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3.3正态分布题型分类练习
学习目标：
1．理解正态分布期望、方差及其含义.
2．能够利用正态分布解决实际问题.
方法要点：
1．正态分布密度函数的解析式，把握住两个特点，一个是对称轴，一个是最大值，这两点确定以后就可以确定参数，带入密度函数就可得到解析式.
2．利用正态分布求概率的两种方法：（1）对称法：正态分布的曲线是关于直线对称的，且概率之和为1，故关于对称的区间概率相等.（2）：3准则：利用落在区间三个特殊区间的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解.
3．在实际应用问题中，应注意题设中的给定区间与和的关系，利用3准则对应的概率进行判断，同时需要注意正态分布与其他概型的结合应用求期望等.
典型例题：
题型一、正态曲线和函数的应用
例题1
1．若随机变量的概率分布密度函数是偶函数，且该函数的最大值为．求函数的解析式．
变式1
2．如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
题型二、利用正态分布对称性求概率
例题2：
3．设，试求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式2
4．设随机变量，若.
（1）求c的值；
附：若随机变量，则.
题型三、正态分布的实际应用
例题3
5．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀．
(1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数．
参考数据：
若，则，．
变式3
6．某工厂生产一种零件，其长度 （单位：mm）服从正态分布.
(1)求零件长度在 内的概率；
(2)从一批零件中随机抽取 10 个，设长度在 内的零件个数为，求.
（参考数据： ）
题型四、3准则的综合应用
例题4
7．2025年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.
附：若，则，
，.
变式4
8．某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲 乙 丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，
9．设随机变量，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
10．已知甲 乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ）
A．且
B．且
C．
D．
11．某市高三年级男生身高近似服从正态分布，若，则（ ）
A．0.65 B．0.85 C．0.15 D．0.3
12．已知随机变量，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．随机变量，且，则__________．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
参考答案
1．因为是偶函数，所以其图像关于轴对称，即．
由，得．故．
2．解：由图可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，
由，解得σ＝，
所以该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝，，
随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
3．（1），．
所以．
（2）∵该正态曲线关于直线对称，
所以．
（3）∵该正态曲线关于直线对称，
，
.
（4）因为该正态曲线关于直线对称，
，
．
4．（1）由题意，随机变量，且
由正态分布的对称性可知，
故c的值为2.
（2）由于，因此
故
5．（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，
可得，则，
所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例,
所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为.
（2）解：由，
则
,
因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人，
所以成绩在内的学生人数大约为人.
6．（1）
（2）由题意知.
7．（1）由频率分布直方图可知，
质量超过515克的产品的频率为，
质量超过515克的产品数量为（件）.
.
（2）由题意可得，
则，
则该批产品质量指标值的概率：
.
（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，
该产品的质量超过515克的概率为.
所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布.
故，质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且,
,
，
，，
的分布列为
Y 0 1 2
P
Y的均值为或者
8．（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，
所以，
则，
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为，则：
，
，
，
，
可得随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以.
9．B
10．C
11．B
12．D
13．0.3
答案第1页（共2页）
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