(1)写出该试验的样本空间，并求已知至少有一次正面向上的条件下，至少有一次反面向上的概率；
(2)求的分布列与数学期望．
变式1
2．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望.
题型二、离散型随机变量数学期望的性质
例题2
3．已知随机变量的分布列为
0 1 2
(1)求的值；
(2)求；
(3)若，求.
变式2
4．袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.
(1)求的分布列、均值；
(2)若，，求的值.
题型三、离散型随机变量数学期望的应用
例题3
5．为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响．
(1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率；
(2)若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望．
变式3
6．为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值．
(1)求的值；
(2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？
题型四、二项分布和超几何分布的数学期望
例题4
7．2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同.
(1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少
(2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望.
变式4
8．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响．
(1)求甲公司答对题数的分布列、期望.
(2)请从期望的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
课堂检测：
9．一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
10．随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ）
0 1 2
A． B． C．1 D．
11．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
12．某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （ ）
A． B． C． D．
13．有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________.
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
参考答案
1．（1）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，
试验的样本空间为正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反，
共有8种不同的情况，至少有一次正面向上的次数为7，
至少有一次正面向上且至少有一次反面向上的次数为6，
故所求概率为．
（2）由题意可知，的取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以的数学期望．
2．（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”，
（或）
（或）
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
.
（2）随机变量的可能取值为2，3，4.
，，，
随机变量的分布列为
2 3 4
所以随机变量的期望为.
3．（1）依题意，由分布列得，解得，
所以的值为.
（2）由（1）得.
（3）法一：因为，
所以.
法二：因为，所以的分布列如下：
所以.
4．（1）由题意可知袋中号的有，记上号的有个，
由古典概型可知，，，，；
的分布列为
的均值.
（2），又因为，则，所以.
5．（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，
因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以，
已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，
所以，，，
所以，
所以该同学投篮命中的概率为；
（2）由题意可知，得分的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以，
所以，该同学得分的数学期望为.
6．（1）投篮的次数的可能值为1，2，3，
1 2 3
所以，
由于，所以．
（2）略
7．(1)
(2)的分布列为：
8．
（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
可得.
（2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为，
随机变量服从二项分布:，所以
由，所以竞标成功的可能性相同.
9．A
10．A
11．D
12．B
13．
答案第1页（共2页）
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