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广东省广州市天河区骏景中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．用配方法解一元二次方程，下列变形中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．若某QQ群所有成员都向群内其他人发一条信息，共发出4950条信息，设这个群有x人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的对称轴是直线，图象与轴交于两点，则点横坐标的范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知m，n（mA．a10．如图，已知的顶点坐标分别为，，，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11． 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．一元二次方程 的根是　 　.
13．抛物线的对称轴为　 　．
14．如图，在中，点是弦的中点，，的度数为　 　．
15．设分别为一元一次方程的两个实数根，则　 　．
16．如图，腰长为8的等腰中，，D是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值是　 　．
17．解方程：x2-2x-3=0
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示：作出关于原点的中心对称图形，并写山点坐标．
19．如图，是的弦，C是的中点，交于点D，若，，求的半径．
20．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外的一点，将△ADB绕点A逆时针旋转到△AEC的位置，连接DE． 求证：DE=AE．
21．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
（1）求的值；
（2）若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积．
22．受疫情影响，从保障学生健康安全出发，学校规定每位学生进入学校需进行体温检测，经过调查发现学生错峰进入校园的累计人数（人）与时间（分钟）变化情况满足函数：．
（1）学生错峰进入校园，经过多少分钟校园的累计人数会达到80人？
（2）如果学生一进学校就开始排队测量体温，平均每分钟检测10人，求排队人数最多时有多少人？（排队人数累计人数已检测人数）
23．已知抛物线：
（1）求证：无论为何值，与轴总有两个不同的交点；
（2）若两个交点的坐标分别为，且满足，求的值．
24．如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标．
25．已知抛物线过点；
（1）求a，b之间的关系；
（2）若，抛物线在时的最大值为，求a的值；
（3）将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：D．
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）结合轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）对选项逐一判断，进而即可求解。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为，
故选：B．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程无实数根．
故选：A．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无实数根.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，即．
故选：C．
【分析】根据题意进行配方，进而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
即，
，
和无法确定相等，
无法判断，
故选：D．
【分析】先根据弦与弧的关系得到，再进行弧的运算得到，再结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个群有x人，则可列方程为．
故选：B．
【分析】设这个群有x人，根据题意列出一元二次方程，进而即可求解。
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
故选：D．
【分析】根据旋转的性质得到，，再根据等腰三角形的性质即可求解。
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：令二次函数与轴的交点为，
则对称轴为，
∴，
又∵，
∴，
∴点横坐标的范围是，
故选：B．
【分析】本题考查二次函数图象的对称性，需利用抛物线与x轴交点的对称关系推导点B的横坐标范围。二次函数的图象关于对称轴对称，若抛物线与x轴的两个交点坐标为 、，则对称轴为直线 。本题已知对称轴为 ，且可从图中得到点A横坐标的取值范围，将对称轴公式变形为 ，代入点A横坐标的范围进行计算，即可得到点B横坐标的取值范围。
9．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵（x-a）（x-b）=2，
∴m、n可看作抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标，
∵抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），如图，
．
∴m＜a＜b＜n．
故选D．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需借助函数图象直观判断根与参数的大小关系。可将方程的根转化为抛物线 与直线 交点的横坐标，其中抛物线 开口向上，且与x轴交于 、 两点。当函数值为2时，对应的横坐标位于x轴两个交点的外侧，结合 、 的大小关系，即可得出m、n、a、b的大小排序。
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：因为与y轴交于点，且与点C关于直线对称，
∴当对称轴在直线左边时时，二次函数与阴影部分一定有交点，
，解得，
故选B．
【分析】本题考查二次函数图象与几何图形的综合问题，需结合抛物线的对称轴位置分析公共点情况。首先可确定抛物线 与y轴交于定点 ，且点 与该定点关于直线 对称。当抛物线的对称轴在直线 左侧或与 重合时，抛物线必然会与阴影区域产生交点；根据对称轴公式 ，结合对称轴的位置范围列出不等式，求解即可得到b的取值范围。
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据关于原点对称的坐标横、纵坐标均互为相反数，写出即可.
12．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 x=0
即x(3x 1)=0
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】先把方程整理成一般形式，方程的左边利用“提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
13．【答案】x=-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】由题知a=2，b=4，根据对称轴公式，则x=-1；故答案为x=-1
【分析】本题考查二次函数对称轴的计算，需利用一般式的对称轴公式求解。对于二次函数的一般式 ，其对称轴为直线 。本题中可直接从解析式中确定二次项系数a和一次项系数b的值，代入对称轴公式计算即可得到结果。
14．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵点是弦的中点，
∴，即，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查垂径定理的应用与直角三角形的角度计算，需结合弦中点与圆心的连线性质推导角度。根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，因此OC垂直于AB，即 ，由此可知 是直角三角形。在直角三角形中两个锐角互余，已知 ，用90°减去该角的度数，即可求出 的度数。
15．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：7
【分析】本题考查一元二次方程根的定义与根与系数的关系，需通过整体代入的方法计算代数式的值。根据方程根的定义，将a代入方程可得 ，变形得到 ；再根据根与系数的关系，两根之和 。将所求代数式 拆分为 ，再进一步转化为含 与 的形式，整体代入已知数值即可计算出结果。
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵腰长为8的等腰中，，
∴，，
如图，在上截取，连接，
线段绕点A逆时针旋转，得到线段，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
当时，有最小值，即有最小值，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的 SAS 判定、垂线段最短原理以及等腰直角三角形的边角关系。由旋转的性质可知，旋转前后线段长度不变，即 ，且旋转角等于 。通过角的和差运算，，可推出 。在 上截取 后，结合 ，利用边角边判定定理可证明 ，由全等三角形对应边相等得 ，因此求 的最小值可转化为求 的最小值。根据垂线段最短的原理，当 时 长度最小，此时 为等腰直角三角形；先由勾股定理求出 的长度，进而得到 的长度，再利用等腰直角三角形直角边与斜边的数量关系求出 ，即为 的最小值。
17．【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
18．【答案】解：所作如图所示：
由坐标系可知：．
【知识点】中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查中心对称图形的画法与关于原点对称的点的坐标变化，需结合坐标规律确定对应点位置。关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，因此先找出 各顶点的坐标，分别求出它们关于原点对称的点的坐标，得到 、、 的坐标；再顺次连接三个对称点，即可得到 ，同时直接写出点 的坐标。
19．【答案】解：如图，连接，
∵C是的中点，
∴D是弦的中点，
∴，，
∵，
在中，
，即，
∴．
即的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接，先根据垂径定理得到，，进而根据勾股定理即可求解。
20．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查旋转的性质与等边三角形的判定及性质，需通过证明三角形为等边三角形得到线段相等的结论。首先由等边三角形的性质可得 ，且 ；再根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，因此 ，且旋转角 与 相等，即 。由"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形"，可判定 是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，即可推出 。
21．【答案】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，∴当时，则有，解得：，
当时，则有，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）已知点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式，将点A的横、纵坐标代入 ，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值；
（2）由（1）得到抛物线的完整解析式，结合抛物线的对称性，过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点B，与点A关于抛物线的对称轴（y轴）对称，由此可直接得到点B的坐标；再将点P的横坐标代入解析式求出纵坐标，得到点P的坐标；最后以AB为底，点P与直线AB的竖直距离为高，利用三角形面积公式计算即可得到 的面积。
（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，
∴当时，则有，解得：，
当时，则有，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：当时，，整理得：，
解得：，
∵，
∴，
即经过8分钟校园的累计人数会达到80人；
（2）解：设排队人数为w人，根据题意得：，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为16，
即排队人数最多时有16人．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）累计人数达到80人即函数值 ，将其代入给定的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围筛选符合条件的解，即为对应的时间；
（2）排队人数等于累计进入人数减去已检测人数，而已检测人数为每分钟检测人数乘时间，由此可列出排队人数w关于x的函数关系式；将该函数整理为顶点式，结合二次项系数的符号判断函数有最大值，根据顶点式直接得到最大值，即为排队人数的最大值。
（1）解：当时，，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
即经过8分钟校园的累计人数会达到80人；
（2）解：设排队人数为w人，根据题意得：
，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为16，
即排队人数最多时有16人．
23．【答案】（1）解：∵，当时，，
由题意得：，
∴无论为何值，有两个不相等的实数根，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：令，
解得：，
，
即，
整理得，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）抛物线与x轴的交点个数对应当 时一元二次方程的实数根个数，因此令 得到对应的一元二次方程，计算该方程根的判别式，通过化简判断判别式恒大于0，即可证明无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）先对 时的方程进行因式分解，求出两个根 、 关于m的表达式，将其代入 ，得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的值。
（1）解：∵，
当时，，
由题意得：，
∴无论为何值，有两个不相等的实数根，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：令，
解得：，
，
即，
整理得，
解得：或．
24．【答案】（1）
（2）解：∵，，∴设抛物线的解析式为
把代入解析式，得，
解得，
∴；
（3）解：在中，，，
∵点P在抛物线上，
∴设点P坐标为，
过点P作轴于点E，则，
∴，
∵，
∴，
即，
，
，
或，
解得或或（舍），
代入点P坐标，
解得点P坐标或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到．
∴点C对应点B，点D对应点A，
∵
∴，
∴；
【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，点C是点B旋转后的对应点，点D是点A旋转后的对应点，因此 、，结合旋转方向与坐标轴上点的坐标特征，即可直接写出点C、D的坐标；
（2）已知抛物线与x轴的两个交点A、C的坐标，可设抛物线的交点式解析式 ，再将点B的坐标代入解析式求出a的值，整理为一般式即可得到抛物线的解析式；
（3）先在 中，根据正切的定义求出 的正切值，由 可知 的正切值与之相等。设出点P的坐标，过点P作x轴的垂线，构造直角三角形表示出 的对边与邻边，根据正切值相等列出方程，解方程后结合点P的位置筛选符合条件的解，即可得到点P的坐标。
（1）解：∵绕点顺时针旋转得到．
∴点C对应点B，点D对应点A，
∵
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴设抛物线的解析式为
把代入解析式，得，
解得，
∴；
（3）解：在中，，
，
∵点P在抛物线上，
∴设点P坐标为，
过点P作轴于点E，则，
∴，
∵，
∴，
即，
，
，
或，
解得或或（舍），
代入点P坐标，
解得点P坐标或．
25．【答案】（1）解：把点代入抛物线中，得，∴，
∴．
（2）解：当时，．∵，
∴．
当时，；
当时，；
当时，．
分两种情况：
①当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
②当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
综上，a的值是或．
（3）解：由（1）知，∴，
∴将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线为，
∴顶点P的坐标为，
∴顶点P在直线上．
，即点O到直线的最小距离大于或等于．
分两种情况：
如答图，当时，设直线交x轴于点N，交y轴于点M，过点O作于点H，
则，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
②当时，同理得．
综上，c的取值范围是或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）本题考查二次函数图象上点的坐标特征。将点 代入抛物线的解析式，通过化简整理等式，消去参数 后即可得到 与 之间的数量关系。
（2）本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题及分类讨论思想。先将 和由（1）得到的 与 的关系代入抛物线解析式，配方化为顶点式，确定抛物线的对称轴；再分别计算区间端点与顶点处对应的函数值，分 和 两种情况讨论： 时抛物线开口向上，在区间右端点处取得最大值； 时抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，分别根据最大值为 列方程求解，得到 的值。
（3）本题考查二次函数图象的平移规律、点到直线的距离、等腰直角三角形的性质。先将原抛物线配方为顶点式，根据"左加右减、上加下减"的平移规律，得到平移后新抛物线的解析式，进而得到顶点 的坐标；通过坐标关系可发现顶点 在一条动直线上， 等价于原点 到该动直线的距离大于等于 。该直线与坐标轴围成等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系，分 和 两种情况计算，即可得到 的取值范围。
（1）解：把点代入抛物线中，得，
∴，
∴．
（2）解：当时，．
∵，
∴．
当时，；
当时，；
当时，．
分两种情况：
①当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
②当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
综上，a的值是或．
（3）解：由（1）知，
∴，
∴将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线为，
∴顶点P的坐标为，
∴顶点P在直线上．
，即点O到直线的最小距离大于或等于．
分两种情况：
如答图，当时，设直线交x轴于点N，交y轴于点M，过点O作于点H，
则，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
②当时，同理得．
综上，c的取值范围是或．
1 / 1广东省广州市天河区骏景中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：D．
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）结合轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）对选项逐一判断，进而即可求解。
2．将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为，
故选：B．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
3．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程无实数根．
故选：A．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程无实数根.
4．用配方法解一元二次方程，下列变形中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项得：，
配方得：，即．
故选：C．
【分析】根据题意进行配方，进而即可求解。
5．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
即，
，
和无法确定相等，
无法判断，
故选：D．
【分析】先根据弦与弧的关系得到，再进行弧的运算得到，再结合题意即可求解。
6．若某QQ群所有成员都向群内其他人发一条信息，共发出4950条信息，设这个群有x人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个群有x人，则可列方程为．
故选：B．
【分析】设这个群有x人，根据题意列出一元二次方程，进而即可求解。
7．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
故选：D．
【分析】根据旋转的性质得到，，再根据等腰三角形的性质即可求解。
8．如图，二次函数的对称轴是直线，图象与轴交于两点，则点横坐标的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：令二次函数与轴的交点为，
则对称轴为，
∴，
又∵，
∴，
∴点横坐标的范围是，
故选：B．
【分析】本题考查二次函数图象的对称性，需利用抛物线与x轴交点的对称关系推导点B的横坐标范围。二次函数的图象关于对称轴对称，若抛物线与x轴的两个交点坐标为 、，则对称轴为直线 。本题已知对称轴为 ，且可从图中得到点A横坐标的取值范围，将对称轴公式变形为 ，代入点A横坐标的范围进行计算，即可得到点B横坐标的取值范围。
9．已知m，n（mA．a【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵（x-a）（x-b）=2，
∴m、n可看作抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标，
∵抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），如图，
．
∴m＜a＜b＜n．
故选D．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需借助函数图象直观判断根与参数的大小关系。可将方程的根转化为抛物线 与直线 交点的横坐标，其中抛物线 开口向上，且与x轴交于 、 两点。当函数值为2时，对应的横坐标位于x轴两个交点的外侧，结合 、 的大小关系，即可得出m、n、a、b的大小排序。
10．如图，已知的顶点坐标分别为，，，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：因为与y轴交于点，且与点C关于直线对称，
∴当对称轴在直线左边时时，二次函数与阴影部分一定有交点，
，解得，
故选B．
【分析】本题考查二次函数图象与几何图形的综合问题，需结合抛物线的对称轴位置分析公共点情况。首先可确定抛物线 与y轴交于定点 ，且点 与该定点关于直线 对称。当抛物线的对称轴在直线 左侧或与 重合时，抛物线必然会与阴影区域产生交点；根据对称轴公式 ，结合对称轴的位置范围列出不等式，求解即可得到b的取值范围。
11． 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据关于原点对称的坐标横、纵坐标均互为相反数，写出即可.
12．一元二次方程 的根是　 　.
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 x=0
即x(3x 1)=0
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】先把方程整理成一般形式，方程的左边利用“提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
13．抛物线的对称轴为　 　．
【答案】x=-1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】由题知a=2，b=4，根据对称轴公式，则x=-1；故答案为x=-1
【分析】本题考查二次函数对称轴的计算，需利用一般式的对称轴公式求解。对于二次函数的一般式 ，其对称轴为直线 。本题中可直接从解析式中确定二次项系数a和一次项系数b的值，代入对称轴公式计算即可得到结果。
14．如图，在中，点是弦的中点，，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵点是弦的中点，
∴，即，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查垂径定理的应用与直角三角形的角度计算，需结合弦中点与圆心的连线性质推导角度。根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，因此OC垂直于AB，即 ，由此可知 是直角三角形。在直角三角形中两个锐角互余，已知 ，用90°减去该角的度数，即可求出 的度数。
15．设分别为一元一次方程的两个实数根，则　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：7
【分析】本题考查一元二次方程根的定义与根与系数的关系，需通过整体代入的方法计算代数式的值。根据方程根的定义，将a代入方程可得 ，变形得到 ；再根据根与系数的关系，两根之和 。将所求代数式 拆分为 ，再进一步转化为含 与 的形式，整体代入已知数值即可计算出结果。
16．如图，腰长为8的等腰中，，D是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵腰长为8的等腰中，，
∴，，
如图，在上截取，连接，
线段绕点A逆时针旋转，得到线段，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
当时，有最小值，即有最小值，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的 SAS 判定、垂线段最短原理以及等腰直角三角形的边角关系。由旋转的性质可知，旋转前后线段长度不变，即 ，且旋转角等于 。通过角的和差运算，，可推出 。在 上截取 后，结合 ，利用边角边判定定理可证明 ，由全等三角形对应边相等得 ，因此求 的最小值可转化为求 的最小值。根据垂线段最短的原理，当 时 长度最小，此时 为等腰直角三角形；先由勾股定理求出 的长度，进而得到 的长度，再利用等腰直角三角形直角边与斜边的数量关系求出 ，即为 的最小值。
17．解方程：x2-2x-3=0
【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示：作出关于原点的中心对称图形，并写山点坐标．
【答案】解：所作如图所示：
由坐标系可知：．
【知识点】中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查中心对称图形的画法与关于原点对称的点的坐标变化，需结合坐标规律确定对应点位置。关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，因此先找出 各顶点的坐标，分别求出它们关于原点对称的点的坐标，得到 、、 的坐标；再顺次连接三个对称点，即可得到 ，同时直接写出点 的坐标。
19．如图，是的弦，C是的中点，交于点D，若，，求的半径．
【答案】解：如图，连接，
∵C是的中点，
∴D是弦的中点，
∴，，
∵，
在中，
，即，
∴．
即的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接，先根据垂径定理得到，，进而根据勾股定理即可求解。
20．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外的一点，将△ADB绕点A逆时针旋转到△AEC的位置，连接DE． 求证：DE=AE．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将△ADB绕点A按逆时针方向旋转后到△AEC位置，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查旋转的性质与等边三角形的判定及性质，需通过证明三角形为等边三角形得到线段相等的结论。首先由等边三角形的性质可得 ，且 ；再根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，因此 ，且旋转角 与 相等，即 。由"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形"，可判定 是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，即可推出 。
21．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
（1）求的值；
（2）若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积．
【答案】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，∴当时，则有，解得：，
当时，则有，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）已知点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式，将点A的横、纵坐标代入 ，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值；
（2）由（1）得到抛物线的完整解析式，结合抛物线的对称性，过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点B，与点A关于抛物线的对称轴（y轴）对称，由此可直接得到点B的坐标；再将点P的横坐标代入解析式求出纵坐标，得到点P的坐标；最后以AB为底，点P与直线AB的竖直距离为高，利用三角形面积公式计算即可得到 的面积。
（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，
∴当时，则有，解得：，
当时，则有，
∴，
∴．
22．受疫情影响，从保障学生健康安全出发，学校规定每位学生进入学校需进行体温检测，经过调查发现学生错峰进入校园的累计人数（人）与时间（分钟）变化情况满足函数：．
（1）学生错峰进入校园，经过多少分钟校园的累计人数会达到80人？
（2）如果学生一进学校就开始排队测量体温，平均每分钟检测10人，求排队人数最多时有多少人？（排队人数累计人数已检测人数）
【答案】（1）解：当时，，整理得：，
解得：，
∵，
∴，
即经过8分钟校园的累计人数会达到80人；
（2）解：设排队人数为w人，根据题意得：，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为16，
即排队人数最多时有16人．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）累计人数达到80人即函数值 ，将其代入给定的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围筛选符合条件的解，即为对应的时间；
（2）排队人数等于累计进入人数减去已检测人数，而已检测人数为每分钟检测人数乘时间，由此可列出排队人数w关于x的函数关系式；将该函数整理为顶点式，结合二次项系数的符号判断函数有最大值，根据顶点式直接得到最大值，即为排队人数的最大值。
（1）解：当时，，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
即经过8分钟校园的累计人数会达到80人；
（2）解：设排队人数为w人，根据题意得：
，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为16，
即排队人数最多时有16人．
23．已知抛物线：
（1）求证：无论为何值，与轴总有两个不同的交点；
（2）若两个交点的坐标分别为，且满足，求的值．
【答案】（1）解：∵，当时，，
由题意得：，
∴无论为何值，有两个不相等的实数根，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：令，
解得：，
，
即，
整理得，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）抛物线与x轴的交点个数对应当 时一元二次方程的实数根个数，因此令 得到对应的一元二次方程，计算该方程根的判别式，通过化简判断判别式恒大于0，即可证明无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）先对 时的方程进行因式分解，求出两个根 、 关于m的表达式，将其代入 ，得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的值。
（1）解：∵，
当时，，
由题意得：，
∴无论为何值，有两个不相等的实数根，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：令，
解得：，
，
即，
整理得，
解得：或．
24．如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：∵，，∴设抛物线的解析式为
把代入解析式，得，
解得，
∴；
（3）解：在中，，，
∵点P在抛物线上，
∴设点P坐标为，
过点P作轴于点E，则，
∴，
∵，
∴，
即，
，
，
或，
解得或或（舍），
代入点P坐标，
解得点P坐标或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到．
∴点C对应点B，点D对应点A，
∵
∴，
∴；
【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，点C是点B旋转后的对应点，点D是点A旋转后的对应点，因此 、，结合旋转方向与坐标轴上点的坐标特征，即可直接写出点C、D的坐标；
（2）已知抛物线与x轴的两个交点A、C的坐标，可设抛物线的交点式解析式 ，再将点B的坐标代入解析式求出a的值，整理为一般式即可得到抛物线的解析式；
（3）先在 中，根据正切的定义求出 的正切值，由 可知 的正切值与之相等。设出点P的坐标，过点P作x轴的垂线，构造直角三角形表示出 的对边与邻边，根据正切值相等列出方程，解方程后结合点P的位置筛选符合条件的解，即可得到点P的坐标。
（1）解：∵绕点顺时针旋转得到．
∴点C对应点B，点D对应点A，
∵
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴设抛物线的解析式为
把代入解析式，得，
解得，
∴；
（3）解：在中，，
，
∵点P在抛物线上，
∴设点P坐标为，
过点P作轴于点E，则，
∴，
∵，
∴，
即，
，
，
或，
解得或或（舍），
代入点P坐标，
解得点P坐标或．
25．已知抛物线过点；
（1）求a，b之间的关系；
（2）若，抛物线在时的最大值为，求a的值；
（3）将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围．
【答案】（1）解：把点代入抛物线中，得，∴，
∴．
（2）解：当时，．∵，
∴．
当时，；
当时，；
当时，．
分两种情况：
①当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
②当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
综上，a的值是或．
（3）解：由（1）知，∴，
∴将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线为，
∴顶点P的坐标为，
∴顶点P在直线上．
，即点O到直线的最小距离大于或等于．
分两种情况：
如答图，当时，设直线交x轴于点N，交y轴于点M，过点O作于点H，
则，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
②当时，同理得．
综上，c的取值范围是或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）本题考查二次函数图象上点的坐标特征。将点 代入抛物线的解析式，通过化简整理等式，消去参数 后即可得到 与 之间的数量关系。
（2）本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题及分类讨论思想。先将 和由（1）得到的 与 的关系代入抛物线解析式，配方化为顶点式，确定抛物线的对称轴；再分别计算区间端点与顶点处对应的函数值，分 和 两种情况讨论： 时抛物线开口向上，在区间右端点处取得最大值； 时抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，分别根据最大值为 列方程求解，得到 的值。
（3）本题考查二次函数图象的平移规律、点到直线的距离、等腰直角三角形的性质。先将原抛物线配方为顶点式，根据"左加右减、上加下减"的平移规律，得到平移后新抛物线的解析式，进而得到顶点 的坐标；通过坐标关系可发现顶点 在一条动直线上， 等价于原点 到该动直线的距离大于等于 。该直线与坐标轴围成等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系，分 和 两种情况计算，即可得到 的取值范围。
（1）解：把点代入抛物线中，得，
∴，
∴．
（2）解：当时，．
∵，
∴．
当时，；
当时，；
当时，．
分两种情况：
①当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
②当时，，
故抛物线在时的最大值为，
∴，
∴．
综上，a的值是或．
（3）解：由（1）知，
∴，
∴将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线为，
∴顶点P的坐标为，
∴顶点P在直线上．
，即点O到直线的最小距离大于或等于．
分两种情况：
如答图，当时，设直线交x轴于点N，交y轴于点M，过点O作于点H，
则，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
②当时，同理得．
综上，c的取值范围是或．
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