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3.2.4离散型随机变量的方差题型分类练习
学习目标：
1．通过具体实例理解离散型随机变量方差的数字特征.
2．能够计算离散型随机变量的方差，掌握方差的性质.
方法要点：
1．求离散型随机变量的方差的类型及其解决方法：（1）已知分布列型：直接利用定义求解，先求期望，再求方差；（2）已知两点分布或二项分布：直接套用方差的公式计算即可；（3）位置分布列型：求解时先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转为（1）中的情况进行求解.
2．若，，为常数，一般思路是先求出，在利用公式，求得，也可由的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算的取值，对应的 概率相等，再求其期望.最后求方差.
3．若X服从两点分布，则；若X服从两项分布，则.
4．数学期望知识体现了随机变量取值均值的大小，在作比较时，只比较数学期望相对就比较片面，还需要比较取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地做出判断.
典型例题：
题型一、求离散型随机变量的方差
例题1
1．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.
(1)求的分布列；
(2)求的均值和方差.
变式1
2．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为．
(1)求的分布列、数学期望与方差；
(2)求的值．
题型二、方差的性质的应用
例题2
3．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
变式2
4．已知离散型随机变量的分布列如下表，且．
0 2
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值．
题型三、二项分布的方差
例题3
5．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差．
变式3
6．某中学举行有关飞鸟知识的竞答比赛，甲、乙两名同学进入了最后的决赛阶段，该阶段需要两名同学分别从6个题目中随机地抽取3个题目来作答，已知6个题目中，有3个是甲擅长的，一定能答对，另外3个是甲不擅长的，每题答对的概率只有6个题目中，乙答对每个题目的概率均为;甲乙各次答题相互独立，在决赛阶段作答的3个题目中，记甲、乙答对的题目个数分别为X和Y.
(1)若求随机变量Y的数学期望和方差;
(2)求随机变量X的分布列;
(3)求在决赛阶段，乙至少答对一道题目的概率大于甲至少答对一道题目的概率时p的取值范围.
题型四、数学期望与方差的综合应用
例题4
7．为选拔奥运会射击选手，对甲 乙两名射手进行选拔测试.已知甲 乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求X，Y的概率分布；
(2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲 乙的射击技术并从中选拔一人.
变式4
8．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床：
次品数 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B机床：
次品数 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
试判断哪台机床的质量比较好．
课堂检测：
9．随机变量的分布列如下表，若，则（ ）
0 1 2
A． B． C． D．
10．设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
11．袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（ ）
A． B． C． D．
12．设，随机变量的分布列如下表，
0 1 2
则当在区间内增大时，（ ）
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
13．随机变量，则__________．
试卷第1页（共3页）
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参考答案
1（1）依题意，的可能值有.
则，，.
则的分布列为：
（2）由（1）中的分布列，可得
.
另解：因
则
2．（1）由题意得：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，则，
所以，
，，
所以的分布列为：
所以；
（2）由（1）有：，
所以.
3．（1）由题意可得：，解得，
所以.
（2）因为，则，
所以.
4．（1）由题意知，解得，
因为，所以，
则，解得．
（2）方法一：
．
方法二：，
．
（3）因为，
所以．
5．设智能客服的回答被采纳的概率为，
由全概率公式可得，
智能客服每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布，
则，得到，
，，
，，
故，
得到的分布列为：
0 1 2 3
6．（1）当时，，
.
（2）的可能取值为0，1，2，3且
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
（3）乙至少答对一道题目的概率为，
甲至少答对一道题目的概率为，
由题得：，结合解得
7．（1）依题意，，解得，
乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
乙射中7环的概率为，
的概率分布为：
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
的概率分布为：
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）可得
（环），
（环），
，
，
由于，说明甲平均射中的环数比乙高，
又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，
所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会.
8．，
；
，
．
因为，，
所以两机床次品数的均值一样，但A机床次品数的方差小，数据更稳定，
故A机床质量好一些．
9．D
10．C
11．A
12．D
13．
答案第1页（共2页）
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