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同步探究学案
课题 28.2.1 中心对称及其性质 单元 第二十八章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.知道中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，理解两个图形成中心对称、对称中心、对称点的概念． 2.通过探究得到中心对称性质：成中心对称的两个图形全等；对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分． 3.会依据性质，作出一个图形关于某一点成中心对称的图形．
重点 理解中心对称概念，掌握中心对称性质，会作中心对称图形．
难点 理解中心对称性质，利用性质完成说理与作图．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：旋转的性质是什么？ 问题2：说一说旋转作图的步骤？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助把一个图形旋转180°，研究特殊的旋转——中心对称． 思考：(1)如图1所示，把其中一个图案绕点旋转，你有什么发现 (2)如图2所示，线段，相交于点，，.把绕点旋转，你有什么发现 图1 图2 归纳：像这样，一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与另一个图形__________，那么就说这两个图形关于这个点__________或__________，这个点叫作__________(简称__________)，这两个图形在旋转后能重合的点叫作__________. 例如，在图2中，和关于点对称，点与点是对称点. 想一想：你还能指出其他对称点吗 作为特殊的旋转，中心对称具有旋转的性质．除此之外，中心对称还有什么特殊的性质呢？ 探究：如图所示，和关于点对称，我们仍考虑它们的对称点之间的关系. 对称中心与对称点的连线有什么关系 点与呢 归纳：中心对称除了具有旋转的性质，还具有性质： 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过__________，并且被对称中心__________. 思考：给定一个点和一个图形，怎么画出与这个图形关于这个点中心对称的图形呢？ 例1：如图所示，选择点为对称中心，作出与关于点对称的. 分析：关键是利用中心对称的性质确定三个顶点的对称点. 归纳：中心对称的作图步骤 （1）选择已知图形上的关键点，连接关键点和对称中心； （2）延长所连线段，在延长线上取得对称点，使对称点到对称中心的距离与关键点到对称中心的距离相等； （3）依次重复找对称点的步骤，找到各个关键点的对称点； （4）将所得的对称点按照原图形的顺序顺次连接，即可得到所需求作的图形． 例2：如图，△ABC 和△DEF 是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心． 归纳：确定对称中心的方法 （1）连接任意一组对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心； （2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 3．（1）请你在如图的正方形网格中，画出线段关于点成中心对称的线段； （2）已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 选做题： 4．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（ ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【综合拓展类练习】 5．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，和是成中心对称的两个图形． (1)对称中心是点_____； (2)点的对应点是点_____； (3)和_____全等图形（填“是”或“不是”）． 3．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 选做题： 4．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积．
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课题 28.2.1 中心对称及其性质 单元 第二十八章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.知道中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，理解两个图形成中心对称、对称中心、对称点的概念． 2.通过探究得到中心对称性质：成中心对称的两个图形全等；对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分． 3.会依据性质，作出一个图形关于某一点成中心对称的图形．
重点 理解中心对称概念，掌握中心对称性质，会作中心对称图形．
难点 理解中心对称性质，利用性质完成说理与作图．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：旋转的性质是什么？ 答案：（1）旋转前后的图形全等． （2）一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. 问题2：说一说旋转作图的步骤？ 答案：（1）找出图形的关键点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）分别连接图形中的各关键点和旋转中心； （3）以旋转中心为角的顶点，（2）中所连线段为旋转角的一边，按旋转方向作出旋转角； （4）在旋转角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到该关键点的对应点； （5）顺次连接各对应点，得到旋转后的图形．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助把一个图形旋转180°，研究特殊的旋转——中心对称． 思考：(1)如图1所示，把其中一个图案绕点旋转，你有什么发现 图1 答案：一个图案旋转后与另一个图案重合 (2)如图2所示，线段，相交于点，，.把绕点旋转，你有什么发现 图2 答案：旋转后的OCD与重合 归纳：像这样，一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心(简称中心)，这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点. 例如，在图2中，和关于点对称，点与点是对称点. 想一想：你还能指出其他对称点吗 预设：点D和点B是关于点O的一对对称点. 作为特殊的旋转，中心对称具有旋转的性质．除此之外，中心对称还有什么特殊的性质呢？ 探究：如图所示，和关于点对称，我们仍考虑它们的对称点之间的关系. 对称中心与对称点的连线有什么关系 点与呢 答案：因为点是点绕点旋转后得到的，所以点是线段的中点.同样地，点也是线段和的中点. 归纳：中心对称除了具有旋转的性质，还具有性质： 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分. 思考：给定一个点和一个图形，怎么画出与这个图形关于这个点中心对称的图形呢？ 与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形． 例1：如图所示，选择点为对称中心，作出与关于点对称的. 分析：关键是利用中心对称的性质确定三个顶点的对称点. 解：如图所示，连接，在的延长线上截取，即可以得到点关于点的对称点.以同样的方法分别作出点关于点的对称点，依次连接，就得到与关于点对称的. 归纳：中心对称的作图步骤 （1）选择已知图形上的关键点，连接关键点和对称中心； （2）延长所连线段，在延长线上取得对称点，使对称点到对称中心的距离与关键点到对称中心的距离相等； （3）依次重复找对称点的步骤，找到各个关键点的对称点； （4）将所得的对称点按照原图形的顺序顺次连接，即可得到所需求作的图形． 例2：如图，△ABC 和△DEF 是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心． 解法一：根据观察，C，F应是对称点， 连接CF， 用刻度尺找出CF的中点O， 点O即为所求． 解法二：根据观察，A，D及C，F应是两组对称点， 连接AD，CF，相交于点O， 点O即为所求． 归纳：确定对称中心的方法 （1）连接任意一组对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心； （2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 答案：C 2．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 答案： 3．（1）请你在如图的正方形网格中，画出线段关于点成中心对称的线段； （2）已知四边形和点，求作四边形，使四边形和四边形关于点成中心对称； （3）如图，和是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心． 答案： （1）连接，并延长至，使得到点，同样得到点，连接即可．如图 （2）连接，并延长到，使得，于是得到点A的对称点； 同样画出点B、点C和点D的对称点、点和点； 顺次连接、、、，如图所示的即为所求的四边形． （3）连接、交于点，即为所求． 选做题： 4．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（ ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 证明：(1)连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； (2)在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．如图，和是成中心对称的两个图形． (1)对称中心是点_____； (2)点的对应点是点_____； (3)和_____全等图形（填“是”或“不是”）． 答案：(1)O (2)D (3)是 3．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 解：（1）即为所求； （2）的面积． 选做题： 4．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类作业】 5．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 答案：(1)证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2)如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积．
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