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4.2.1回归直线方程题型分类练习
学习目标：
1．了解回归模型的含义，了解最小二乘法原理.
2．能够利用最小二乘法求回归直线.
方法要点：
1．求回归直线的一般步骤：（1）收集样本数据，一般题目会给出；（2）作出散点图；（3）计算，，，；（4）计算出和；（5）写出回归方程.
2．注意公式的选用，有些问题参考公式不能直接使用时，需要用的公式的化简变形.
典型例题：
题型一、求回归直线方程
例题1：
1．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：
零件的个数x（个） 2 3 4 5
加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
参考公式：，，残差
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出关于的线性回归方程；
(3)求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？
变式1：
2．某班10名学生的摸底考试成绩和期末考试成绩如下：
摸底成绩 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50
期末成绩 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68
计算得：，．
(1)画出散点图；

(2)建立一个回归直线方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩（精确到0.1）．
附：，．
题型二、公式的转换及其应用
例题2：
3．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高 160 170 175 185 190
儿子身高 170 174 175 180 186
参考数据及公式：，，，，，．
根据表中数据，求出关于的线性回归方程．
变式2：
4．如图是我国2015年至2023年岁及以上老年人人口数（单位：亿）的折线图，
注：年份代码分别对应年份．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到）加以说明；
(2)建立关于的回归方程（系数精确到）．
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数 若，则与有较强的线性相关性．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
课堂检测：
5．已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ）
3 4 6 7
20 40 80
A．50 B．60 C．70 D．75
6．某公司研发新产品投入（单位：百万）与该产品的收益（单位：百万）的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ）
5 6 8 9 12
16 20 25 28 36
A．与有正相关关系 B．回归直线经过点
C． D．时，残差为0.2
7．已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且
研发资金投入x/亿元 2 10
性能提升评估指数y 2 12
已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（ ）
A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7
9．为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了组观察值．计算知，，，，则关于的经验线性回归方程是________．附：，
试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．(1)
(2)；
(3)；8.05个小时
2．(1)

（2）（2）由表格数据，，
，
则．
，
故回归直线方程为．
3．，，
，，
故回归方程为：．
4．（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，，
所以，，
，
所以，
所以，
故与之间存在较强的正相关关系．
（2）由（1），结合题中数据可得，
，，
，
所以关于的回归方程为．
5．B
6．C
7．D
8．B
9．由题干中的数据可得，，
所以，，则.
因此，关于的经验线性回归方程是.
故答案为：.
答案第1页（共2页）
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