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5.2 二元一次方程组的解法（2）-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知关于 x，y的方程组 的解满足 x+y=k+1， 则 k的值为 （　　)
A．-3 B．-2 C．2 D．3
3．已知点，且、为二元一次方程组的解，则点A在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．利用加减消元法解方程组时，利用①×a+②×b消去y，则a、b的值可以分别是（　　）
A．3，2 B．3，-2 C．2，3 D．2，-3
5．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(　　)
A．要消去x，可以将①×5-②×2 B．要消去y，可以将①×3+②×2
C．要消去x，可以将①×5+②×2 D．要消去y，可以将①×2-②×3
6．关于和的二元一次方程组的解是　 　．
7．已知，满足方程组，则的值为　 　．
8．解方程组 既可用　 　消去未知数y；也可用　 　消去未知数x.
9．老师留的作业中有这样一道解方程组的题： 小明同学完成的过程如下：
.................................................第一步
①-②得y=6，......................................................第二步
把y=6代入②得3x-6=7，..................................第三步
解得x=，.........................................................第四步
则方程组的解为....................... ..........第五步
（1）老师发现小明同学的解答有错误，小明同学的解答从第　 　步开始出现错误。
（2）请写出此题的正确解答过程。
10．解方程组
11．解方程组：．
二、巩固提升
12．若关于，的方程组的解满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．若满足方程组 的x与y互为相反数，则m的值为(　　)
A．2 B．-5 C．4 D．-7
14．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（　　）
A． B． C． D．
16．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　 　（请填序号）．
①当时，方程组的解也是方程的解；
②无论取何值，恒成立；
③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1；
④无论取什么实数，的值始终为8．
17．已知方程组 的解满足x+y=2，则n的值为　 　。
18．若方程组 的解是 则方程组 的解是　 　.
19．解方程组：
（1）
（2）．
20．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求的值．
三、能力应用
21．阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为．
（1）写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
（2）若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求；
（3）若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值．
22．对于关于x，y的二元一次方程组 （其中a1， b1， c1， a2， b2， c2是常数)， 给出如下定义：若该方程组的解满足|x+y|=1，则称这个方程组为“开心”方程组。
（1）若有一个“开心”方程组的解为 则m的值为　 　；
（2）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（填序号)；
（3）若关于x，y的方程组 是“开心”方程组，求k的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，
解得：，
∴．
故
【分析】
先根据二元一次方程的定义，列出关于、的方程组，解出与的取值，再将结果代入计算，就可以得到最终结果.
2．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：将方程组中的两个方程相加，可得2x+3y+3x+2y=k+k-1，
整理后得：5(x+y)=2k-1，
将 x+y=k+1代入上面的等式，得：5(k+1)=2k-1，
解得 k=-2，B正确.
故答案为：B.
【分析】利用加减消元的思想，将两个方程相加可得5(x+y)=2k-1，再将已知代入即可得到关于k的方程，即可得解.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组得，
∴点在第四象限．
故选：D
【分析】解方程组可得m，n值，再根据点的坐标与象限的关系即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组中y的系数分别为和，要消去y，需使y的系数互为相反数，
又∵和的最小公倍数是，
∴给①乘，得到y的系数为，给②乘，得到y的系数为，满足互为相反数，两式相加即可消去y，
∴两个数分别是和．
故答案为：A.
【分析】根据①×3，②×2可得y的系数互为相反数，然后相加即可消去y解答即可．
5．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：结合题意，我们可以发现两个二元一次方程的x的系数分别为2和5，y的系数分别为3和-2，
所以要消去x的话，我们需要 ①×5-②×2 ；要消去y的话要 ①×2+②×3，
结合选项，我们可以发现A选项是正确的。
故答案为： A.
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组，结合题意，将某个未知数的系数利用等式的性质变成相等或是相反，再利用两个方程相减或相加即可消去未知数。
6．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①②得，
即
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
故答案为：.
【分析】
先通过加减消元法消去未知数y，求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值.
7．【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，
；
故答案为：．
【分析】本题以二元一次方程组为背景，考查整体消元思想。将两个方程相加，左边得 4x+4y，右边得 8，即 4(x+y)=8，两边同时除以4得 x+y=2。
8．【答案】①+②；②-①
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解： 既可用①+②消去未知数y；也可用②-①消去未知数x.
故答案为：①+② ；②-①.
【分析】
根据加减消元法解一元二次方程组：y的系数互为相反数，因而可用①+②消去未知数y；观察x的系数相同即可用②-①消去未知数x，解答即可.
9．【答案】（1）二
（2）①-②得 3y=6
解得 y=2
把y=2代入②得 3x-2=7
解得x=3
则方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1） .................................................第一步
①-②得3y=6， ......................................................第二步
故答案为：二；
【分析】（1）正确解答二元一次方程组，即可得出答案；
（2）根据加减消元法正确解答方程组即可。
10．【答案】解：
由①②得
解得
将代入②得
解得
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中两个方程未知数的系数，用①-②×3可消去x求出y的值，然后将y的值代入②方程即可算出x的值，从而得到方程组的解.
11．【答案】解：，
②﹣①得3x=﹣9，
解得x=﹣3，
把x=﹣3代入x+y=1中，求出y=4，
即方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求出该方程组的解即可.
12．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
① + ②得：
即：
两边同时除以6，得：
将，代入上式得：，
解得：，
故选：D．
【分析】本题以二元一次方程组与解满足条件为背景，考查了整体代入法求参数。将方程组中两个方程相加，整理得到x＋y关于k的表达式，再代入x＋y＝2026求解k。
13．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：方程组
①-②得：2x+2y=4-m，即
∵x与y互为相反数
∴x+y=0，
∴
解得：m=4.
故选：C.
【分析】方程组两方程相减表示出x+y，根据x与y互为相反数，得到x+y=0，求出m的值即可.
14．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解： 两个方程组的解相同
联立不含、的方程得 ，
得，解得．
把代入得，解得．
将，代入含、的方程得，
方程④两边同除以得．
．
故答案为：C.
【分析】根据方程组解的定义“组成方程组的两个方程的公共解就是方程组的解”，由两个方程组的解相同，说明这个解是四个方程的公共解，因此先联立两个不含a、b的方程求出公共解x、y，再将解代入含a、b的方程，即可计算得到2a+b的值．
15．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解得：，
∵关于，的方程组的解满足，
，解得：，
，
，
整理得：，
，均为正整数，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
的值为、、，共个.
故答案为：A．
【分析】先求出题目 关于，的方程组的解，再根据题目 关于，的方程组的解满足的方程列出关于m、n的方程组，解出后m、n后代入列方程，整理得，根据，均为正整数，即可得当时，，计算得n=0，同理得当时，，n=-1，当时，，n=-2，综合即可得符合条件的整数的个数3.
16．【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；加减消元法解二元一次方程组；判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：解方程组
①-②得：3y=6-6a，
解得y=2-2a，
把y=2-2a代入②，
得x=4a-1+(2-2a)=2a+1，
∴方程组的解为
①当a=2时，x=5，y=-2，
代入方程2x+y=3a+2中，
方程的左边=右边，
因此方程组的解也是该方程的解，
故结论①正确；
②计算左边
把x=2a+1，y=2-2a代入得，
y+2x=(2﹣2a)+2(2a+1)=2a+4=2(a+2)，
y=2-2a=2(1-a)，
因此y(y+2x)=2(1-a)×2(a+2)=4(a+2)(1-a)，和右边相等，故②正确；
③若x，y都为自然数，即x，y都是非负整数，
当a=0时，x=1，y=2，都是自然数，符合条件，
当a=0.5时，x=2，y=1，都是自然数，符合条件，
当a=1时，x=3，y=0，都是自然数，符合条件，
因此a有多个取值，不是唯一值为1，故③错误；
∵x+y=(2a+1)+(2-2a)=3，
无论a取何实数，结果都为8，故④正确，
综上，正确的结论是①②④.
故答案为：①②④.
【分析】利用加减消元法解方程求出x=2a+1，y=2-2a，当a=2时求出x，y的值代入方程检验判断①；把x，y的值代入计算判断②；找出符合条件的x，y的自然数解判断③，计算x+y=3，然后根据同底数幂的乘法计算判断④解答即可.
17．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：由题知，
两式相加得，
(n+2)x+(n+2)y=9，
所以
因为x+y=2，
所以
解得
经检验， 是原方程的解且符合题意.
故答案为：
【分析】根据题意，用含n的代数式表示出x+y，据此进行计算即可.
18．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理得，
∵方程组的解是，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】将所求方程组整理成，根据题意得到得到，求出x和y的值解答即可．
19．【答案】（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察发现方程组中未知数y的系数相同，故利用方程②-①消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解；
（2）先根据去分母、去括号及移项将方程组中的两个方程整理成一般形式，观察发现方程组中未知数y的系数互为相反数，故利用方程①+②消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解.
（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．【答案】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解，
联立方程组得，，
得，，解得，
把代入得，，解得，
这两个方程组相同的解为：；
（2）解：根据题意，把代入方程组，
得，
得，，解得，
把代入得，，解得，
方程组的解为，
．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）联立方程组，根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解，
联立方程组得，，
得，，解得，
把代入得，，解得，
这两个方程组相同的解为：；
（2）根据题意，把代入方程组，
得，
得，，解得，
把代入得，，解得，
方程组的解为，
．
21．【答案】（1）；.
（2）解：由题意可知，的“船山方程”为：，联立方程组得，
得：，即，
∵，
∴，
∵方程组的解为，
∴，
把，代入①得：，解得：，
∴．
（3）解：代数式的值为.
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”，则，
由得：则：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为.
故答案为：；.
（3）解：∵，
，
∵与其“船山方程”所组成的方程组为，
∴，将代入方程中，得，即：，，
∴
．
【分析】（1）根据定义可得：的“船山方程”，即可列方程组，解出即可得原方程组的解.
（2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可得方程组的解为，把，代入①得m、n的值即可得的值.
（3）根据得，根据“船山方程”定义列方程组，解出即可得，，代入代数式求解即可得答案.
（1）解：根据定义可得：的“船山方程”．
则；
由得：
则：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：由题意可知，的“船山方程”为：，
联立方程组得，
得：，即，
∵，
∴，
∵方程组的解为，
∴，
把，代入①得：，
解得：，
∴．
（3）解：∵，
，
∵与其“船山方程”所组成的方程组为，
解得：，
将代入方程中，得，
即，，
∴
．
22．【答案】（1）m=2或4
（2）②③
（3）解：
∴两式相加得7x+7y=3k+8，
整理得 ，
∵|x+y|=1，即
解得 或k=-5
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】（1）根据“开心”方程组的定义，解需满足|x+y|=1，
已知x=-3，y=m，代入得|-3+m|=1，
解得m=2或4；
故答案为：m=2或4；
（2）对每个方程组，先求解x，y，再验证|x+y|，
①解得x=0，y=0，|0+0|=0≠1，故①不是“开心”方程组；
②解得x=1，y=0，|0+0|=1，故②是“开心”方程组；
③两式相加得15x+15y=15，即x+y=1，故③是“开心”方程组；
④解得x=1，y=2，|0+0|=3≠1，故④不是“开心”方程组；
故答案为：②③；
【分析】（1）根据“开心”方程组的定义，解需满足|x+y|=1，已知x=-3，y=m，代入得|-3+m|=1，解这个绝对值方程，即可得到m的值；
（2）对每个方程组，先求解x，y，再验证|x+y|是否等于1即可；
（3）利用整体思想，将方程组两式相加，得到7x+7y=3k+8，化简得到x+y的值，再根据“开心”方程组的定义|x+y|=1，列出关于k的方程，解之即可。
1 / 15.2 二元一次方程组的解法（2）-北师大版数学八上同步分层训练
一、基础训练
1．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，
解得：，
∴．
故
【分析】
先根据二元一次方程的定义，列出关于、的方程组，解出与的取值，再将结果代入计算，就可以得到最终结果.
2．已知关于 x，y的方程组 的解满足 x+y=k+1， 则 k的值为 （　　)
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：将方程组中的两个方程相加，可得2x+3y+3x+2y=k+k-1，
整理后得：5(x+y)=2k-1，
将 x+y=k+1代入上面的等式，得：5(k+1)=2k-1，
解得 k=-2，B正确.
故答案为：B.
【分析】利用加减消元的思想，将两个方程相加可得5(x+y)=2k-1，再将已知代入即可得到关于k的方程，即可得解.
3．已知点，且、为二元一次方程组的解，则点A在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组得，
∴点在第四象限．
故选：D
【分析】解方程组可得m，n值，再根据点的坐标与象限的关系即可求出答案.
4．利用加减消元法解方程组时，利用①×a+②×b消去y，则a、b的值可以分别是（　　）
A．3，2 B．3，-2 C．2，3 D．2，-3
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组中y的系数分别为和，要消去y，需使y的系数互为相反数，
又∵和的最小公倍数是，
∴给①乘，得到y的系数为，给②乘，得到y的系数为，满足互为相反数，两式相加即可消去y，
∴两个数分别是和．
故答案为：A.
【分析】根据①×3，②×2可得y的系数互为相反数，然后相加即可消去y解答即可．
5．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(　　)
A．要消去x，可以将①×5-②×2 B．要消去y，可以将①×3+②×2
C．要消去x，可以将①×5+②×2 D．要消去y，可以将①×2-②×3
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：结合题意，我们可以发现两个二元一次方程的x的系数分别为2和5，y的系数分别为3和-2，
所以要消去x的话，我们需要 ①×5-②×2 ；要消去y的话要 ①×2+②×3，
结合选项，我们可以发现A选项是正确的。
故答案为： A.
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组，结合题意，将某个未知数的系数利用等式的性质变成相等或是相反，再利用两个方程相减或相加即可消去未知数。
6．关于和的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①②得，
即
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
故答案为：.
【分析】
先通过加减消元法消去未知数y，求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值.
7．已知，满足方程组，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，
；
故答案为：．
【分析】本题以二元一次方程组为背景，考查整体消元思想。将两个方程相加，左边得 4x+4y，右边得 8，即 4(x+y)=8，两边同时除以4得 x+y=2。
8．解方程组 既可用　 　消去未知数y；也可用　 　消去未知数x.
【答案】①+②；②-①
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解： 既可用①+②消去未知数y；也可用②-①消去未知数x.
故答案为：①+② ；②-①.
【分析】
根据加减消元法解一元二次方程组：y的系数互为相反数，因而可用①+②消去未知数y；观察x的系数相同即可用②-①消去未知数x，解答即可.
9．老师留的作业中有这样一道解方程组的题： 小明同学完成的过程如下：
.................................................第一步
①-②得y=6，......................................................第二步
把y=6代入②得3x-6=7，..................................第三步
解得x=，.........................................................第四步
则方程组的解为....................... ..........第五步
（1）老师发现小明同学的解答有错误，小明同学的解答从第　 　步开始出现错误。
（2）请写出此题的正确解答过程。
【答案】（1）二
（2）①-②得 3y=6
解得 y=2
把y=2代入②得 3x-2=7
解得x=3
则方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1） .................................................第一步
①-②得3y=6， ......................................................第二步
故答案为：二；
【分析】（1）正确解答二元一次方程组，即可得出答案；
（2）根据加减消元法正确解答方程组即可。
10．解方程组
【答案】解：
由①②得
解得
将代入②得
解得
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中两个方程未知数的系数，用①-②×3可消去x求出y的值，然后将y的值代入②方程即可算出x的值，从而得到方程组的解.
11．解方程组：．
【答案】解：，
②﹣①得3x=﹣9，
解得x=﹣3，
把x=﹣3代入x+y=1中，求出y=4，
即方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法求出该方程组的解即可.
二、巩固提升
12．若关于，的方程组的解满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
① + ②得：
即：
两边同时除以6，得：
将，代入上式得：，
解得：，
故选：D．
【分析】本题以二元一次方程组与解满足条件为背景，考查了整体代入法求参数。将方程组中两个方程相加，整理得到x＋y关于k的表达式，再代入x＋y＝2026求解k。
13．若满足方程组 的x与y互为相反数，则m的值为(　　)
A．2 B．-5 C．4 D．-7
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：方程组
①-②得：2x+2y=4-m，即
∵x与y互为相反数
∴x+y=0，
∴
解得：m=4.
故选：C.
【分析】方程组两方程相减表示出x+y，根据x与y互为相反数，得到x+y=0，求出m的值即可.
14．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解： 两个方程组的解相同
联立不含、的方程得 ，
得，解得．
把代入得，解得．
将，代入含、的方程得，
方程④两边同除以得．
．
故答案为：C.
【分析】根据方程组解的定义“组成方程组的两个方程的公共解就是方程组的解”，由两个方程组的解相同，说明这个解是四个方程的公共解，因此先联立两个不含a、b的方程求出公共解x、y，再将解代入含a、b的方程，即可计算得到2a+b的值．
15．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解得：，
∵关于，的方程组的解满足，
，解得：，
，
，
整理得：，
，均为正整数，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
的值为、、，共个.
故答案为：A．
【分析】先求出题目 关于，的方程组的解，再根据题目 关于，的方程组的解满足的方程列出关于m、n的方程组，解出后m、n后代入列方程，整理得，根据，均为正整数，即可得当时，，计算得n=0，同理得当时，，n=-1，当时，，n=-2，综合即可得符合条件的整数的个数3.
16．已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　 　（请填序号）．
①当时，方程组的解也是方程的解；
②无论取何值，恒成立；
③当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为1；
④无论取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；加减消元法解二元一次方程组；判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：解方程组
①-②得：3y=6-6a，
解得y=2-2a，
把y=2-2a代入②，
得x=4a-1+(2-2a)=2a+1，
∴方程组的解为
①当a=2时，x=5，y=-2，
代入方程2x+y=3a+2中，
方程的左边=右边，
因此方程组的解也是该方程的解，
故结论①正确；
②计算左边
把x=2a+1，y=2-2a代入得，
y+2x=(2﹣2a)+2(2a+1)=2a+4=2(a+2)，
y=2-2a=2(1-a)，
因此y(y+2x)=2(1-a)×2(a+2)=4(a+2)(1-a)，和右边相等，故②正确；
③若x，y都为自然数，即x，y都是非负整数，
当a=0时，x=1，y=2，都是自然数，符合条件，
当a=0.5时，x=2，y=1，都是自然数，符合条件，
当a=1时，x=3，y=0，都是自然数，符合条件，
因此a有多个取值，不是唯一值为1，故③错误；
∵x+y=(2a+1)+(2-2a)=3，
无论a取何实数，结果都为8，故④正确，
综上，正确的结论是①②④.
故答案为：①②④.
【分析】利用加减消元法解方程求出x=2a+1，y=2-2a，当a=2时求出x，y的值代入方程检验判断①；把x，y的值代入计算判断②；找出符合条件的x，y的自然数解判断③，计算x+y=3，然后根据同底数幂的乘法计算判断④解答即可.
17．已知方程组 的解满足x+y=2，则n的值为　 　。
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：由题知，
两式相加得，
(n+2)x+(n+2)y=9，
所以
因为x+y=2，
所以
解得
经检验， 是原方程的解且符合题意.
故答案为：
【分析】根据题意，用含n的代数式表示出x+y，据此进行计算即可.
18．若方程组 的解是 则方程组 的解是　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理得，
∵方程组的解是，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】将所求方程组整理成，根据题意得到得到，求出x和y的值解答即可．
19．解方程组：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察发现方程组中未知数y的系数相同，故利用方程②-①消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解；
（2）先根据去分母、去括号及移项将方程组中的两个方程整理成一般形式，观察发现方程组中未知数y的系数互为相反数，故利用方程①+②消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解.
（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求的值．
【答案】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解，
联立方程组得，，
得，，解得，
把代入得，，解得，
这两个方程组相同的解为：；
（2）解：根据题意，把代入方程组，
得，
得，，解得，
把代入得，，解得，
方程组的解为，
．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）联立方程组，根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解，
联立方程组得，，
得，，解得，
把代入得，，解得，
这两个方程组相同的解为：；
（2）根据题意，把代入方程组，
得，
得，，解得，
把代入得，，解得，
方程组的解为，
．
三、能力应用
21．阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为．
（1）写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
（2）若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求；
（3）若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值．
【答案】（1）；.
（2）解：由题意可知，的“船山方程”为：，联立方程组得，
得：，即，
∵，
∴，
∵方程组的解为，
∴，
把，代入①得：，解得：，
∴．
（3）解：代数式的值为.
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”，则，
由得：则：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为.
故答案为：；.
（3）解：∵，
，
∵与其“船山方程”所组成的方程组为，
∴，将代入方程中，得，即：，，
∴
．
【分析】（1）根据定义可得：的“船山方程”，即可列方程组，解出即可得原方程组的解.
（2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可得方程组的解为，把，代入①得m、n的值即可得的值.
（3）根据得，根据“船山方程”定义列方程组，解出即可得，，代入代数式求解即可得答案.
（1）解：根据定义可得：的“船山方程”．
则；
由得：
则：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：由题意可知，的“船山方程”为：，
联立方程组得，
得：，即，
∵，
∴，
∵方程组的解为，
∴，
把，代入①得：，
解得：，
∴．
（3）解：∵，
，
∵与其“船山方程”所组成的方程组为，
解得：，
将代入方程中，得，
即，，
∴
．
22．对于关于x，y的二元一次方程组 （其中a1， b1， c1， a2， b2， c2是常数)， 给出如下定义：若该方程组的解满足|x+y|=1，则称这个方程组为“开心”方程组。
（1）若有一个“开心”方程组的解为 则m的值为　 　；
（2）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（填序号)；
（3）若关于x，y的方程组 是“开心”方程组，求k的值。
【答案】（1）m=2或4
（2）②③
（3）解：
∴两式相加得7x+7y=3k+8，
整理得 ，
∵|x+y|=1，即
解得 或k=-5
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】（1）根据“开心”方程组的定义，解需满足|x+y|=1，
已知x=-3，y=m，代入得|-3+m|=1，
解得m=2或4；
故答案为：m=2或4；
（2）对每个方程组，先求解x，y，再验证|x+y|，
①解得x=0，y=0，|0+0|=0≠1，故①不是“开心”方程组；
②解得x=1，y=0，|0+0|=1，故②是“开心”方程组；
③两式相加得15x+15y=15，即x+y=1，故③是“开心”方程组；
④解得x=1，y=2，|0+0|=3≠1，故④不是“开心”方程组；
故答案为：②③；
【分析】（1）根据“开心”方程组的定义，解需满足|x+y|=1，已知x=-3，y=m，代入得|-3+m|=1，解这个绝对值方程，即可得到m的值；
（2）对每个方程组，先求解x，y，再验证|x+y|是否等于1即可；
（3）利用整体思想，将方程组两式相加，得到7x+7y=3k+8，化简得到x+y的值，再根据“开心”方程组的定义|x+y|=1，列出关于k的方程，解之即可。
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