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广东省深圳市龙津中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题
1．已知全集，集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．若集合或，，则（　　）
A． B．
C．或 D．或
4．已知，，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集为（　　）
A．或 B．
C．或 D．
6．已知正数满足，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知函数则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域是，则的定义域为（　　）
A． B． C． D．
9．（多选题）关于函数的单调性的叙述正确的是（　　）
A．函数在上是递增的
B．函数在上是递增的
C．函数在上是递增的
D．函数的递增区间是和
10．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
11．对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．函数是偶函数 B．方程有两个解
C．方程至少有三个根 D．函数有最大值为0，无最小值
12．设，集合，若，则　 　．
13．已知下列表格表示的是函数，则　 　.
14．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为　 　．
15．已知集合，．
（1）求；
（2）求．
16．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
17．求最值：
（1）已知，，且满足，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知，，且满足，求的最小值.
18．已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上恒成立，求实数的范围．
19．已知函数是定义域为上的偶函数．
（1）求的值；
（2）解不等式；
（3）若在上的最小值为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即可求解.
【解答】
因为全集，集合，集合，所以，所以
故选：C
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题“，”是存在量词命题，
其否定是全称量词命题，
则所求的否定是：，.
故答案为：D.
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，从而得出命题“，”的否定.
3．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】根据交集定义计算，即可求解.
【解答】
因为或，，
所以或.
故选：D.
4．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】将当成整体，把，结合不等式的基本性质，即可求解.
【解答】
设，
所以，解得，所以，
因为，，所以.
故选：D.
5．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：将转化为，即，所以或，
所以不等式的解集为或，
故答案为：A.
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，根据一元二次不等式解法，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】将 两边平方后，即可求解.
【解答】
因为正数满足，所以，
所以．
故选：A．
7．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：在 中，因为，所以将代入得到：，
因为，所以将代入得到：，因此，.
故答案为：B
【分析】根据分段函数的定义域， 先计算内层函数值，再用该值作为外层函数的自变量代入，求出函数值即可求解.
8．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，所以，所以，
所以的定义域为，
所以函数中， ，
所以，函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据复合函数的定义域求法，先得出的定义域，再把2x-1当成整体作为自变量，列不等式，计算的定义域即可.
9．【答案】A,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】作出函数的图象，定义域为，
函数的单调区间之间不能用并集形式，故B错误，因为定义域为，故C错误.
结合函数图象可知，函数在和上都是递增的，判断A、D正确.
故答案为：AD
【分析】
根据反比例函数的图象及函数单调性的定义，即可可判断A、D正确，B错误.根据定义域判断C错误.
10．【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当 ， 时， ，A不符合题意；
因为 ，所以 ，B符合题意；
当 ， 时， ，C不符合题意；
因为 ， ，所以 ，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据题意由不等式的基本性质结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：由题意，可得如下函数图象，
令，得出，交点坐标为， 就是同一下，取两个函数值较小的那一个。
对于A，是偶函数，，，因为是偶函数，所以，故A正确；
对于B，，交点，一共两个解，故B正确；
对于C，根，当，无交点，当，有两个根，当，有4个根，
当，有3个根，当，无交点，所以根的个数是0、2、3、4，故C错误；
对于D，根据图像，有最大值为0，无最小值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数的奇偶性判定，，即可判断A正确；令，分，即可判断B正确；根据分段函数图象与方程的根，得求的根就是与的交点个数，即可判断C错误，根据函数图象，即可判断D正确.
12．【答案】0
【知识点】集合相等
【解析】【分析】根据集合相等的定义，可得，，求和求解即可.
【解答】
因为，且，
所以，，
所以.
故答案为：0.
13．【答案】
【知识点】函数的表示方法；函数的值
【解析】【解答】解：根据表格，先找对应的函数值，即，再找对应得函数值，即，因此，.
故答案为：.
【分析】根据复合函数求值， 从最内层函数开始，依次代入，根据表格找到对应自变量的函数值，即可求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式，即可求解.
【解答】
因为，所以
两式联立得所以，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.
故答案为：
15．【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
集合，则；
（2）解：由（1）知：，或，
则.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）的结论，利用集合的补集运算，结合集合的交集运算求解即可.
（1）由，又，
所以.
（2）由（1）知：，或，
所以.
16．【答案】（1）当时，.
则.
（2）因为，所以.
①当集合为空集时，，解得.
②当集合不是空集时，，解得.
综上，.
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将 代入，根据交集的定义，即可求解；（2）根据，得出，再分类讨论，结合数轴列不等式组，即可求解.
（1）当时，，.
则.
（2）因为，所以.
①当集合为空集时，，解得.
②当集合不是空集时，，解得.
综上，.
17．【答案】（1）已知，，且满足，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为12.
（2）已知，有，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
（3）已知，，且满足，则有，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为25.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据基本不等式，得出，即可求解；
（2）根据基本不等式，得出，即可求解；
（3）由，得，将转化为，根据基本不等式，即可求解.
（1）已知，，且满足，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为12.
（2）已知，有，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
（3）已知，，且满足，则有，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为25.
18．【答案】（1）令，则，
化简得，则．
（2）由题意得：，
即对于任意的，有恒成立，
则，
当时，由二次函数性质得取得最小值，则．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据换元法，令，代入 化简，即可求解.
（2）根据分离参数法， 将在区间上恒成立转变为在区间上恒成立，再结合二次函数性质，求出最值，即可求解.
（1）令，则，
化简得，则．
（2）由题意得：，
即对于任意的，有恒成立，
则，
当时，由二次函数性质得取得最小值，则．
19．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据偶函数定义，列方程，求得的值，得到解析式，代入求出函数值即可；
（2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质， 得 解不等式的解集，即可求解；
（3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值.
【解答】
（1）因为是定义域为上的偶函数，
则，即，
所以，即，
所以，，所以；
（2）由（1）可知，
任取，则，，
则，
所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数，
所以，所以，即，
解得或，故不等式的解集为；
（3），
所以
，
令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为.
当时，则时，，解得；
当时，则时，，解得，舍去；
综上所述：．
（1）因为是定义域为上的偶函数，
则，即，
所以，即，
所以，，；
（2）由（1）可知，
任取，则，，
则，
所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数，
故由式可得，
所以，即，
解得或，故不等式的解集为；
（3），
所以
，
令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为.
当时，则时，，解得；
当时，则时，，解得，舍去；
综上，可知．
1 / 1广东省深圳市龙津中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题
1．已知全集，集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即可求解.
【解答】
因为全集，集合，集合，所以，所以
故选：C
2．命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题“，”是存在量词命题，
其否定是全称量词命题，
则所求的否定是：，.
故答案为：D.
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，从而得出命题“，”的否定.
3．若集合或，，则（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】根据交集定义计算，即可求解.
【解答】
因为或，，
所以或.
故选：D.
4．已知，，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】将当成整体，把，结合不等式的基本性质，即可求解.
【解答】
设，
所以，解得，所以，
因为，，所以.
故选：D.
5．不等式的解集为（　　）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：将转化为，即，所以或，
所以不等式的解集为或，
故答案为：A.
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，根据一元二次不等式解法，即可求解.
6．已知正数满足，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】将 两边平方后，即可求解.
【解答】
因为正数满足，所以，
所以．
故选：A．
7．已知函数则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：在 中，因为，所以将代入得到：，
因为，所以将代入得到：，因此，.
故答案为：B
【分析】根据分段函数的定义域， 先计算内层函数值，再用该值作为外层函数的自变量代入，求出函数值即可求解.
8．已知函数的定义域是，则的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，所以，所以，
所以的定义域为，
所以函数中， ，
所以，函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据复合函数的定义域求法，先得出的定义域，再把2x-1当成整体作为自变量，列不等式，计算的定义域即可.
9．（多选题）关于函数的单调性的叙述正确的是（　　）
A．函数在上是递增的
B．函数在上是递增的
C．函数在上是递增的
D．函数的递增区间是和
【答案】A,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】作出函数的图象，定义域为，
函数的单调区间之间不能用并集形式，故B错误，因为定义域为，故C错误.
结合函数图象可知，函数在和上都是递增的，判断A、D正确.
故答案为：AD
【分析】
根据反比例函数的图象及函数单调性的定义，即可可判断A、D正确，B错误.根据定义域判断C错误.
10．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当 ， 时， ，A不符合题意；
因为 ，所以 ，B符合题意；
当 ， 时， ，C不符合题意；
因为 ， ，所以 ，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据题意由不等式的基本性质结合已知条件对选项逐一判断即可得出答案。
11．对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．函数是偶函数 B．方程有两个解
C．方程至少有三个根 D．函数有最大值为0，无最小值
【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：由题意，可得如下函数图象，
令，得出，交点坐标为， 就是同一下，取两个函数值较小的那一个。
对于A，是偶函数，，，因为是偶函数，所以，故A正确；
对于B，，交点，一共两个解，故B正确；
对于C，根，当，无交点，当，有两个根，当，有4个根，
当，有3个根，当，无交点，所以根的个数是0、2、3、4，故C错误；
对于D，根据图像，有最大值为0，无最小值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据函数的奇偶性判定，，即可判断A正确；令，分，即可判断B正确；根据分段函数图象与方程的根，得求的根就是与的交点个数，即可判断C错误，根据函数图象，即可判断D正确.
12．设，集合，若，则　 　．
【答案】0
【知识点】集合相等
【解析】【分析】根据集合相等的定义，可得，，求和求解即可.
【解答】
因为，且，
所以，，
所以.
故答案为：0.
13．已知下列表格表示的是函数，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的表示方法；函数的值
【解析】【解答】解：根据表格，先找对应的函数值，即，再找对应得函数值，即，因此，.
故答案为：.
【分析】根据复合函数求值， 从最内层函数开始，依次代入，根据表格找到对应自变量的函数值，即可求解.
14．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式，即可求解.
【解答】
因为，所以
两式联立得所以，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.
故答案为：
15．已知集合，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
集合，则；
（2）解：由（1）知：，或，
则.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）的结论，利用集合的补集运算，结合集合的交集运算求解即可.
（1）由，又，
所以.
（2）由（1）知：，或，
所以.
16．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，.
则.
（2）因为，所以.
①当集合为空集时，，解得.
②当集合不是空集时，，解得.
综上，.
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将 代入，根据交集的定义，即可求解；（2）根据，得出，再分类讨论，结合数轴列不等式组，即可求解.
（1）当时，，.
则.
（2）因为，所以.
①当集合为空集时，，解得.
②当集合不是空集时，，解得.
综上，.
17．求最值：
（1）已知，，且满足，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知，，且满足，求的最小值.
【答案】（1）已知，，且满足，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为12.
（2）已知，有，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
（3）已知，，且满足，则有，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为25.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据基本不等式，得出，即可求解；
（2）根据基本不等式，得出，即可求解；
（3）由，得，将转化为，根据基本不等式，即可求解.
（1）已知，，且满足，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为12.
（2）已知，有，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为5.
（3）已知，，且满足，则有，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为25.
18．已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上恒成立，求实数的范围．
【答案】（1）令，则，
化简得，则．
（2）由题意得：，
即对于任意的，有恒成立，
则，
当时，由二次函数性质得取得最小值，则．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据换元法，令，代入 化简，即可求解.
（2）根据分离参数法， 将在区间上恒成立转变为在区间上恒成立，再结合二次函数性质，求出最值，即可求解.
（1）令，则，
化简得，则．
（2）由题意得：，
即对于任意的，有恒成立，
则，
当时，由二次函数性质得取得最小值，则．
19．已知函数是定义域为上的偶函数．
（1）求的值；
（2）解不等式；
（3）若在上的最小值为，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据偶函数定义，列方程，求得的值，得到解析式，代入求出函数值即可；
（2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质， 得 解不等式的解集，即可求解；
（3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值.
【解答】
（1）因为是定义域为上的偶函数，
则，即，
所以，即，
所以，，所以；
（2）由（1）可知，
任取，则，，
则，
所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数，
所以，所以，即，
解得或，故不等式的解集为；
（3），
所以
，
令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为.
当时，则时，，解得；
当时，则时，，解得，舍去；
综上所述：．
（1）因为是定义域为上的偶函数，
则，即，
所以，即，
所以，，；
（2）由（1）可知，
任取，则，，
则，
所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数，
故由式可得，
所以，即，
解得或，故不等式的解集为；
（3），
所以
，
令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为.
当时，则时，，解得；
当时，则时，，解得，舍去；
综上，可知．
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