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第3讲　圆周运动
1.(5分)(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳,照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹,简图如图所示。彩灯的运动可视为匀速圆周运动,相机本次曝光时间是 s,圆弧对应的圆心角约为30°,则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A.90 B.120
C.150 D.180
2.(5分)(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴,在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置,杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则(　　)
A.A点做匀速圆周运动
B.O'点做匀速圆周运动
C.此时A点的速度小于O'点
D.此时A点的速度等于O'点
3.(5分)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)机动车检测站进行车辆尾气检测的原理如下:车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转轴的滚筒上,可使车轮在原地转动,然后把检测传感器放入尾气出口,操作员将车轮加速一段时间,在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数,现有如图所示简化图:车内轮A的半径为rA,车外轮B的半径为rB,滚筒C的半径为rC,车轮与滚筒间不打滑。当车轮以恒定速度运行时,下列说法正确的是(　　)
A.A、B轮的角速度大小之比为rA︰rB
B.A、B轮边缘的线速度大小之比为rA︰rB
C.B、C轮的角速度之比为rB︰rC
D.B、C轮边缘的向心加速度大小之比为rB︰rC
4.(5分)(多选)一位同学玩飞镖游戏,如图所示,已知飞镖距圆盘为L,对准圆盘上边缘的A点水平抛出飞镖,初速度为v0,飞镖抛出的同时,圆盘绕垂直于盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。不计空气阻力,重力加速度为g。若飞镖恰好击中A点,下列说法正确的是(　　)
A.从飞镖抛出到恰好击中A点,A点一定转动到最低点位置
B.从飞镖抛出到恰好击中A点的时间为
C.圆盘的半径为
D.圆盘转动的角速度一定满足(k=1,2,3,…)
5.(5分)(多选)如图所示,杂技演员进行表演时,可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为g,杂技演员与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ,则该演员(　　)
A.受到4个力的作用
B.所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大,人受到的摩擦力越大
D.圆筒的角速度ω≥
6.(5分)(2025·重庆九龙坡区模拟)重庆永川“渝西之眼”摩天轮游玩项目已正式运营,该摩天轮圆盘直径约80 m,在竖直面内匀速转动一周大约需要18 min,如图为该摩天轮简化示意图。若座舱可视为质点,在摩天轮匀速运行时,则(　　)
A.座舱的线速度约为 m/s
B.座舱的角速度约为 rad/s
C.座舱所受的合力保持不变
D.座舱在最高点处于超重状态
7.(5分)(多选)如图所示,两个圆锥内壁光滑,竖直放置在同一水平面上,圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°,A、B两个质量相同的小球分别在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.A、B球受到的支持力大小之比为︰3
B.A、B球的向心力大小之比为︰1
C.A、B球运动的角速度大小之比为3︰1
D.A、B球运动的线速度大小之比为1︰1
8.(5分)如图所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑),另一端连接在金属块P上,P始终静止在水平桌面上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。实际上,小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。因阻力作用,小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)。下列判断正确的是(　　)
A.小球Q的位置越来越高
B.细线的拉力变小
C.小球Q运动的角速度变大
D.P受到桌面的静摩擦力变大
9.(5分)(多选)(2026·福建泉州检测)如图所示,水平圆盘的圆心O处开一小孔,沿径向固定一长度为L的细玻璃管PQ,P端与圆盘边缘重合,Q端与圆心O重合,管内有一半径略小、质量为m的小球,系在小球上的轻绳穿过小孔,下端悬挂重物,圆盘在电机驱动下可绕竖直轴OO'匀速转动,转速为n时重物处于悬停状态,不计一切摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.小球越靠近Q端,悬停的重物质量越大
B.小球越靠近Р端,悬停的重物质量越大
C.若小球处于玻璃管正中间,悬停的重物质量为
D.若略微增大圆盘转速,重物将上升一定高度后再悬停
10.(10分)(2025·四川绵阳模拟)某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示,该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成,凸弧的半径R1=20 m,最高点为A点;凹弧的半径R2=50 m,最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景,安排一位特技演员驾驶摩托车穿越桥面,设特技演员与摩托车总质量为m=150 kg,穿越过程中可将车和演员视为质点,g取10 m/s2,忽略空气阻力。
(1)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凸弧最高点A时,求桥面对车的支持力大小。
(2)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凹弧最低点B时,求车对桥面的压力大小。
(3)为使得越野摩托车始终不脱离桥面,求过A点的最大速率。
11.(10分)(2023·福建卷)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点,并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧,弹簧一端固定于O点,另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时,圆环将相对细杆静止,通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L=0.2 m,杆与竖直转轴的夹角α始终为60°,弹簧原长x0=0.1 m,弹簧劲度系数k=100 N/m,圆环质量m=1 kg;弹簧始终在弹性限度内,重力加速度g取10 m/s2,摩擦力可忽略不计。
(1)若细杆和圆环处于静止状态,求圆环到O点的距离。
(2)求弹簧处于原长时,细杆匀速转动的角速度大小。
(3)求圆环处于细杆末端P时,细杆匀速转动的角速度大小。
第3讲　圆周运动
1.(5分)(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳,照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹,简图如图所示。彩灯的运动可视为匀速圆周运动,相机本次曝光时间是 s,圆弧对应的圆心角约为30°,则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　C　)
A.90 B.120
C.150 D.180
解析:根据题意可知跳绳的转动角速度为ω= rad/s=5π rad/s,故每分钟跳绳的圈数为n==150,故选C。
2.(5分)(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴,在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置,杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则(　B　)
A.A点做匀速圆周运动
B.O'点做匀速圆周运动
C.此时A点的速度小于O'点
D.此时A点的速度等于O'点
解析:A点的运动为绕O'的圆周运动和O'相对于O的圆周运动的合运动,故轨迹不是圆周,故不做匀速圆周运动,故A错误;根据题意,O'固定在底盘上,故可知O'围绕O点做匀速圆周运动,故B正确;杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上时且A在OO'延长线上,A点和O'点运动方向相同,又A点相对O'点做圆周运动,故此时A点的速度大于O'点的速度,故C、D错误。
3.(5分)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)机动车检测站进行车辆尾气检测的原理如下:车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转轴的滚筒上,可使车轮在原地转动,然后把检测传感器放入尾气出口,操作员将车轮加速一段时间,在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数,现有如图所示简化图:车内轮A的半径为rA,车外轮B的半径为rB,滚筒C的半径为rC,车轮与滚筒间不打滑。当车轮以恒定速度运行时,下列说法正确的是(　B　)
A.A、B轮的角速度大小之比为rA︰rB
B.A、B轮边缘的线速度大小之比为rA︰rB
C.B、C轮的角速度之比为rB︰rC
D.B、C轮边缘的向心加速度大小之比为rB︰rC
解析:A、B为同轴转动,角速度大小相等,故A错误;根据v=rω可知,A、B轮边缘的线速度大小之比为,故B正确;B、C轮的线速度大小相同,根据v=rω可知,B、C轮的角速度之比为,故C错误;根据an=,故D错误。
4.(5分)(多选)一位同学玩飞镖游戏,如图所示,已知飞镖距圆盘为L,对准圆盘上边缘的A点水平抛出飞镖,初速度为v0,飞镖抛出的同时,圆盘绕垂直于盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。不计空气阻力,重力加速度为g。若飞镖恰好击中A点,下列说法正确的是(　ABC　)
A.从飞镖抛出到恰好击中A点,A点一定转动到最低点位置
B.从飞镖抛出到恰好击中A点的时间为
C.圆盘的半径为
D.圆盘转动的角速度一定满足(k=1,2,3,…)
解析:飞镖抛出后做平抛运动,则从飞镖抛出到恰好击中A点,A点一定转动到了圆盘最低点位置,故A正确;飞镖水平抛出,在水平方向做匀速直线运动,因此t=,故B正确;飞镖击中A点时,A点恰好在圆盘最低点,有2r=gt2,解得r=,故C正确;飞镖击中A点,则A点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ(k=0,1,2,…),故ω=πv0(k=0,1,2,…),故D错误。
5.(5分)(多选)如图所示,杂技演员进行表演时,可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为g,杂技演员与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ,则该演员(　BD　)
A.受到4个力的作用
B.所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大,人受到的摩擦力越大
D.圆筒的角速度ω≥
解析:杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用,A错误;由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来,竖直方向根据平衡条件,有mg=Ff,筒壁的弹力提供向心力,水平方向有Fn=mω2r,角速度越大,弹力越大,人受到的摩擦力不变,B正确,C错误;要想不下滑,最大静摩擦力需要大于等于重力,所以μFn≥mg,Fn=mω2r,解得ω≥,D正确。
6.(5分)(2025·重庆九龙坡区模拟)重庆永川“渝西之眼”摩天轮游玩项目已正式运营,该摩天轮圆盘直径约80 m,在竖直面内匀速转动一周大约需要18 min,如图为该摩天轮简化示意图。若座舱可视为质点,在摩天轮匀速运行时,则(　A　)
A.座舱的线速度约为 m/s
B.座舱的角速度约为 rad/s
C.座舱所受的合力保持不变
D.座舱在最高点处于超重状态
解析:座舱的线速度约为v= m/s,故A正确;座舱的角速度约为ω= rad/s,故B错误;座舱做匀速圆周运动,则所受的合力大小保持不变,方向指向圆心,不断变化,故C错误;座舱在最高点加速度向下,处于失重状态,故D错误。
7.(5分)(多选)如图所示,两个圆锥内壁光滑,竖直放置在同一水平面上,圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°,A、B两个质量相同的小球分别在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　CD　)
A.A、B球受到的支持力大小之比为︰3
B.A、B球的向心力大小之比为︰1
C.A、B球运动的角速度大小之比为3︰1
D.A、B球运动的线速度大小之比为1︰1
解析:设小球受到的支持力大小为FN,向心力大小为Fn,则有FNsin θ=mg,则FNA︰FNB=︰1,A错误;Fn=,则FnA︰FnB=3︰1,B错误;小球运动轨道高度相同,半径R=htan θ,则RA︰RB=1︰3,由Fn=mω2R得ωA︰ωB=3︰1,C正确;由v=ωR得vA︰vB=1︰1,D正确。
8.(5分)如图所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑),另一端连接在金属块P上,P始终静止在水平桌面上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。实际上,小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。因阻力作用,小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)。下列判断正确的是(　B　)
A.小球Q的位置越来越高
B.细线的拉力变小
C.小球Q运动的角速度变大
D.P受到桌面的静摩擦力变大
解析:由于小球受到空气阻力作用,线速度变小,则所需要的向心力变小,小球做近心运动,小球的位置越来越低,故A错误;设细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为FT,细线的长度为L,当小球做匀速圆周运动时,由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图所示,则有FT=,mgtan θ=m=mω2Lsin θ,解得ω=,由于小球受到空气阻力作用,线速度变小,则θ变小,cos θ变大,因此,细线的拉力FT变小,角速度ω变小,故B正确,C错误;对金属块P,由平衡条件知,P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大小,则P受到桌面的静摩擦力变小,故D错误。
9.(5分)(多选)(2026·福建泉州检测)如图所示,水平圆盘的圆心O处开一小孔,沿径向固定一长度为L的细玻璃管PQ,P端与圆盘边缘重合,Q端与圆心O重合,管内有一半径略小、质量为m的小球,系在小球上的轻绳穿过小孔,下端悬挂重物,圆盘在电机驱动下可绕竖直轴OO'匀速转动,转速为n时重物处于悬停状态,不计一切摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(　BC　)
A.小球越靠近Q端,悬停的重物质量越大
B.小球越靠近Р端,悬停的重物质量越大
C.若小球处于玻璃管正中间,悬停的重物质量为
D.若略微增大圆盘转速,重物将上升一定高度后再悬停
解析:设重物质量为M,重物悬停时,轻绳拉力等于重物重力,轻绳对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力,有Mg=mω2r,又ω=2πn,则M=,小球越靠近Q端,运动半径r越小,则悬停的重物质量M越小,小球越靠近P端,运动半径r越大,则悬停的重物质量M越大,A错误,B正确;若小球处于玻璃管正中间,则r=,代入M的表达式中,可得M=,C正确;若略微增大圆盘转速,由Fn=m(2πn)2r可知,小球所需向心力略微增大,大于重物所受重力大小,则小球将做离心运动,随着r增大,小球所需向心力进一步增大,由于重物的重力不变,则重物持续上升,D错误。
10.(10分)(2025·四川绵阳模拟)某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示,该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成,凸弧的半径R1=20 m,最高点为A点;凹弧的半径R2=50 m,最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景,安排一位特技演员驾驶摩托车穿越桥面,设特技演员与摩托车总质量为m=150 kg,穿越过程中可将车和演员视为质点,g取10 m/s2,忽略空气阻力。
(1)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凸弧最高点A时,求桥面对车的支持力大小。
(2)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凹弧最低点B时,求车对桥面的压力大小。
(3)为使得越野摩托车始终不脱离桥面,求过A点的最大速率。
答案:(1)750 N　(2)1 800 N　(3)10 m/s
解析:(1)摩托车通过凸弧最高点A时,由牛顿第二定律有mg-N1=m,解得N1=mg-m N=750 N。
(2)摩托车通过凹弧最低点B时,由牛顿第二定律有N2-mg=m,
解得N2=mg+m N=1 800 N,
由牛顿第三定律可知,摩托车对桥面的压力大小等于桥面对摩托车的支持力大小,为1 800 N。
(3)对越野摩托车过凹凸形桥分析可知,过凹弧时超重,过凸弧时失重,过凸弧最高点,车对桥面的挤压力为0时,有mg=m,
解得vmax= m/s。
11.(10分)(2023·福建卷)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点,并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧,弹簧一端固定于O点,另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时,圆环将相对细杆静止,通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L=0.2 m,杆与竖直转轴的夹角α始终为60°,弹簧原长x0=0.1 m,弹簧劲度系数k=100 N/m,圆环质量m=1 kg;弹簧始终在弹性限度内,重力加速度g取10 m/s2,摩擦力可忽略不计。
(1)若细杆和圆环处于静止状态,求圆环到O点的距离。
(2)求弹簧处于原长时,细杆匀速转动的角速度大小。
(3)求圆环处于细杆末端P时,细杆匀速转动的角速度大小。
答案:(1)0.05 m　(2) rad/s　(3)10 rad/s
解析:(1)当细杆和圆环处于静止状态,如图甲所示,对圆环受力分析得受弹簧弹力FT0=mgcos α=5 N,根据胡克定律F=kΔx得Δx0==0.05 m,弹簧弹力沿杆向上,故弹簧处于压缩状态,弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离x1=x0-Δx0=0.05 m。
(2)若弹簧处于原长,则圆环仅受重力和支持力,如图乙所示,其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得r,
由几何关系得圆环此时做匀速圆周运动的半径为r=x0sin α,
联立解得ω0= rad/s。
(3)圆环处于细杆末端P时,圆环受重力、支持力、沿杆向下的弹力。
根据胡克定律得FT=k(L-x0)=10 N,
对圆环受力分析并正交分解,竖直方向受力平衡,水平方向合力提供向心力,
则有mg+FTcos α=FNsin α,
FTsin α+FNcos α=mω2r',
由几何关系得r'=Lsin α,
联立解得ω=10 rad/s。

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