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第3讲　机械能守恒定律及应用
1.(5分)如图所示,斜劈的劈尖顶着竖直墙壁静止在水平地面上。现将一小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法中正确的是(　　)
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
2.(5分)(2025·安徽合肥模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示。开始时OA边处于水平位置,由静止释放,重力加速度为g,则(　　)
A.球A转动到最低点时,球A的速度最大
B.球A的最大速度为2
C.球A第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时,球A的速度最大
D.球A的最大速度为
3.(5分)如图所示,粗细均匀的U形管内装有同种液体,在管口右端用盖板A密闭,两管内液面的高度差为h,U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A,液体开始流动,不计液体内部及液体与管壁间的阻力,则当两管液面高度相同时,右侧液面下降的速度大小是(重力加速度为g)(　　)
A.
4.(5分)(2025·广东珠海模拟)轮轴机械是中国古代制陶的主要工具。如图所示,轮轴可绕共同轴线O自由转动,其轮半径R=20 cm,轴半径r=10 cm,用轻质绳缠绕在轮和轴上,分别在绳的下端吊起质量为2 kg、1 kg的物块P和Q,将两物块由静止释放,释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动,不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦,g取10 m/s2。在物块P从静止下降1.2 m的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物块P、Q速度大小始终相等
B.物块Q上升的距离为2.4 m
C.物块P下降1.2 m时物块Q的速度大小为4 m/s
D.物块P下降1.2 m时的速度大小为4 m/s
5.(5分)(多选)(2025·海南海口模拟)如图甲所示,半径R=0.4 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内,轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°,另一端点D与圆心O等高,点C为轨道的最低点。质量m=1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以速度v0水平抛出,恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道,物块进入轨道后开始计时,轨道受到的压力F随时间t变化的关系如图乙所示,g取10 m/s2,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.物块在D点的速率为8 m/s
B.F0的大小为70 N
C.v0的大小为 m/s
D.物块在B点时对轨道的压力大小为30 N
6.(5分)(多选)(2025·江西九江二模)如图所示,半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内,质量为m的A球和质量为3m的B球用长为R的轻杆相连,杆从竖直位置开始由静止释放,则(　　)
A.杆第一次水平时,A球的速度大小是
B.杆从释放到第一次水平过程中,A球的机械能增加
C.杆从释放到第一次水平过程中,杆对B球做正功
D.整个运动过程中,A球的最大速度为
7.(5分)(2026·湖北武汉检测)如图所示,两个质量相等可视为质点的球a、b通过铰链用长为L的刚性轻杆连接,球a套在竖直细杆M上,球b套在水平细杆N上,最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触(球a、b均可无碰撞通过O点),且两细杆间的距离忽略不计,将两小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.a、b两球组成的系统机械能不守恒
B.球a到达与球b等高位置时速度大小为
C.球a运动到最低点时,球b速度最大
D.球a从初位置下降到最低点的过程中,刚性轻杆对球a的弹力一直做负功
8.(5分)(多选)(2025·黑龙江哈尔滨二模)如图所示,质量为0.1 kg的带孔物块A和质量为0.2 kg的金属环B通过光滑铰链用轻质细杆连接,物块A套在固定的竖直杆上且与竖直放置的轻弹簧上端相连,轻弹簧下端固定在水平横杆上,轻弹簧劲度系数k=100 N/m,弹簧原长L0=4 cm,金属环B套在固定的水平横杆上。弹簧处于原长时将物块A由静止释放,弹簧始终在弹性限度内,已知弹簧的弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量)。忽略一切摩擦,g取10 m/s2,在物块A下降的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物块A和金属环B组成的系统机械能守恒
B.在A、B运动过程中,当图中θ=60°时,vB=vA
C.金属环B动能最大时,金属环B受到水平横杆的支持力大小等于2 N
D.弹簧弹性势能最大时,O、物块A间距离为1 cm
9.(5分)(2026·江苏常州月考)如图所示,不可伸长、长为l的轻细线一端固定于O点,另一端连接一小球,此时细线刚好伸直,与水平方向的夹角θ=30°。现将小球由静止释放,不计空气阻力,重力加速度为g,则小球运动到O点正下方时速度的大小为(　　)
A.
C.
10.(5分)(多选)(2025·辽宁大连模拟)如图所示,轻弹簧一端固定在O点,另一端与一质量为m的小球相连,小球套在固定的竖直光滑杆上,P点到O点的距离为L,OP与杆垂直,杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为L,重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放,下列说法正确的是(　　)
A.小球从M运动到N的过程中,有三个位置小球受到的合力等于重力
B.小球从M运动到N的过程中,小球的机械能守恒
C.小球从M运动到N的过程中,弹簧弹性势能先减小后增大
D.小球通过N点时速率为2
11.(10分)(2026·江苏徐州检测)如图所示,质量m1=8 kg的物块1与质量m2=4 kg的物块2通过光滑轻质定滑轮用不可伸长的轻绳连接,物块2与质量m3=4 kg的物块3用劲度系数为k=100 N/m的轻质弹簧相连接,物块3静置在水平地面上。初始时控制物块1使其静止于倾角θ=37°的光滑斜面上,此时轻绳恰好拉直且与斜面平行,轻绳无拉力,现由静止释放物块1,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=kx2。求:
(1)释放物块1前,弹簧的弹性势能;
(2)释放物块1的瞬间,物块2的加速度大小;
(3)释放物块1后,当物块3恰好对地面无压力时,物块1在斜面上运动的速度。
12.(10分)(2025·吉林白城模拟)如图所示,倾角为θ=30°的光滑斜面体A放在光滑的水平面上,已知斜面体A的质量为2m,高为h;细长直杆B的质量为m,受固定的光滑套管C约束,只能在竖直方向上自由运动。初始时,斜面体A在水平推力F作用下处于静止状态,此时杆B下端正好压在斜面体A的顶端。现撤去推力F,斜面体A、杆B便开始运动。重力加速度为g,求:
(1)推力F的大小;
(2)当杆B的下端刚滑到斜面体A底端时,斜面体A的速度大小;
(3)杆B滑下的过程中,斜面体A对杆B做的功。
第3讲　机械能守恒定律及应用
1.(5分)如图所示,斜劈的劈尖顶着竖直墙壁静止在水平地面上。现将一小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法中正确的是(　B　)
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
解析:不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功,系统机械能守恒,小球重力势能的减少量等于小球和斜劈动能的增加量,B正确,D错误;斜劈对小球的弹力方向与小球位移方向的夹角大于90°,故弹力做负功,A错误;斜劈由静到动,动能增加,重力势能不变,则斜劈的机械能增加,C错误。
2.(5分)(2025·安徽合肥模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图所示。开始时OA边处于水平位置,由静止释放,重力加速度为g,则(　D　)
A.球A转动到最低点时,球A的速度最大
B.球A的最大速度为2
C.球A第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时,球A的速度最大
D.球A的最大速度为
解析:根据题意知无论何时球A和B的角速度均相同,球A和B线速度大小之比,由系统机械能守恒可知,球A的速度最大时,二者的动能最大,此时两球总重力势能最小。当OA与竖直方向的夹角为θ时,由机械能守恒定律得mg2lcos θ-2mgl(1-sin θ)=,联立解得gl(sin θ+cos θ)-gl,由数学知识可得θ=45°时,sin θ+cos θ最大为,此时球A有最大速度v1=,故选D。
3.(5分)如图所示,粗细均匀的U形管内装有同种液体,在管口右端用盖板A密闭,两管内液面的高度差为h,U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A,液体开始流动,不计液体内部及液体与管壁间的阻力,则当两管液面高度相同时,右侧液面下降的速度大小是(重力加速度为g)(　B　)
A.
解析:设U形管的横截面积为S,液体的密度为ρ,拿去盖板,液体开始运动,根据机械能守恒定律得ρS·ρ·5hSv2,解得v=,故B正确。
4.(5分)(2025·广东珠海模拟)轮轴机械是中国古代制陶的主要工具。如图所示,轮轴可绕共同轴线O自由转动,其轮半径R=20 cm,轴半径r=10 cm,用轻质绳缠绕在轮和轴上,分别在绳的下端吊起质量为2 kg、1 kg的物块P和Q,将两物块由静止释放,释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动,不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦,g取10 m/s2。在物块P从静止下降1.2 m的过程中,下列说法正确的是(　D　)
A.物块P、Q速度大小始终相等
B.物块Q上升的距离为2.4 m
C.物块P下降1.2 m时物块Q的速度大小为4 m/s
D.物块P下降1.2 m时的速度大小为4 m/s
解析:由题意知轮半径R=20 cm,轴半径r=10 cm,根据线速度与角速度关系可知,故A错误;在物块P从静止下降1.2 m的过程中,由题意得,解得hQ=0.6 m,故B错误;根据机械能守恒定律得mPghP=+mQghQ,解得vQ=2 m/s,vP=4 m/s,故C错误,D正确。
5.(5分)(多选)(2025·海南海口模拟)如图甲所示,半径R=0.4 m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内,轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°,另一端点D与圆心O等高,点C为轨道的最低点。质量m=1 kg的物块(可视为质点)从空中A点以速度v0水平抛出,恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道,物块进入轨道后开始计时,轨道受到的压力F随时间t变化的关系如图乙所示,g取10 m/s2,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　BC　)
A.物块在D点的速率为8 m/s
B.F0的大小为70 N
C.v0的大小为 m/s
D.物块在B点时对轨道的压力大小为30 N
解析:由题图乙可知,物块从轨道D点飞出轨道到再次回到D点的时间为t=1.675 s-0.875 s=
0.8 s,则物块从D点离开轨道时速度大小为vD=g·=4 m/s,故A错误;从C到D由机械能守恒可知+mgR,在C点时压力最大,由牛顿第三定律得此时物块受到的支持力最大,则由牛顿第二定律得F'0-mg=m,解得F'0=70 N,即F0=70 N,故B正确;从B到D由机械能守恒可知,解得vB=2 m/s,则v0=vBsin 30°= m/s,故C正确;在B点,根据牛顿第二定律N+mgsin 30°=m,可得轨道对物块的支持力N=25 N,根据牛顿第三定律可得物块在B点时对轨道的压力大小为N'=N=25 N,故D错误。
6.(5分)(多选)(2025·江西九江二模)如图所示,半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内,质量为m的A球和质量为3m的B球用长为R的轻杆相连,杆从竖直位置开始由静止释放,则(　ACD　)
A.杆第一次水平时,A球的速度大小是
B.杆从释放到第一次水平过程中,A球的机械能增加
C.杆从释放到第一次水平过程中,杆对B球做正功
D.整个运动过程中,A球的最大速度为
解析:选取杆水平的位置为参考平面,杆水平时,杆到圆轨道圆心的高度h=R,从释放到杆水平,系统的机械能守恒,则有mg2×3mv2,解得杆第一次水平时,A球的速度大小v=,A正确;选取杆水平的位置为参考平面,刚释放杆时A球的机械能为EA=mgR,杆水平时A球具有的机械能为E'A=mgR,显然EA>E'A,A球的机械能减小,B错误;对B球而言,根据动能定理可得3mg·gR,解得W=mgR>0,即杆对B球做正功,C正确;对A、B整体而言,其质心位置距B球的距离为R,此时质心与圆轨道圆心的距离为r=
R,质心以r为半径,绕圆轨道圆心O做圆周运动,当质心运动到最低点时,下降的高度h=r-R,根据系统机械能守恒则有4mgh=(m+3m),联立解得vmax
=,D正确。
7.(5分)(2026·湖北武汉检测)如图所示,两个质量相等可视为质点的球a、b通过铰链用长为L的刚性轻杆连接,球a套在竖直细杆M上,球b套在水平细杆N上,最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触(球a、b均可无碰撞通过O点),且两细杆间的距离忽略不计,将两小球从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(　C　)
A.a、b两球组成的系统机械能不守恒
B.球a到达与球b等高位置时速度大小为
C.球a运动到最低点时,球b速度最大
D.球a从初位置下降到最低点的过程中,刚性轻杆对球a的弹力一直做负功
解析:球a和球b所组成的系统只有重力做功,则机械能守恒,故A错误;球a到达与球b等高位置时,球b速度为0,根据系统机械能守恒,有mgL=,解得va=,故B错误;当球a运动到两细杆的交点后再往下运动L,此时球b到达两细杆的交点处,球a的速度为0,球b的速度达到最大,故C正确;由于系统机械能守恒,球a从初位置下降到最低点的过程中,刚性轻杆对球a的弹力先做负功,后做正功,再做负功,故D错误。
8.(5分)(多选)(2025·黑龙江哈尔滨二模)如图所示,质量为0.1 kg的带孔物块A和质量为0.2 kg的金属环B通过光滑铰链用轻质细杆连接,物块A套在固定的竖直杆上且与竖直放置的轻弹簧上端相连,轻弹簧下端固定在水平横杆上,轻弹簧劲度系数k=100 N/m,弹簧原长L0=4 cm,金属环B套在固定的水平横杆上。弹簧处于原长时将物块A由静止释放,弹簧始终在弹性限度内,已知弹簧的弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量)。忽略一切摩擦,g取10 m/s2,在物块A下降的过程中,下列说法正确的是(　BC　)
A.物块A和金属环B组成的系统机械能守恒
B.在A、B运动过程中,当图中θ=60°时,vB=vA
C.金属环B动能最大时,金属环B受到水平横杆的支持力大小等于2 N
D.弹簧弹性势能最大时,O、物块A间距离为1 cm
解析:在物块A下降的过程中,弹簧逐渐压缩,对物块A和金属环B组成的系统,弹簧弹力做负功,系统机械能减小,弹簧弹性势能增大,故A错误;在A、B运动过程中,当图中θ=60°时,根据速度关联关系有vAcos 30°=vBcos 60°,即vB=vA,故B正确;在物块A下降的过程中,金属环B的速度先增大后减小,当其加速度为0时,速度最大,则此时轻质细杆对金属环B的弹力为0,根据平衡条件,可得金属环B此时受到水平横杆的支持力大小等于其重力大小,为2 N,故C正确;当物块A下降到最低点时,弹簧弹性势能最大,设O、物块A间距离为L',根据机械能守恒有k(L0-L')2=mAg(L0-L'),求得L'=2 cm,故D错误。
9.(5分)(2026·江苏常州月考)如图所示,不可伸长、长为l的轻细线一端固定于O点,另一端连接一小球,此时细线刚好伸直,与水平方向的夹角θ=30°。现将小球由静止释放,不计空气阻力,重力加速度为g,则小球运动到O点正下方时速度的大小为(　C　)
A.
C.
解析:小球释放时,先向下做自由落体运动,则细线伸直时下落的距离为l,则mgl=mv2,细线伸直后沿细线方向的速度减为0,垂直细线方向的速度为v1=vcos 30°,以后小球做圆周运动,则当到最低点时有+mgl(1-sin 30°)=,化简得v2=,故选C。
10.(5分)(多选)(2025·辽宁大连模拟)如图所示,轻弹簧一端固定在O点,另一端与一质量为m的小球相连,小球套在固定的竖直光滑杆上,P点到O点的距离为L,OP与杆垂直,杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为L,重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放,下列说法正确的是(　AD　)
A.小球从M运动到N的过程中,有三个位置小球受到的合力等于重力
B.小球从M运动到N的过程中,小球的机械能守恒
C.小球从M运动到N的过程中,弹簧弹性势能先减小后增大
D.小球通过N点时速率为2
解析:OM=ON=2L,OP=L,弹簧的原长为L,所以小球在MP之间某个位置时弹簧处于原长,弹簧弹力为0,小球受到的合力等于重力,同理小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长,弹簧弹力为0,小球受到的合力等于重力,当小球经过P点时小球受到的合力等于重力,故A正确;小球从M运动到N的过程中,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,但小球的机械能并不守恒,故B错误;小球从M运动到N的过程中,弹簧的弹性势能先减小后增大,再减小又增大,故C错误;小球在M、N两个位置时,弹簧的长度相等,所以弹簧的弹性势能相等,在N位置小球减少的重力势能全部转化为动能,有mg×2mv2,解得v=2,故D正确。
11.(10分)(2026·江苏徐州检测)如图所示,质量m1=8 kg的物块1与质量m2=4 kg的物块2通过光滑轻质定滑轮用不可伸长的轻绳连接,物块2与质量m3=4 kg的物块3用劲度系数为k=100 N/m的轻质弹簧相连接,物块3静置在水平地面上。初始时控制物块1使其静止于倾角θ=37°的光滑斜面上,此时轻绳恰好拉直且与斜面平行,轻绳无拉力,现由静止释放物块1,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为Ep=kx2。求:
(1)释放物块1前,弹簧的弹性势能;
(2)释放物块1的瞬间,物块2的加速度大小;
(3)释放物块1后,当物块3恰好对地面无压力时,物块1在斜面上运动的速度。
答案:(1)8 J　(2)4 m/s2　(3) m/s
解析:(1)初始时对物块2受力分析,由题意知轻绳无拉力,则弹簧处于压缩状态,由力的平衡条件得m2g=kx1,解得弹簧形变量x1==0.4 m,
则释放物块1前,弹簧的弹性势能为Ep==8 J。
(2)释放物块1的瞬间,对物块1与物块2及轻绳组成的系统进行分析,由牛顿第二定律得m1g·sin θ-m2g+kx1=(m1+m2)a1,
解得物块2的加速度大小a1=4 m/s2。
(3)释放物块1后,当物块3恰好对地面无压力时,对物块3进行受力分析,由力的平衡条件有m3g=kx2,
对物块1、物块2及轻绳组成的系统进行分析,由机械能守恒得
m1g(x1+x2)sin θ-m2g(x1+x2)=(m1+m2)v2+E'p,
其中E'p=k(),解得v= m/s。
12.(10分)(2025·吉林白城模拟)如图所示,倾角为θ=30°的光滑斜面体A放在光滑的水平面上,已知斜面体A的质量为2m,高为h;细长直杆B的质量为m,受固定的光滑套管C约束,只能在竖直方向上自由运动。初始时,斜面体A在水平推力F作用下处于静止状态,此时杆B下端正好压在斜面体A的顶端。现撤去推力F,斜面体A、杆B便开始运动。重力加速度为g,求:
(1)推力F的大小;
(2)当杆B的下端刚滑到斜面体A底端时,斜面体A的速度大小;
(3)杆B滑下的过程中,斜面体A对杆B做的功。
答案:(1)　(2)　(3)-mgh
解析:(1)静止时斜面体A对杆B只有垂直斜面向上的支持力,套管C对杆B有水平向右的作用力,对杆B受力分析,如图1所示,
由平衡条件可知,竖直方向上有FABcos θ=mg,可得FAB=,
由牛顿第三定律可知,静止时杆B对斜面体A只有垂直斜面向下的压力,大小为FBA=,
对斜面体A受力分析,如图2所示,由平衡条件,水平方向上有F=FBAsin θ=mgtan θ,
解得F=。
(2)设在很短时间Δt内杆B下落Δh高度,由几何知识可知,斜面体A向右发生的位移大小为,所以杆B与斜面体A的速度大小之比始终为tan θ,当杆B滑到斜面体A底端时,设杆B的速度大小为v1,斜面体A的速度大小为v2,由系统机械能守恒有mgh=,
由速度关系v1=v2tan θ,解得v2=。
(3)由(2)得v1=,
杆B滑下过程,由动能定理得mgh+W=,解得W=-mgh。

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