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第5讲　专题强化:动态平衡　平衡中的临界、极值问题
1.(5分)(2025·陕西西安模拟)如图所示,要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F,已知F的最大值为a,最小值为b,则物块所受的最大静摩擦力为(　　)
A.
C.
2.(5分)(2025·甘肃兰州模拟)如图1所示,为了保持餐具安全卫生,学校食堂将清洗干净后的碗碟等餐具侧立着竖直放置于餐具架上,其侧视图如图2所示,其中固定光滑直杆a、b分别为两等高水平金属杆,图中碗外壁可看作半径为R的半球形。下列说法正确的是 (　　)
A.若稍微增大a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对a杆的压力不变
B.若稍微减小a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对b杆压力变大
C.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对a杆的压力变小
D.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对b杆的压力不变
3.(5分)如图所示,一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦,在此过程中(　　)
A.F1先减小后增大 B.F1一直增大
C.F2一直减小 D.F2先减小后增大
4.(5分)(2025·海南三亚模拟)《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物。如图所示,轻绳一端固定,另一端系在重物上,现向左推动车梯,重物沿斜面缓慢上升,忽略重物和车梯间的摩擦阻力,则此过程中(　　)
A.重物受到的轻绳拉力不变
B.重物受到的轻绳拉力增大
C.重物受到的斜面支持力不变
D.重物受到的斜面支持力增大
5.(5分)(多选)如图所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑块固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点),细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接,另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小,使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触,则下列说法正确的是(　　)
A.拉力F一直减小
B.拉力F先增大后减小
C.半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
D.半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
6.(5分)(2025·辽宁朝阳模拟)如图所示,水平杆AO与光滑竖直杆OB,相同的金属球P、Q分别套在杆OA和OB上,并用轻绳连接,水平杆粗糙,现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许后撤去水平力,两球仍静止,则P球受到的摩擦力f和OB杆、OA杆的支持力NB与NA以及PQ间绳子的拉力T变化情况为(　　)
A.f减小,NB增大 B.f增大,NA增大
C.f增大,T减小 D.NA不变,T增大
7.(5分)(2025·安徽合肥模拟)如图所示,两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上,紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上,三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同,不考虑它们之间的摩擦,则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
A.
8.(5分)(2026·辽宁大连检测)如图甲所示,一攀岩爱好者正在进行攀岩运动,由于前期攀爬体力消耗过大,所以借助攀岩绳停在图示位置做短暂休息调整。攀岩绳可视为轻绳,一端固定在竖直崖壁上的B点,另一端拴在人的腰间O点(重心处),人的两脚并拢,踩在崖壁上的A点,该过程可以简化为如图乙所示的模型,轻绳为拉直状态,OA也视为直线。已知图乙中三角形三条边的长度之比为OA︰OB︰AB=4︰5︰6,则攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为(　　)
A.4︰5 B.5︰4
C.5︰6 D.6︰5
9.(5分)(一题多法)(2026·T8联考)如图,光滑水平面上,细线一端固定在O点,另一端与小球相连,小球受到两个相互垂直的水平拉力F1和F2,细线始终水平,F1与细线的夹角为α(α为钝角),小球始终处于平衡状态。则下列说法正确的是(　　)
A.保持拉力F2恒定不变,F1方向不变,大小逐渐增加,则小球受到细线的拉力逐渐减小
B.只增加细线的长度,保持三个力方向不变,则F2减小
C.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐增大
D.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐减小
10.(5分)(2025·河北邯郸模拟)我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出,工人们会搭建简易的斜面通道,这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示,若斜面的倾角为15°,方形矿石与斜面间的动摩擦因数为,重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑,所需的拉力最小值为(　　)
A. mg
C. mg
11.(5分)(多选)(2025·山西临汾模拟)如图是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景示意图。一名工人甲在A点向上拉绳子AO,另一名工人乙站在水平地面上拉住另一根绳子OB,防止空调撞墙。在吊运的过程中,地面上的工人乙在缓慢后退时缓慢放绳,室外机缓慢竖直上升,绳子OB与竖直方向的夹角近似不变,下列说法正确的是(　　)
A.绳子AO上的拉力不断减小
B.绳子OB上的拉力不断增大
C.地面对工人乙的支持力不断增大
D.地面对工人乙的摩擦力不断增大
12.(5分)(2025·海南三亚模拟)如图所示,一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间,支架的倾角θ=60°,光滑球体的质量为m,支架的质量为2m,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,整个装置保持静止,则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　)
A.
第5讲　专题强化:动态平衡　平衡中的临界、极值问题
1.(5分)(2025·陕西西安模拟)如图所示,要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F,已知F的最大值为a,最小值为b,则物块所受的最大静摩擦力为(　A　)
A.
C.
解析:根据题意,当F最大时,有Fmax=mgsin θ+fm=a,当F最小时,有Fmin+fm=b+fm=mgsin θ,联立可得fm=,故选A。
2.(5分)(2025·甘肃兰州模拟)如图1所示,为了保持餐具安全卫生,学校食堂将清洗干净后的碗碟等餐具侧立着竖直放置于餐具架上,其侧视图如图2所示,其中固定光滑直杆a、b分别为两等高水平金属杆,图中碗外壁可看作半径为R的半球形。下列说法正确的是 (　C　)
A.若稍微增大a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对a杆的压力不变
B.若稍微减小a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对b杆压力变大
C.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对a杆的压力变小
D.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对b杆的压力不变
解析:由牛顿第三定律可知,碗对杆的压力与杆对碗的弹力始终等大反向。对碗受力分析如图,设b杆对碗的弹力F2与竖直方向的夹角为θ,则根据共点力的平衡条件可得F1=Gtanθ,F2=,若增大a、b间距,θ增大,则F1变大,故A错误;若减小a、b间距,则θ减小,F2减小,故B错误;将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间,则θ减小,F1减小,F2减小,故C正确,D错误。
3.(5分)如图所示,一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦,在此过程中(　C　)
A.F1先减小后增大 B.F1一直增大
C.F2一直减小 D.F2先减小后增大
解析:小球受到重力G、墙面的弹力F'1、木板的弹力F'2,受力分析如图所示,F'1的方向不变,受到的木板的弹力F'2方向由斜向左下转到斜向左上方的过程中,两个力的合力与重力等大、反向,根据平行四边形定则,由图可得F'1逐渐变小,F'2逐渐变小,根据牛顿第三定律知,F1、F2均一直减小,C正确,A、B、D错误。
4.(5分)(2025·海南三亚模拟)《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物。如图所示,轻绳一端固定,另一端系在重物上,现向左推动车梯,重物沿斜面缓慢上升,忽略重物和车梯间的摩擦阻力,则此过程中(　D　)
A.重物受到的轻绳拉力不变
B.重物受到的轻绳拉力增大
C.重物受到的斜面支持力不变
D.重物受到的斜面支持力增大
解析:重物缓慢上升的过程中,重物所受重力大小、方向不变,支持力的方向不变,而轻绳拉力的方向不断变化,受力如图所示,由图可知,重物所受支持力FN不断增大,轻绳拉力T不断减小,故选D。
5.(5分)(多选)如图所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑块固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点),细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接,另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小,使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触,则下列说法正确的是(　AD　)
A.拉力F一直减小
B.拉力F先增大后减小
C.半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
D.半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
解析:对B进行受力分析并合成三角形如图所示,根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似,则,移动过程中,高度h和两球的球心距离r不变,所以半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变,细线长度l变短,则拉力F减小,故B、C错误,A、D正确。
6.(5分)(2025·辽宁朝阳模拟)如图所示,水平杆AO与光滑竖直杆OB,相同的金属球P、Q分别套在杆OA和OB上,并用轻绳连接,水平杆粗糙,现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许后撤去水平力,两球仍静止,则P球受到的摩擦力f和OB杆、OA杆的支持力NB与NA以及PQ间绳子的拉力T变化情况为(　D　)
A.f减小,NB增大 B.f增大,NA增大
C.f增大,T减小 D.NA不变,T增大
解析:设每个小球的质量为m,以整体为研究对象,在竖直方向有N=2mg,故将P稍微向右移动少许后NA不变;以Q为研究对象,Q静止时合力为0,没有变化。Q受力情况如图所示,故有Tcos θ=mg,可得T=,由于P向右移动少许,故θ增大,所以T增大。而NB=Tsin θ=mgtan θ,由于θ增大,所以竖杆对Q的弹力NB增大。对整体来说NB=f,故P所受的摩擦力f增大,故选D。
7.(5分)(2025·安徽合肥模拟)如图所示,两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上,紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上,三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同,不考虑它们之间的摩擦,则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　B　)
A.
解析:设圆柱体的质量为m,则半圆柱体的质量为,设圆柱体与半圆柱体之间的弹力大小为F,对圆柱体进行受力分析如图所示,根据平衡条件有2Fcos 30°=mg,解得F=mg。设地面对一个半圆柱体的支持力为FN,结合对称性,对圆柱体与两半圆柱体整体进行分析有2FN=g,解得FN=mg,三者始终处于静止状态,则有Fsin 30°≤μFN,解得μ≥,即半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为,故选B。
8.(5分)(2026·辽宁大连检测)如图甲所示,一攀岩爱好者正在进行攀岩运动,由于前期攀爬体力消耗过大,所以借助攀岩绳停在图示位置做短暂休息调整。攀岩绳可视为轻绳,一端固定在竖直崖壁上的B点,另一端拴在人的腰间O点(重心处),人的两脚并拢,踩在崖壁上的A点,该过程可以简化为如图乙所示的模型,轻绳为拉直状态,OA也视为直线。已知图乙中三角形三条边的长度之比为OA︰OB︰AB=4︰5︰6,则攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为(　A　)
A.4︰5 B.5︰4
C.5︰6 D.6︰5
解析:如图,由力的平衡和三角形相似有,根据牛顿第三定律可得攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为4︰5,故选A。
9.(5分)(一题多法)(2026·T8联考)如图,光滑水平面上,细线一端固定在O点,另一端与小球相连,小球受到两个相互垂直的水平拉力F1和F2,细线始终水平,F1与细线的夹角为α(α为钝角),小球始终处于平衡状态。则下列说法正确的是(　D　)
A.保持拉力F2恒定不变,F1方向不变,大小逐渐增加,则小球受到细线的拉力逐渐减小
B.只增加细线的长度,保持三个力方向不变,则F2减小
C.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐增大
D.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐减小
解析:保持F2不变,如图甲所示,由三角形法则可知,F1增大时,FT逐渐增大,A错误。只增加细线的长度,对力的大小没有影响,F2大小不变,B错误。方法一:α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则F1与F2之间夹角β减小,且β<90°,沿着垂直F1方向正交分解可得FTsin(180°-α)=F2sin β,可知细线上拉力逐渐减小,C错误,D正确。
方法二:小球平衡时受三力作用如图乙所示,F1与FT的夹角和F2不变,故三个交点始终位于同一圆上,且初始时FT过圆心,弦长为最大值,此后F1沿顺时针转动,拉力FT逐渐减小。
10.(5分)(2025·河北邯郸模拟)我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出,工人们会搭建简易的斜面通道,这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示,若斜面的倾角为15°,方形矿石与斜面间的动摩擦因数为,重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑,所需的拉力最小值为(　A　)
A. mg
C. mg
解析:对矿石受力分析如图,将FN与Ff合成,设其合力方向与FN成α夹角,易知tan α=,得α=30°,分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线,可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等,即β=15°,由几何关系得,过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线,即为所需的拉力最小值,Tmin=mgsin (α+β),得Tmin=mg,故选A。
11.(5分)(多选)(2025·山西临汾模拟)如图是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景示意图。一名工人甲在A点向上拉绳子AO,另一名工人乙站在水平地面上拉住另一根绳子OB,防止空调撞墙。在吊运的过程中,地面上的工人乙在缓慢后退时缓慢放绳,室外机缓慢竖直上升,绳子OB与竖直方向的夹角近似不变,下列说法正确的是(　BD　)
A.绳子AO上的拉力不断减小
B.绳子OB上的拉力不断增大
C.地面对工人乙的支持力不断增大
D.地面对工人乙的摩擦力不断增大
解析:对室外机受力分析,分别受AO、OB拉力F1、F2和自身重力mg而平衡,室外机受力如图甲所示。将这三个力构成矢量三角形,如图乙所示。由图可知,地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳过程中,β不变,α逐渐增大,F1、F2均增大,故A错误,B正确;β不变,绳子的拉力F2增大,则绳子的拉力F2在竖直方向的分力增大,对地面工人,由平衡条件易得地面对工人的支持力不断变小,绳子的拉力F2在水平方向的分力增大,可知地面对工人乙的摩擦力不断增大,故C错误,D正确。
12.(5分)(2025·海南三亚模拟)如图所示,一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间,支架的倾角θ=60°,光滑球体的质量为m,支架的质量为2m,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,整个装置保持静止,则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　D　)
A.
解析:对光滑球体受力分析如图甲所示,根据平衡条件可得FN2cos θ=mg,对支架受力分析如图乙所示,根据牛顿第三定律可知FN3=FN2,
对支架由平衡条件可得FN4=2mg+FN3cosθ,Ff=FN3sin θ,又Ff=μFN4,联立以上各式解得μ=,可知支架和地面间的动摩擦因数至少为,故选D。

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