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5.2二元一次方程组的解法（1）-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．用代入消元法解二元一次方程组 下列变形正确的是(　　)
A．由①得 y=5-2x B．由①得y=2x-5
C．由②得x=3y-10 D．由②得x=10+3y
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由①得y=2x-5，可知A错误，B正确；
由②得x=10-3y，可知C、D都错误。
故答案为：B
【分析】通过移项对两个方程进行等价变形，从而判断对错。
2．对于二元一次方程组 将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A．x+2x-1=7 B．x+x-1=7 C．x+2x-2=7 D．x+2x+2=7
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 将①式代入②式，
得x+2（x-1）=7，
即x+2x-2=7，
故答案为：C.
【分析】将y替换为x-1并去括号即可.
3．方程组下列解法中比较简捷的是（　　）
A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入②
C．由②，得，代入① D．由②，得，再代入①
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 ，下列解法中比较简捷的是：由①得，再代入②，
故答案为：B．
【分析】根据代入消元法，由①得，再代入②，变形即可得答案.
4．已知x，y满足方程组 ，则无论m取何值，x，y恒有的关系式是(　　)
A．x+y=2 B．x+y=-2 C．x+y=6 D．x-y=-6
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
把②m=y-2代入①，得x+y-2=4，整理得x+y=6．
因此无论m取何值，x，y恒有的关系式是x+y=6．
故答案为：C．
【分析】先根据方程组第二个式子y-2=m，用含y的代数式表示参数m=y-2；再根据代入消元的思路，将m=y-2代入第一个方程x+m=4，替换m得到x+y=6．
5．用代入消元法解二元一次方程组 时，将y+3x=6变形为（　　)
A．y=-3x-6 B．y=6+3x C．y=3x-6 D．y=6-3x
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：需要将方程变形，用含的式子表示，
等式两边同时减去，
可得 ．
故答案为：D.
【分析】利用等式的基本性质两边同时减去3x解答即可．
6．已知用含x的代数式表示y为　 　．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，由得，将代入得．
故填：
【分析】由得， 将带入y中即可求得。
7．如果方程和另一个二元一次方程组成的方程组的解为，则另一个二元一次方程可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是二元一次方程组的解．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】灵活应用二元一次方程组的解的概念，由x，y的值，可求出的值，进而可得出，由此即可得出一个二元一次方程．
8．用代入消元法解下列方程组：
【答案】解：(1)
把②代入①得：x-3x=2，即x=-1，
把x=-1代入②得：y=-1，
则方程组的解为
(2)
由①得：y=-x+5③，
把③代入②得：2x-x+5=8，即x=3
把x=3代入③得：y=2，
则方程组的解为：
(3)
①×2+②×3得：11x=22，即x=2，
把x=2代入②得：y=-1，
则方程组的解为
(4)方程组整理得：
由①得：n=2m-4③，
把③代入②得：2m+6m-12=12，即m=3，
把m=3代入③得：n=2，
则方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法即可求解二元一次方程组的解.代入消元法：就是把方程组中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，然后代入另外一个方程，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解.代入消元法的基本步骤：变形→代入→求解→回代→写出解.
二、巩固提升
9．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|2x-y-5|+|x+y-1|=0，
又|2x-y-5|≥0，|x+y-1|≥0，
∴，解得．
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值的非负性，得到二元一次方程组，并解得，再代入，根据有理数的乘方法则，计算得到值为1．
10．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：A、把x＝8.3，y＝1.2代入方程组2(x＋2)－3(y－1)=13中，得2×10.3－3×0.2=20.6－0.6=20，不等于13，A错误；
B、把x＝10.3，y＝2.2代入方程组2(x＋2)－3(y－1)=13中，得2×12.3－3×1.2=24.6－3.6=21，不等于13，B错误；
C、把x＝10.3，y＝0.2代入方程组2(x＋2)－3(y－1)=13中，得2×12.3－3×(-0.8)=24.6＋2.4=27，不等于13，C错误；
D、由a＝8.3，b＝1.2，设x＋2＝a，y－1＝b，则x＝a－2＝8.3－2＝6.3，y＝b＋1＝1.2＋1＝2.2，代入可知满足方程组，D正确.
故答案为：D.
【分析】已知方程组2a－3b＝13，3a＋5b＝30.9的解是a＝8.3，b＝1.2.观察新方程组2(x＋2)－3(y－1)=13，3(x＋2)+5(y－1)=30.9，可以把x＋2看成原来的a，把y－1看成原来的b.所以只要令x＋2＝8.3，y－1＝1.2，再分别解出x和y即可.这种题的关键是整体代换，把新方程组和已知方程组对应起来.
11．若方程组 有正整数解，则k的正整数值是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．不存在
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
由②得：x=2y，代入①得：4y+ky=6，
∴，
则4+k=1或2或3或6，
解得：k=-3或-2或-1或2．
又∵k是正整数，
∴k=2．
故答案为：B.
【分析】根据第二个方程可得x=2y，代入第一个方程求得，利用y为正数求出正整数k的值即可．
12．方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（　　）
A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入中得，，
把，代入中得，，
∴□表示的数是5，△表示的数是1，
故选：D．
【分析】本题以二元一次方程组解的形式为背景，考查了方程组的解的概念以及代入求值。已知解中 x = 2，将其代入第二个方程 x + y = 3 可求得 y = 1，再代入第一个方程 2x + y 得到值为 5，因此被遮盖的两个数分别为 5 和 1。
13．用代入法解方程组 时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是(　　)
A．2x-3x-6=4 B．2x+3x-2=4 C．2x-3x+6=4 D．2x+3x-6=4
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意将方程①代入②得：2x+3(-x+2)=4，
去括号得：2x-3x+6=4.
故答案为： C.
【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组，将方程①代入②中，运算即可确定。
14．若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的解为，
∴，
∴．
故填：.
【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，即可得到，解出x，y的值即可．
15．已知关于x，y的二元一次方程组甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则a-b的值为　 　
【答案】0
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】把代入5x+by=42得60-3b=42，解得b=18；
把代入ax-4y=10得3a-8=10，解得a=6，
∴a-b=6-6=0，
故答案为：0.
【分析】分别把x，y的值代入正确的方程求出a，b的值，然后代入计算即可.
16．解方程组 时，可以采用“整体代换”的解法，解法如下：
解： 将方程②变形为3(2x-3y)+4y=23③， 把方程①代入③得， 3×9+4y=23， 则y=-1；把y=-1代入①得，x=3，所以方程组的解为： 解决以下问题：
（1）试用“整体代换”的方法解方程组
（2） 已知a、b、c满足 试求c 的值.
【答案】（1）解：
由②得： 4x+10y+y=10，即： 2 (2x+5y) +y=10③
将①代入③得： 2×4+y=10，解得 y=2
将y=2代入①得： 2x+5×2=4，解得x=-3
∴原方程组的解是
（2）解：
由①得： 2(a+3b)+c=-8③
由②得： 3(a+3b)-2c=9④
④×2-③×3得： - 7c=42
解得： c=-6
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先观察方程②，拆出含2x+5y的整体结构，再把方程①整体代入变形后的式子求出y=2，最后将y的值代回方程①计算出x=-3；
(2)先对两个等式分组提取公因式，构造出相同整体a+3b，再对变形后的两个式子同乘系数消去整体a+3b，最后直接解一元一次方程求出c=-6．
17．解二元一次方程 时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得y=9-4x.③(依据： ▲ ) 把③代入①， 得2x=3(9-4x)+1. 芳芳：把①代入②，得2( ▲ )+y=9.
（1）补全上述空白部分内容.
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答.
【答案】（1）解：等式的性质1；3y+1
（2）解：由②得③.
将③代入到①，得，解得.
将代入带③，解得.
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）圆圆将方程②变形为 y = 9 - 4x ，依据是等式的性质1（等式两边加或减同一个数，等式仍成立）；芳芳把①代入②，①中 2x = 3y + 1 ，故②中 4x 可替换为 2(3y + 1) ，因此括号内应填 3y + 1；
（2）选择代入消元法，通过将一个方程表示的未知数代入另一个方程，转化为一元一次方程求解，再回代得到另一未知数的值.
1 / 15.2二元一次方程组的解法（1）-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．用代入消元法解二元一次方程组 下列变形正确的是(　　)
A．由①得 y=5-2x B．由①得y=2x-5
C．由②得x=3y-10 D．由②得x=10+3y
2．对于二元一次方程组 将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A．x+2x-1=7 B．x+x-1=7 C．x+2x-2=7 D．x+2x+2=7
3．方程组下列解法中比较简捷的是（　　）
A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入②
C．由②，得，代入① D．由②，得，再代入①
4．已知x，y满足方程组 ，则无论m取何值，x，y恒有的关系式是(　　)
A．x+y=2 B．x+y=-2 C．x+y=6 D．x-y=-6
5．用代入消元法解二元一次方程组 时，将y+3x=6变形为（　　)
A．y=-3x-6 B．y=6+3x C．y=3x-6 D．y=6-3x
6．已知用含x的代数式表示y为　 　．
7．如果方程和另一个二元一次方程组成的方程组的解为，则另一个二元一次方程可以是　 　．（写出一个即可）
8．用代入消元法解下列方程组：
二、巩固提升
9．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是(　　)
A． B． C． D．
11．若方程组 有正整数解，则k的正整数值是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．不存在
12．方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（　　）
A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1
13．用代入法解方程组 时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是(　　)
A．2x-3x-6=4 B．2x+3x-2=4 C．2x-3x+6=4 D．2x+3x-6=4
14．若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为　 　．
15．已知关于x，y的二元一次方程组甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则a-b的值为　 　
16．解方程组 时，可以采用“整体代换”的解法，解法如下：
解： 将方程②变形为3(2x-3y)+4y=23③， 把方程①代入③得， 3×9+4y=23， 则y=-1；把y=-1代入①得，x=3，所以方程组的解为： 解决以下问题：
（1）试用“整体代换”的方法解方程组
（2） 已知a、b、c满足 试求c 的值.
17．解二元一次方程 时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得y=9-4x.③(依据： ▲ ) 把③代入①， 得2x=3(9-4x)+1. 芳芳：把①代入②，得2( ▲ )+y=9.
（1）补全上述空白部分内容.
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由①得y=2x-5，可知A错误，B正确；
由②得x=10-3y，可知C、D都错误。
故答案为：B
【分析】通过移项对两个方程进行等价变形，从而判断对错。
2．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 将①式代入②式，
得x+2（x-1）=7，
即x+2x-2=7，
故答案为：C.
【分析】将y替换为x-1并去括号即可.
3．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 ，下列解法中比较简捷的是：由①得，再代入②，
故答案为：B．
【分析】根据代入消元法，由①得，再代入②，变形即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
把②m=y-2代入①，得x+y-2=4，整理得x+y=6．
因此无论m取何值，x，y恒有的关系式是x+y=6．
故答案为：C．
【分析】先根据方程组第二个式子y-2=m，用含y的代数式表示参数m=y-2；再根据代入消元的思路，将m=y-2代入第一个方程x+m=4，替换m得到x+y=6．
5．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：需要将方程变形，用含的式子表示，
等式两边同时减去，
可得 ．
故答案为：D.
【分析】利用等式的基本性质两边同时减去3x解答即可．
6．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，由得，将代入得．
故填：
【分析】由得， 将带入y中即可求得。
7．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是二元一次方程组的解．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】灵活应用二元一次方程组的解的概念，由x，y的值，可求出的值，进而可得出，由此即可得出一个二元一次方程．
8．【答案】解：(1)
把②代入①得：x-3x=2，即x=-1，
把x=-1代入②得：y=-1，
则方程组的解为
(2)
由①得：y=-x+5③，
把③代入②得：2x-x+5=8，即x=3
把x=3代入③得：y=2，
则方程组的解为：
(3)
①×2+②×3得：11x=22，即x=2，
把x=2代入②得：y=-1，
则方程组的解为
(4)方程组整理得：
由①得：n=2m-4③，
把③代入②得：2m+6m-12=12，即m=3，
把m=3代入③得：n=2，
则方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法即可求解二元一次方程组的解.代入消元法：就是把方程组中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，然后代入另外一个方程，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解.代入消元法的基本步骤：变形→代入→求解→回代→写出解.
9．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|2x-y-5|+|x+y-1|=0，
又|2x-y-5|≥0，|x+y-1|≥0，
∴，解得．
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值的非负性，得到二元一次方程组，并解得，再代入，根据有理数的乘方法则，计算得到值为1．
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：A、把x＝8.3，y＝1.2代入方程组2(x＋2)－3(y－1)=13中，得2×10.3－3×0.2=20.6－0.6=20，不等于13，A错误；
B、把x＝10.3，y＝2.2代入方程组2(x＋2)－3(y－1)=13中，得2×12.3－3×1.2=24.6－3.6=21，不等于13，B错误；
C、把x＝10.3，y＝0.2代入方程组2(x＋2)－3(y－1)=13中，得2×12.3－3×(-0.8)=24.6＋2.4=27，不等于13，C错误；
D、由a＝8.3，b＝1.2，设x＋2＝a，y－1＝b，则x＝a－2＝8.3－2＝6.3，y＝b＋1＝1.2＋1＝2.2，代入可知满足方程组，D正确.
故答案为：D.
【分析】已知方程组2a－3b＝13，3a＋5b＝30.9的解是a＝8.3，b＝1.2.观察新方程组2(x＋2)－3(y－1)=13，3(x＋2)+5(y－1)=30.9，可以把x＋2看成原来的a，把y－1看成原来的b.所以只要令x＋2＝8.3，y－1＝1.2，再分别解出x和y即可.这种题的关键是整体代换，把新方程组和已知方程组对应起来.
11．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
由②得：x=2y，代入①得：4y+ky=6，
∴，
则4+k=1或2或3或6，
解得：k=-3或-2或-1或2．
又∵k是正整数，
∴k=2．
故答案为：B.
【分析】根据第二个方程可得x=2y，代入第一个方程求得，利用y为正数求出正整数k的值即可．
12．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入中得，，
把，代入中得，，
∴□表示的数是5，△表示的数是1，
故选：D．
【分析】本题以二元一次方程组解的形式为背景，考查了方程组的解的概念以及代入求值。已知解中 x = 2，将其代入第二个方程 x + y = 3 可求得 y = 1，再代入第一个方程 2x + y 得到值为 5，因此被遮盖的两个数分别为 5 和 1。
13．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意将方程①代入②得：2x+3(-x+2)=4，
去括号得：2x-3x+6=4.
故答案为： C.
【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组，将方程①代入②中，运算即可确定。
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的解为，
∴，
∴．
故填：.
【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，即可得到，解出x，y的值即可．
15．【答案】0
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】把代入5x+by=42得60-3b=42，解得b=18；
把代入ax-4y=10得3a-8=10，解得a=6，
∴a-b=6-6=0，
故答案为：0.
【分析】分别把x，y的值代入正确的方程求出a，b的值，然后代入计算即可.
16．【答案】（1）解：
由②得： 4x+10y+y=10，即： 2 (2x+5y) +y=10③
将①代入③得： 2×4+y=10，解得 y=2
将y=2代入①得： 2x+5×2=4，解得x=-3
∴原方程组的解是
（2）解：
由①得： 2(a+3b)+c=-8③
由②得： 3(a+3b)-2c=9④
④×2-③×3得： - 7c=42
解得： c=-6
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先观察方程②，拆出含2x+5y的整体结构，再把方程①整体代入变形后的式子求出y=2，最后将y的值代回方程①计算出x=-3；
(2)先对两个等式分组提取公因式，构造出相同整体a+3b，再对变形后的两个式子同乘系数消去整体a+3b，最后直接解一元一次方程求出c=-6．
17．【答案】（1）解：等式的性质1；3y+1
（2）解：由②得③.
将③代入到①，得，解得.
将代入带③，解得.
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）圆圆将方程②变形为 y = 9 - 4x ，依据是等式的性质1（等式两边加或减同一个数，等式仍成立）；芳芳把①代入②，①中 2x = 3y + 1 ，故②中 4x 可替换为 2(3y + 1) ，因此括号内应填 3y + 1；
（2）选择代入消元法，通过将一个方程表示的未知数代入另一个方程，转化为一元一次方程求解，再回代得到另一未知数的值.
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