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同步探究学案
课题 28.1 图形的旋转（第2课时） 单元 第二十八章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.掌握旋转作图的思路：确定关键点，作出关键点旋转后的对应点，依次连接对应点得到旋转后的图形． 2.能依据教材例题，完成正方形背景下三角形的旋转作图，理解旋转中心不同、旋转角不同会得到不同图案效果． 3.感受旋转在图案设计中的作用，提升动手作图能力与空间想象能力．
重点 掌握旋转作图一般步骤，会画出简单图形旋转后的图形．
难点 准确确定关键点旋转之后的对应点位置．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：旋转有哪些性质？ 答案：（1）旋转前后的图形全等． （2）一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. 问题2：平移、轴对称作图是怎么做的？ 答案：找出图形关键点，作出关键点对应点，再依次连接．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助画平移和轴对称的方法，研究旋转作图的步骤并设计图案。 例：如图所示，是正方形的边上任意一点，以点为旋转中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形. 分析：画图的关键是确定三个顶点的对应点的位置. 问题1：旋转中心是谁？它的对应点？ 答案：A点；旋转中心对应点是自身． 问题2：旋转90°后D点为什么和B点重合？ 答案：正方形，，顺时针转90°D落到B． 问题3：怎么确定E点对应点？ 答案：保证，，取在CB延长线上． 解：因为点是旋转中心，所以它的对应点是它本身. 在正方形中，，所以旋转后点与点重合. 设点的对应点为.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以 因此，在的延长线上取点，使，则为旋转后的图形(如图所示). 想一想：还有其他方法确定旋转后的图形吗 归纳：旋转作图步骤： （1）找出图形的关键点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）分别连接图形中的各关键点和旋转中心； （3）以旋转中心为角的顶点，（2）中所连线段为旋转角的一边，按旋转方向作出旋转角； （4）在旋转角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到该关键点的对应点； （5）顺次连接各对应点，得到旋转后的图形． 利用旋转，可以设计美丽的图案. 操作1：如图1所示，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图2中的五角星图案. 想一想，需要旋转几次，每次的旋转角是多少 答案：4次；每次72°． 操作2：当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案（如图所示）时，会出现不同的效果. （1）如图所示，在图中的两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改变了，产生了不同的旋转效果. （2）如图所示，在图中的两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的旋转效果. （3）经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案(如图所示)
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 答案：①② 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 答案：(1)如图即为所求； (2)由坐标系可得，点的坐标为． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B的坐标分别为和，点D在y轴上．将菱形绕点D逆时针旋转，得到四边形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，在三角形中，，，点，在上，且． (1)画出将三角形绕点逆时针旋转后的三角形； (2)连接，求证：； (3)若，求的长． 解：(1)如图，即为所作； (2) 证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图所示： ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； (3) ∵，， ，，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 答案： 3．要把如图所示的等边三角形分成3个全等的四边形，小亮想到了将等边三角形的中心O（）作为3个四边形的公共顶点，你能帮他完成分割吗？ 解：在边上任取一点D，将D分别绕点O旋转和得到；连接，如图所示，四边形即为所求 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，四边形是长方形，是对角线．请解答下列问题： (1)将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，与交于点G，求证：． 答案：(1)解：如图所示： (2)证明：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，． 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴．
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课题 28.1 图形的旋转（第2课时） 单元 第二十八章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.掌握旋转作图的思路：确定关键点，作出关键点旋转后的对应点，依次连接对应点得到旋转后的图形． 2.能依据教材例题，完成正方形背景下三角形的旋转作图，理解旋转中心不同、旋转角不同会得到不同图案效果． 3.感受旋转在图案设计中的作用，提升动手作图能力与空间想象能力．
重点 掌握旋转作图一般步骤，会画出简单图形旋转后的图形．
难点 准确确定关键点旋转之后的对应点位置．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：旋转有哪些性质？ 问题2：平移、轴对称作图是怎么做的？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助画平移和轴对称的方法，研究旋转作图的步骤并设计图案。 例：如图所示，是正方形的边上任意一点，以点为旋转中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形. 分析：画图的关键是确定三个顶点的对应点的位置. 问题1：旋转中心是谁？它的对应点？ 问题2：旋转90°后D点为什么和B点重合？ 问题3：怎么确定E点对应点？ 想一想：还有其他方法确定旋转后的图形吗 归纳：旋转作图步骤： （1）找出图形的关键点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）分别连接图形中的各关键点和旋转中心； （3）以旋转中心为角的顶点，（2）中所连线段为旋转角的一边，按旋转方向作出旋转角； （4）在旋转角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到该关键点的对应点； （5）顺次连接各对应点，得到旋转后的图形． 利用旋转，可以设计美丽的图案. 操作1：如图1所示，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图2中的五角星图案. 想一想，需要旋转几次，每次的旋转角是多少 操作2：当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案（如图所示）时，会出现不同的效果. （1）如图所示，在图中的两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改变了，产生了不同的旋转效果. （2）如图所示，在图中的两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的旋转效果. （3）经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案(如图所示)
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B的坐标分别为和，点D在y轴上．将菱形绕点D逆时针旋转，得到四边形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，在三角形中，，，点，在上，且． (1)画出将三角形绕点逆时针旋转后的三角形； (2)连接，求证：； (3)若，求的长．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 3．要把如图所示的等边三角形分成3个全等的四边形，小亮想到了将等边三角形的中心O（）作为3个四边形的公共顶点，你能帮他完成分割吗？ 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 【综合拓展类作业】 5．如图，四边形是长方形，是对角线．请解答下列问题： (1)将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，与交于点G，求证：．
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