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广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱文记为文，那么亏钱3文记为（　　）
A．文 B．文 C．文 D．文
2．2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．6
4．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
9．如图，小明同学想要测量第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内投点，通过大量的重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.7附近，则吉祥物图案的面积为（　　）．
A．3 B．9 C．2.1 D．6.3
10．如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11． 分解因式：　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于　 　．
13．若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是　 　．
14． 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式　 　．
15．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：方程两边同乘________，
得第一步
去括号，得第二步
移项、合并同类项，得第三步
………………
（1）第一步中横线处应填________，依据是_______；
（2）小明在写第四步时已经发现前面的步骤有错误，请正确写出解方程的全部过程．
17．小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架完全张开的侧面示意图，立杆相交于点，两点置于地面上，经测量与比对，有，．
（1）连接，求证：；
（2）现已测量出长度为，求长为多少厘米．
18．如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
柳树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
槐树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】分析数据如下：
　 平均数 中位数 众数 方差
柳树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949
槐树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089
【问题解决】
（1）上述表格中：m=______，n=______；
（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性大；
（3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率．
20．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
21．如图，在中，，D是的中点，E是的中点．
（1）请用尺规作图法在射线上找一点F，使得（保留作图痕迹），求证：四边形是菱形；（无需证明，可直接使用）
（2）在（1）的基础上，若，菱形的面积为，点M在线段上且，，请求出的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图，是的角平分线，求证：；
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作交的延长线于点，利用“三角形相似”；
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”；
请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明．
（2）【理解应用】填空：如图，平行四边形中，平分交于点，则的长度为______；
（3）【深度思考】如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长；
（4）【拓展升华】如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，求的长．
23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
（1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
（2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意可知：亏钱3文记为文；
故选A．
【分析】
明确正数和负数表示相反意义的量，再根据"余钱为正”推断出“亏钱为负”从而得到结果.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1250亿．
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数所有整数位的个数减1解答即可．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】本题考查二次根式的乘法运算规则。二次根式相乘时，可先将两个被开方数相乘，根号保持不变，再对最终的被开方数进行化简，同时原式的负号需要全程保留。计算时先算与12的乘积，再对结果开平方并带上负号，就能得到最终运算结果。
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故答案为：D．
【分析】利用从上面看得到的几何图形解答即可．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，且面积比等于相似比的平方，
∴相似比，
∴周长比．
故选：B．
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：D．
【分析】先根据三角形中位线得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可求解。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意得，23(1-x)2=16.
故答案为：B.
【分析】先计算出4月的售价为23(1-x)，再计算出5月的售价=4月的售价×(1-x)=23(1-x)2，再根据5月的售价为16万元，即可列出方程.
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
【分析】
理解横纵坐标的实际意义（横轴为时间，纵轴为离家距离）及图象中每一段所代表的运动状态（上升代表距离，水平代表停留，下降代表靠近）即可.
9．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，估计吉祥物图案的面积为．
故选：D．
【分析】本题考查利用频率估计概率的几何应用。在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，本题中点落在图案内的频率稳定在0.7，即可认为点落在图案内的概率为0.7，也就是图案面积占正方形总面积的比例为0.7。先算出边长为3 cm的正方形的总面积，再乘0.7就能估算出吉祥物图案的面积。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求余弦值；相似比
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【分析】本题综合考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义。首先利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，得到各边长度与直角条件，由E是BC中点可求出BE、CE的长度；再由，通过同角的余角相等推出，结合，可证明，利用相似三角形对应边成比例求出CF的长，进而得到DF的长度；接着用勾股定理求出斜边AF的长度，最后根据余弦的定义，用的邻边AD比斜边AF，计算出的值。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：对进行因式分解，首先观察到两项中都含有公因式xy，根据提公因式法，将公因式xy提取出来，得到.
故填：.
【分析】本题主要考查因式分解中的提公因式法。提公因式法是因式分解的基本方法之一，关键在于准确找出各项的公因式。在这个式子中，公因式为xy，提取公因式后即可完成因式分解。这种方法在初中数学因式分解的学习中是基础且重要的内容，需要熟练掌握。
12．【答案】
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵B，D两点的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵把放大后得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查位似图形的性质以及坐标与图形变化的关系。位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比。已知B、D两点都在x轴上，可通过坐标求出OB和OD的长度，OB与OD的比就是与的相似比，取倒数即可得到与的比值。
13．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：由题意得 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，
∴符合题意，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的图象结合题意即可求解。
15．【答案】1
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为线段的黄金分割点（），
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据黄金分割定义，结合点C为线段的黄金分割点得，即可得，进而看我的，，代入计算即可得答案.
16．【答案】（1）；等式的基本性质2（或解分式方程时需两边同乘最简公分母以消去分母）
（2）解：，方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：，
检验：当时，，
所以是增根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：方程两边同乘，依据是：等式的基本性质2，
故答案为：；等式的基本性质2；
【分析】本题综合考查分式方程的去分母依据与完整解法。
（1）解分式方程的首要步骤是去分母，需在方程两边同乘所有分母的最简公分母，本题中两个分母与互为相反数，最简公分母为，该变形的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立；
（2）求解该分式方程时，先通过乘最简公分母去掉分母转化为整式方程，再按整式方程的步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后必须代入最简公分母检验，若分母为0则所得解为增根，原方程无解。
（1）解：方程两边同乘，依据是：等式的基本性质2，
故答案为：；等式的基本性质2；
（2）解：，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：，
检验：当时，，
所以是增根，
∴原方程无解．
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长为厘米
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）先求出，从而结合证明，进而根据相似三角形性质得到，最后根据平行线判定得证结论；
（2）结合（1）中的相似三角形得到，即可求解.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
答：长为厘米．
18．【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法，连接EB，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB，等量代换得AE平行且等于BC，则四边形ACBE是平行四边形，又，则由矩形的概念可得等于，即；
若选择小红的说法，连接CE，由小星的说法可知四边形ACBE是矩形，则对角线BA等于EC；又可证四边形ABDE是平行四边形，则对边DE等于AB，等量代换得CE等于DE．
19．【答案】（1）2.15；1.5
（2）①柳；②杨
（3）解：四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种．
∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
（1）
解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为：
1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，
则其中位数是第5和第6的平均数，即：；
柳树叶的长宽比的众数为1.5；
故答案为：2.15，1.5；
（2）
解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小；
故答案为：柳；
②∵该小组收集的树叶中有一片为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，则长宽比为2.3，
∴这片树叶来自于杨树的可能性大；
故答案为：杨；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解；
（2）①根据方差越小波动越小并结合题目给出的方差的大小即可判断求解；
②根据树叶的长宽比判定即可；
（3）列表可得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为：
1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，
则其中位数是第5和第6的平均数，即：；
柳树叶的长宽比的众数为1.5；
故答案为：2.15，1.5；
（2）解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小；
故答案为：柳；
②∵该小组收集的树叶中有一片为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，则长宽比为2.3，
∴这片树叶来自于杨树的可能性大；
故答案为：杨；
（3）四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种．
∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）．
20．【答案】解：任务一：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：过作于，根据矩形性质可得，，解直角三角形可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
任务②；过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，根据直线平行性质可得，则四边形为矩形，根据矩形性质可得，解直角三角形即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：图形如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接交于点O，过点A作于点H．∵菱形的面积为，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴点M在点H的右侧，．
综上所述，的长为1．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题考查尺规作图、菱形的判定以及菱形性质与勾股定理的综合应用。
（1）要使，已知E是AD中点，即，对顶角，只需延长CE到F，使，即可根据SAS证明两三角形全等；证明四边形ADBF是菱形时，先由对角线互相平分证明四边形ACDF是平行四边形，得到AF平行且等于CD；再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，等量代换后得到AF平行且等于DB，因此四边形ADBF是平行四边形，又因为邻边，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证；
（2）先根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由面积和AB的长度求出对角线DF的长度；再由平行四边形性质得到AC的长度，在中求出的度数，进而求出AH和BH的长度；最后在中，利用勾股定理求出HM的长度，结合的条件确定M点的位置，计算出BM的长度。
（1）证明：图形如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接交于点O，过点A作于点H．
∵菱形的面积为，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴点M在点H的右侧，．
综上所述，的长为1．
22．【答案】（1）解：小明思路：过点作，交的延长线于点，
，，
是△的角平分线，
，
，
，
，
，
；
小红思路：过点作交于点，作交于点，过点作交于点，
是△的角平分线，
，
，
，
．
（2）4；
（3）解：将△沿所在直线折叠，
，，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
；
（4）解：连接，
四边形为正方形，
，
，，
．
，
将沿过点的直线折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）解：由（1）结论可知，
，
故答案为：4；
【分析】（1）本题考查角平分线定理的证明，提供两种思路：若选小明的思路，通过作平行线构造等腰三角形与相似三角形，先由平行线的性质得到内错角、同位角相等，结合角平分线的定义，通过等量代换证明，根据 “等角对等边” 得到；再由 CE 平行于 AD，根据平行线分线段成比例定理得到，将 AE 替换为 AC 即可证得结论，核心是利用平行线转移比例与角度。若选小红的思路，利用角平分线的性质与面积法证明，先由 “角平分线上的点到角两边距离相等”，得到；再分别以 AB、AC 为底表示△ABD 与△ACD 的面积，可得两个三角形的面积比等于 AB 与 AC 的比；同时两个三角形又可分别以 BD、CD 为底，同高为 AG，因此面积比也等于 BD 与 CD 的比；通过面积比的等量代换即可证得比例式，核心是利用面积作为中间桥梁建立线段比例关系；
（2）本题是角平分线定理的直接应用，先根据平行四边形对边相等的性质，得到 AB 与 BC 的长度，再由 BE 是角平分线，根据第 (1) 问的角平分线定理，得到，代入数值得到比例关系，结合 AC 的总长度，按比例分配即可求出 CE 的长度，体现了定理的直接应用价值；
（3）本题考查矩形折叠与角平分线定理的结合应用，先由折叠的性质得到 BE 平分∠ABC，且；再根据角平分线定理得到，接着由矩形的性质与勾股定理求出对角线 AC 的长度，将 AE 用 CE 表示后代入比例式，解方程求出 AE 的长度，由折叠的对应边相等即可得到 EF 的长度，折叠的本质是轴对称，对应角相等是推导角平分线的关键；
（4）本题考查正方形中的折叠与相似三角形综合应用，先由正方形的边长与 BG 的长度，用勾股定理求出 GC 的长度，进而得到 DG 的长度；再由折叠的性质得到，因此，根据 “等边对等角” 得到；结合三角形外角性质与折叠的角平分线性质，推导出，根据 “内错角相等，两直线平行”，得到；最后由平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知线段长度，解方程即可求出 CE 的长度，推导平行线是解题的关键突破口。
（1）解：小明思路：过点作，交的延长线于点，
，，
是△的角平分线，
，
，
，
，
，
；
小红思路：过点作交于点，作交于点，过点作交于点，
是△的角平分线，
，
，
，
．
（2）解：由（1）结论可知，
，
故答案为：4；
（3）解：将△沿所在直线折叠，
，，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
；
（4）解：连接，
四边形为正方形，
，
，，
．
，
将沿过点的直线折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
【分析】（1）根据题意运用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合“友好函数”的定义即可求解；
（2）先运用待定系数法得到，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定结合题意即可得到，，再根据勾股定理即可求出m，从而得到B点坐标，再运用待定系数法即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，即，当时，即，再根据矩形的周长即可求解；
根据题意分类讨论：当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，进而根据矩形的面积即可得到，从而相减即可求解。
（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
1 / 1广东省佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱文记为文，那么亏钱3文记为（　　）
A．文 B．文 C．文 D．文
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：由题意可知：亏钱3文记为文；
故选A．
【分析】
明确正数和负数表示相反意义的量，再根据"余钱为正”推断出“亏钱为负”从而得到结果.
2．2025年投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1250亿．
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数所有整数位的个数减1解答即可．
3．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．6
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】本题考查二次根式的乘法运算规则。二次根式相乘时，可先将两个被开方数相乘，根号保持不变，再对最终的被开方数进行化简，同时原式的负号需要全程保留。计算时先算与12的乘积，再对结果开平方并带上负号，就能得到最终运算结果。
4．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故答案为：D．
【分析】利用从上面看得到的几何图形解答即可．
5．若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，且面积比等于相似比的平方，
∴相似比，
∴周长比．
故选：B．
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
6．如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：D．
【分析】先根据三角形中位线得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可求解。
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意得，23(1-x)2=16.
故答案为：B.
【分析】先计算出4月的售价为23(1-x)，再计算出5月的售价=4月的售价×(1-x)=23(1-x)2，再根据5月的售价为16万元，即可列出方程.
8．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
【分析】
理解横纵坐标的实际意义（横轴为时间，纵轴为离家距离）及图象中每一段所代表的运动状态（上升代表距离，水平代表停留，下降代表靠近）即可.
9．如图，小明同学想要测量第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”的面积，采用的办法是：先用边长为的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内投点，通过大量的重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.7附近，则吉祥物图案的面积为（　　）．
A．3 B．9 C．2.1 D．6.3
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，估计吉祥物图案的面积为．
故选：D．
【分析】本题考查利用频率估计概率的几何应用。在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，本题中点落在图案内的频率稳定在0.7，即可认为点落在图案内的概率为0.7，也就是图案面积占正方形总面积的比例为0.7。先算出边长为3 cm的正方形的总面积，再乘0.7就能估算出吉祥物图案的面积。
10．如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求余弦值；相似比
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【分析】本题综合考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义。首先利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，得到各边长度与直角条件，由E是BC中点可求出BE、CE的长度；再由，通过同角的余角相等推出，结合，可证明，利用相似三角形对应边成比例求出CF的长，进而得到DF的长度；接着用勾股定理求出斜边AF的长度，最后根据余弦的定义，用的邻边AD比斜边AF，计算出的值。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11． 分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：对进行因式分解，首先观察到两项中都含有公因式xy，根据提公因式法，将公因式xy提取出来，得到.
故填：.
【分析】本题主要考查因式分解中的提公因式法。提公因式法是因式分解的基本方法之一，关键在于准确找出各项的公因式。在这个式子中，公因式为xy，提取公因式后即可完成因式分解。这种方法在初中数学因式分解的学习中是基础且重要的内容，需要熟练掌握。
12．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于　 　．
【答案】
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵B，D两点的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵把放大后得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查位似图形的性质以及坐标与图形变化的关系。位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比。已知B、D两点都在x轴上，可通过坐标求出OB和OD的长度，OB与OD的比就是与的相似比，取倒数即可得到与的比值。
13．若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
14． 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：由题意得 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，
∴符合题意，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的图象结合题意即可求解。
15．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则　 　．
【答案】1
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如图，
∵点C为线段的黄金分割点（），
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【分析】根据黄金分割定义，结合点C为线段的黄金分割点得，即可得，进而看我的，，代入计算即可得答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：方程两边同乘________，
得第一步
去括号，得第二步
移项、合并同类项，得第三步
………………
（1）第一步中横线处应填________，依据是_______；
（2）小明在写第四步时已经发现前面的步骤有错误，请正确写出解方程的全部过程．
【答案】（1）；等式的基本性质2（或解分式方程时需两边同乘最简公分母以消去分母）
（2）解：，方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：，
检验：当时，，
所以是增根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：方程两边同乘，依据是：等式的基本性质2，
故答案为：；等式的基本性质2；
【分析】本题综合考查分式方程的去分母依据与完整解法。
（1）解分式方程的首要步骤是去分母，需在方程两边同乘所有分母的最简公分母，本题中两个分母与互为相反数，最简公分母为，该变形的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立；
（2）求解该分式方程时，先通过乘最简公分母去掉分母转化为整式方程，再按整式方程的步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后必须代入最简公分母检验，若分母为0则所得解为增根，原方程无解。
（1）解：方程两边同乘，依据是：等式的基本性质2，
故答案为：；等式的基本性质2；
（2）解：，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：，
检验：当时，，
所以是增根，
∴原方程无解．
17．小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架完全张开的侧面示意图，立杆相交于点，两点置于地面上，经测量与比对，有，．
（1）连接，求证：；
（2）现已测量出长度为，求长为多少厘米．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长为厘米
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）先求出，从而结合证明，进而根据相似三角形性质得到，最后根据平行线判定得证结论；
（2）结合（1）中的相似三角形得到，即可求解.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
答：长为厘米．
18．如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法，连接EB，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB，等量代换得AE平行且等于BC，则四边形ACBE是平行四边形，又，则由矩形的概念可得等于，即；
若选择小红的说法，连接CE，由小星的说法可知四边形ACBE是矩形，则对角线BA等于EC；又可证四边形ABDE是平行四边形，则对边DE等于AB，等量代换得CE等于DE．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
柳树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7
槐树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4
【实践探究】分析数据如下：
　 平均数 中位数 众数 方差
柳树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949
槐树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089
【问题解决】
（1）上述表格中：m=______，n=______；
（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性大；
（3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率．
【答案】（1）2.15；1.5
（2）①柳；②杨
（3）解：四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种．
∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
（1）
解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为：
1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，
则其中位数是第5和第6的平均数，即：；
柳树叶的长宽比的众数为1.5；
故答案为：2.15，1.5；
（2）
解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小；
故答案为：柳；
②∵该小组收集的树叶中有一片为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，则长宽比为2.3，
∴这片树叶来自于杨树的可能性大；
故答案为：杨；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解；
（2）①根据方差越小波动越小并结合题目给出的方差的大小即可判断求解；
②根据树叶的长宽比判定即可；
（3）列表可得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为：
1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8，
则其中位数是第5和第6的平均数，即：；
柳树叶的长宽比的众数为1.5；
故答案为：2.15，1.5；
（2）解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小；
故答案为：柳；
②∵该小组收集的树叶中有一片为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，则长宽比为2.3，
∴这片树叶来自于杨树的可能性大；
故答案为：杨；
（3）四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种．
∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）．
20．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
【答案】解：任务一：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：过作于，根据矩形性质可得，，解直角三角形可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
任务②；过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，根据直线平行性质可得，则四边形为矩形，根据矩形性质可得，解直角三角形即可求出答案.
21．如图，在中，，D是的中点，E是的中点．
（1）请用尺规作图法在射线上找一点F，使得（保留作图痕迹），求证：四边形是菱形；（无需证明，可直接使用）
（2）在（1）的基础上，若，菱形的面积为，点M在线段上且，，请求出的长．
【答案】（1）证明：图形如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接交于点O，过点A作于点H．∵菱形的面积为，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴点M在点H的右侧，．
综上所述，的长为1．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题考查尺规作图、菱形的判定以及菱形性质与勾股定理的综合应用。
（1）要使，已知E是AD中点，即，对顶角，只需延长CE到F，使，即可根据SAS证明两三角形全等；证明四边形ADBF是菱形时，先由对角线互相平分证明四边形ACDF是平行四边形，得到AF平行且等于CD；再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，等量代换后得到AF平行且等于DB，因此四边形ADBF是平行四边形，又因为邻边，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证；
（2）先根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由面积和AB的长度求出对角线DF的长度；再由平行四边形性质得到AC的长度，在中求出的度数，进而求出AH和BH的长度；最后在中，利用勾股定理求出HM的长度，结合的条件确定M点的位置，计算出BM的长度。
（1）证明：图形如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接交于点O，过点A作于点H．
∵菱形的面积为，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴点M在点H的右侧，．
综上所述，的长为1．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图，是的角平分线，求证：；
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作交的延长线于点，利用“三角形相似”；
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”；
请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明．
（2）【理解应用】填空：如图，平行四边形中，平分交于点，则的长度为______；
（3）【深度思考】如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长；
（4）【拓展升华】如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，求的长．
【答案】（1）解：小明思路：过点作，交的延长线于点，
，，
是△的角平分线，
，
，
，
，
，
；
小红思路：过点作交于点，作交于点，过点作交于点，
是△的角平分线，
，
，
，
．
（2）4；
（3）解：将△沿所在直线折叠，
，，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
；
（4）解：连接，
四边形为正方形，
，
，，
．
，
将沿过点的直线折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）解：由（1）结论可知，
，
故答案为：4；
【分析】（1）本题考查角平分线定理的证明，提供两种思路：若选小明的思路，通过作平行线构造等腰三角形与相似三角形，先由平行线的性质得到内错角、同位角相等，结合角平分线的定义，通过等量代换证明，根据 “等角对等边” 得到；再由 CE 平行于 AD，根据平行线分线段成比例定理得到，将 AE 替换为 AC 即可证得结论，核心是利用平行线转移比例与角度。若选小红的思路，利用角平分线的性质与面积法证明，先由 “角平分线上的点到角两边距离相等”，得到；再分别以 AB、AC 为底表示△ABD 与△ACD 的面积，可得两个三角形的面积比等于 AB 与 AC 的比；同时两个三角形又可分别以 BD、CD 为底，同高为 AG，因此面积比也等于 BD 与 CD 的比；通过面积比的等量代换即可证得比例式，核心是利用面积作为中间桥梁建立线段比例关系；
（2）本题是角平分线定理的直接应用，先根据平行四边形对边相等的性质，得到 AB 与 BC 的长度，再由 BE 是角平分线，根据第 (1) 问的角平分线定理，得到，代入数值得到比例关系，结合 AC 的总长度，按比例分配即可求出 CE 的长度，体现了定理的直接应用价值；
（3）本题考查矩形折叠与角平分线定理的结合应用，先由折叠的性质得到 BE 平分∠ABC，且；再根据角平分线定理得到，接着由矩形的性质与勾股定理求出对角线 AC 的长度，将 AE 用 CE 表示后代入比例式，解方程求出 AE 的长度，由折叠的对应边相等即可得到 EF 的长度，折叠的本质是轴对称，对应角相等是推导角平分线的关键；
（4）本题考查正方形中的折叠与相似三角形综合应用，先由正方形的边长与 BG 的长度，用勾股定理求出 GC 的长度，进而得到 DG 的长度；再由折叠的性质得到，因此，根据 “等边对等角” 得到；结合三角形外角性质与折叠的角平分线性质，推导出，根据 “内错角相等，两直线平行”，得到；最后由平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知线段长度，解方程即可求出 CE 的长度，推导平行线是解题的关键突破口。
（1）解：小明思路：过点作，交的延长线于点，
，，
是△的角平分线，
，
，
，
，
，
；
小红思路：过点作交于点，作交于点，过点作交于点，
是△的角平分线，
，
，
，
．
（2）解：由（1）结论可知，
，
故答案为：4；
（3）解：将△沿所在直线折叠，
，，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
；
（4）解：连接，
四边形为正方形，
，
，，
．
，
将沿过点的直线折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
（1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
（2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
【分析】（1）根据题意运用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合“友好函数”的定义即可求解；
（2）先运用待定系数法得到，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定结合题意即可得到，，再根据勾股定理即可求出m，从而得到B点坐标，再运用待定系数法即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，即，当时，即，再根据矩形的周长即可求解；
根据题意分类讨论：当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，进而根据矩形的面积即可得到，从而相减即可求解。
（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图象上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
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