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分课时学案
课题 21章 小结与评价 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.梳理一元二次方程单元知识框架，巩固一元二次方程的概念，理解方程模型。 体会 “降次转化” 的数学思想，理解配方法推导求根公式的逻辑。 2.熟练掌握四种解法，能根据方程特点灵活选法，提升解方程运算能力；掌握根的判别式、根与系数关系的简单运用。 3.能从实际问题中提取等量关系，建立一元二次方程模型，检验方程解的实际意义。
重点 1. 构建一元二次方程知识体系，熟练选用合适方法解一元二次方程。 2. 根的判别式、根与系数关系的简单应用；一元二次方程解决实际问题。
难点 1. 深刻理解 “降次转化” 的数学思想；配方法的理解与灵活运用。 2. 实际问题中，根据现实意义对一元二次方程的两个根进行检验与取舍。
教学过程
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新知讲解 知识点一：一元二次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 3.注意事项： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程. 4.项数和系数： ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数，a≠0) 二次项：ax2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项:c 跟踪训练 1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( ). A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D. m≠0 2.关于x的一元二次方程3x2-5x+1=0的二次项系数和一次项系数分别为( ). A. 3，5 B. 3，1 C. 3x2，-5x D. 3，-5 3.填空 (1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是_______ , 一次项系数是______，常数项是______. (2)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为______. 知识点二：解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及适用类型 1.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为( ). A. (x-1)2=6 C. (x+1)2=6 B. (x+2)2=9 D. (x-2)2=9 2.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-13x+36=0的根， 则该三角形的周长为( ). A.13 B.15 C.18 D.13或18 3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤). 知识点三：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系 数学语言：若ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2， 则 文字语言: 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件：1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； 2.方程有实数根，即Δ≥0. 跟踪训练 1.关于x的一元二次方程x2-2x-k2=0的根的情况是( ). A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 2.若关于x的一元二次方程x2-m=4x没有实数根，则实数m的取值范围是( ). A. m<-4 B. m>-4 C. m>4 D. m<4
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.给出下列关于x的方程： ①x2＋4x－2＝0， ② 4(1－x)2＝2， ③kx2＋4x－1＝0， ④(m－1)x2＋2x＋m＝1， ⑤(x＋1)2＝(2x－2)2， ⑥(m－1)x2＋2x＋m2＝1. 在上述所给的方程中，一定是一元二次方程的是①②⑤； 2.若一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2＝1的常数项为0，则m的值为 (　　). A. ±1 B．1 C．-1 D．0 3.延时课上，4名同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是(　　) A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 4.用合适的方法解下列方程： (1)x2－8x－11＝0； (2)(y－1)2＝2y(y－1)； 选做题： 5.一元二次方程x2-kx-3=0的根的情况是（ ）. A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6．在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要进行两轮比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若需要10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队的支数为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 【综合拓展类作业】 7.如图所示，某景区计划在一个长为36 m，宽为20 m的矩形空地上修建一个停车场，其中阴影部分为三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336 m2，空白部分为宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1．河南郑州期末下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为(　 　) A．x－＝1 B．x2－4＝2y C．－2x2＋3＝0 D．(a－1)x2－2x＝0 2.若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m的值为____． 3.若关于x的一元二次方程ax2＋6x－4＝0的解为x1＝1，x2＝2，则关于y的一元二次方程a(y＋1)2＋6(y＋1)－4＝0的解为 ． 【综合拓展类作业】 4.当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值 最小值是多少
答案：
跟踪训练
知识点一：一元二次方程的基本概念
1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( A ).
A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D. m≠0
分析：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项(二次项系数不为0)，因此它的系数m-1≠0，即m≠1，故选A.
2.关于x的一元二次方程3x2-5x+1=0的二次项系数和一次项系数分别为( D ).
A. 3，5 B. 3，1 C. 3x2，-5x D. 3，-5
3.填空
(1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是___4____ ,
一次项系数是__-2____，常数项是___0___.
(2)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为__-1____.
知识点二：解一元二次方程的方法
1.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为( A ).
A. (x-1)2=6
C. (x+1)2=6
B. (x+2)2=9
D. (x-2)2=9
2.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-13x+36=0的根，
则该三角形的周长为( A ).
A.13 B.15 C.18 D.13或18
分析：解方程x2-13x+36=0得x1=9，x2=4，即第三边长为9或4.
边长为9，3，6不能构成三角形；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6=13，
故选A.
3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤).
公式法：∵a=1，b=-4，c=-1，
∴Δ=b2-4ac =(-4)2-4×1×(-1)=20>0,
∴方程有两个不相等的实数根，
即x1= 2+ ，x2= 2- .
配方法：移项，得x2-4x=1，
配方，得x2-4x+22=1+22，
(x-2)2=5，
由此可得x-2= ，
即x1= 2+ ，x2= 2- .
知识点三：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系
1.关于x的一元二次方程x2-2x-k2=0的根的情况是( A ).
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法判断
分析：关于x的一元二次方程x2-2x-k2=0，∵a=1，b=-2，c=-k2,
∴Δ=(-2)2-4×1×(-k2)=4+4k2. ∵k2≥0，∴4+4k2>0，即Δ>0，
∴原方程有两个不相等的实数根. 故选A.
2.若关于x的一元二次方程x2-m=4x没有实数根，则实数m的取值范围是( A ).
A. m<-4 B. m>-4 C. m>4 D. m<4
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.给出下列关于x的方程：
①x2＋4x－2＝0， ② 4(1－x)2＝2， ③kx2＋4x－1＝0，
④(m－1)x2＋2x＋m＝1， ⑤(x＋1)2＝(2x－2)2，
⑥(m－1)x2＋2x＋m2＝1.
在上述所给的方程中，一定是一元二次方程的是①②⑤；
2.若一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2＝1的常数项为0，则m的值为
(　D　).
A. ±1
B．1
C．-1
D．0
3.延时课上，4名同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是(　D　)
A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵
4.用合适的方法解下列方程：
(1)x2－8x－11＝0； (2)(y－1)2＝2y(y－1)；
解：(1)原方程整理为x2－8x＝11，
x2－8x＋16＝11＋16，
(x－4)2＝27，
x－4＝±3，
∴x1＝4＋3，x2＝4－3.
(2)解：原方程整理为(y－1)2－2y(y－1)＝0，
∴(y－1)(y－1－2y)＝0，
∴y－1＝0或y－1－2y＝0，
解得y1＝1，y2＝－1.
选做题：
5.一元二次方程x2-kx-3=0的根的情况是（ B ）.
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根
D. 没有实数根
6．在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要进行两轮比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若需要10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队的支数为(　B　)
A．15 B．16 C．17 D．18
【综合拓展类作业】
7.如图所示，某景区计划在一个长为36 m，宽为20 m的矩形空地上修建一个停车场，其中阴影部分为三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336 m2，空白部分为宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？
解：设行车通道的宽度为x m.
根据题意，得(36－4x)(20－2x)＝336.
整理，得x2－19x＋48＝0.
解得x1＝3，x2＝16(不合题意，舍去)．
答：行车通道的宽度是3 m.
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．河南郑州期末下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为(　C　)
A．x－＝1 B．x2－4＝2y
C．－2x2＋3＝0 D．(a－1)x2－2x＝0
2.若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m的值为__5__．
3.若关于x的一元二次方程ax2＋6x－4＝0的解为x1＝1，x2＝2，则关于y的一元二次方程a(y＋1)2＋6(y＋1)－4＝0的解为y1＝0，y2＝1．
【综合拓展类作业】
4.当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值 最小值是多少
解：2x2+8x+12
=2(x2+4x+6)
=2(x2+4x+4+2)
=2(x+2)2+4.
因为(x+2)2≥0，所以2x2+8x+12≥4，
因此，当x=-2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4.
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