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第三章：概率章末复习题型分类练习
学习目标：
1．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．
2．学习重伯努利试验知识重点提升数学建模及数学运算的核心素养．
3．掌握均值和方差的计算，重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养．
4．熟记正态分布的特征及应用3原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养．
方法要点：
1．条件概率：一般地，如果事件，是两个随机事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率读作发生的条件下发生的概率．
2．如果个事件中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称相互独立．一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立：．
3．全概率公式：若将样本空间分为个部分，则可以推广得到以下结论：特点：
①任意两个事件均互斥，即；
②；
③．
则对中的任意事件，都有，且
全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
4．离散型随机变量
如果随机变量的所有可能取值都可以一一列举出来，则称为离散型随机变量．
5．离散型随机变量的分布列
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
X …
P …
（2）离散型随机变量分布列的意义和作用
①离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．
②离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
（3）离散型随机变量的分布列的性质
①；
②1．
6．两点分布的概念
如果随机变量只取值0或1，且其概率分布是，，，则称随机变量服从两点分布，记作．
7．次独立重复试验
一个所有可能结果只有两种的随机试验，称为伯努利试验．一般地，在相同条件下重复做次伯努利试验，且各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为重伯努利试验，它也是一种次独立重复试验．
8．二项分布
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件出现的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则有概率分布：，，其中．
注意到正好是二项式的展开式中的第项，故称随机变量服从二项分布，记作，其中，为参数，为事件发生的概率．
9．超几何分布
一般地，设有件产品，其中有件次品．从中任取件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么，，．（*）其中，，，，．如果随机变量的分布列为超几何分布列，就称服从超几何分布，记作．
10．离散型随机变量的期望与方差
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
… …
… …
则称=为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
称为随机变量的方差，并称为的标准差．通常还用表示方差，用表示标准差．
（1）．两点分布：若，则．
（2）．二项分布：若，则．
（3）．超几何分布：若，则．
（4）．离散型随机变量的数学期望的性质：若，，为常数，则．
11．正态分布
我们称，，其中，时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当，时，称随机变量X服从标准正态分布．
（3）正态分布的期望与方差：若，则，．
正态曲线的特点：
①非负性：对，，它的图象在x轴的上方．
②定值性：曲线与x轴之间的面积为1．
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线对称．
④最大值：曲线在处达到峰值．
典型例题：
题型一、条件概率的求法
例题1：
1．已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.
(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；
(3)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.
变式1：
2．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求和．
题型二、全概率公式
例题2：
3．有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同．
(1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率；
(2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大．
变式2：
4．2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%．
(1)求用户对S型新能源汽车的满意率；
(2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率．
题型三、离散型随机变量的分布列、期望与方差
例题3：
5．甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得10分的概率；
(2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
变式3：
6．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.
(1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；
(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大 并说明理由.
题型四、正态分布
例题4：
7．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布.
(1)试求考试成绩X位于区间内的概率；
(2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数.
（参考数据：，）
变式4：
8．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
题型五、方程思想
例题5：
9．一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．
(1)求袋子内黑球的个数；
(2)求的分布列与均值．
变式5：
10．甲 乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型：.，甲从三类车型中挑选，乙从两类车型中挑选，甲 乙二人选择各类车型的概率如表：
甲
乙
若甲 乙都选类车型的概率为.
（1）求的值；
（2）求甲 乙选择不同车型的概率；
（3）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如表：
车型
补贴金额（万元/辆） 3 4 5
记甲 乙两人购车所获得的财政补贴和为，求的分布列.
课堂检测：
11．连续掷一颗质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　）
A． B． C． D．
15．已知随机变量，若，则的值为_____；若，，则________．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
参考答案
1．（1）采取放回的方法，每次抽到白球的概率均为，
所以两次都取得白球的概率；
（2）采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率；
（3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，
则，，
利用条件概率的计算公式，可得.
2．（1）从6人中选出3人共有种情况，
不选男生甲且不选女生乙共有种情况，
所以男生甲或女生乙被选中的概率为．
（2）女生乙被选中共有种情况，
所以，
男生甲被选中共有种情况，所以
男生甲被选中且女生乙被选中共有种情况，则，
所以．
3．（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”，
则，，
可得
，故取到红球的概率为.
（2）根据（1）中数据，
由贝叶斯公式知；
；
，
因为，所以该球取自2号箱的可能性最大．
4．（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，
“月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，
“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”，
“用户对S型新能源汽车满意”，
则，，两两互斥，且，，，
，，，
由全概率公式得
．
（2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率，
5．（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况，
根据独立事件概率乘法公式，可得；
（2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，
甲、乙都答对的概率为，
甲、乙都答错的概率为，
根据互斥事件的概率加法公式，可得，
因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以.
则，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
则的数学期望；
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
① 三局都得10分，其概率为，
② 两局得10分，一局得分，其概率为，
③ 两局得10分，一局得分，其概率为，
④ 一局得10分，两局得分，其概率为，
综上可得，甲最终获胜的概率为.
6．（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，，
，，，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
.
（2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数的分布列为：
所以，
.
7（1）∵，
∴.
∵，
.
且，
∴.
（2）∵，
，
且，
∴，
∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）.
8．（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，
所以，
则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.
（2）因为，所以，
依题意可得，所以，
因为，所以，
又为正整数，所以的最小值为2001.
9．（1）设袋子内黑球的个数为，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为，化简得，解得或（舍去），即袋子内有4个黑球．
（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3 4
．
10．（1）甲选C为事件甲C，，乙选C为事件乙C ，，
所以根据题意：，所以.
又因为，所以.
（2）甲 乙选不同车型为事件M，则甲A乙BC+甲B乙C +甲C乙B，
所以.
（3）根据题意，X为7，8，9，10，
，，
，
，其分布列为
X 7 8 9 10
P
.
11．C
12．D
13．D
14．D
15． ； .
答案第1页（共2页）
答案第1页（共2页）

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