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广东省广州市培英中学2025-2026学年高二港澳班上学期期中质量检测数学试题
1．已知空间单位向量两两垂直，则（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算性质，利用空间向量垂直的性质进行求解即可.
【解答】
因为空间单位向量两两垂直，
所以，
所以，
故选：D
2．若椭圆的离心率为，则（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据椭圆基本性质，得，因椭圆 ，所以焦点在轴，，即
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】根据椭圆的标准方程，得及，结合椭圆的离心率定义，即可求解.
3．若点在圆外，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据点与圆位置关系求出，将圆化为标准方程 得到，解不等式组，即可求解.
【解答】
因为点在圆外，
所以，则.
又因为圆化为标准方程可得：，
所以，则，解得：或.
所以
所以的取值范围为：.
故选：D.
4．若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，利用a、b、c关系列方程求解即可.
【解答】
双曲线的焦点在轴上，
，解得，
又双曲线的焦距为4，
，解得，经检验，符合题意.
故选：C.
5．若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为点在圆外，所以，
易知圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
因为，所以，则，即圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故答案为：B.
【分析】易知圆心和半经，由点在圆外可得、的关系，求由圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系即可.
6．线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点在轴、在轴，已知，由勾股定理得，，设线段上靠近点的三等分点为，
可得，则，
所以，，即，
代入，化简得，
所以线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为.
故答案为：C.
【分析】根据五步法求轨迹的方法，设三等分点坐标，点、，利用AB长度得出，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简，即可求解.
7．椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设与 x+ 2y- 9= 0 平行且与椭圆相切的直线为 ，联立
所以，
所以切线方程为：，或，
所以 ， ，
所以椭圆上点P到直线的最短距离为.
故答案为：A.
【分析】设与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，联立方程，转化为一元二次方程，根据直线和椭圆相切得，求出直线的常数项，再根据平行线距离公式，计算判断平行线间的距离判断哪条切线离直线 x+ 2y- 9= 0 更近即可.
8．已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
如图，因圆的半径为，圆心， 直线，
因为圆上恰有三个点到直线的距离等于1，
等价于圆心到直线的距离等于即可，
圆心到直线的距离，即.
故答案为：B.
【分析】结合图形，将圆上恰有三个点到直线的距离等于1转化为使圆心到直线的距离等于1，根据点到直线距离公式计算，即可求解.
9．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点），
在坐标平面内作出半圆及直线，
圆心，半径，直接整理得：，
圆心到直线距离等于半径，，或，
当时， 切点在第二象限，和上半圆相切，有效，
当时， 切点在第三象限，不在上半圆，舍去，
上半圆右端点，代入，，当时，直线在下方，与上半圆无交点，
故.
故答案为：B.
【分析】根据直线与圆相切，得直线边界位置，结合图像，平行移动直线，观察直线与圆公共点个数，即可求解.
10．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（　　）
A．点的轨迹方程是
B．点的轨迹与圆没有公共点
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．直线是“最远距离直线”
【答案】A,C,D
【知识点】曲线与方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以，化简得，A正确；
对于B，由，得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点，B错误．
对于C，过P作于B，则，，由图知，的最小值即为点A到直线l：的距离，该距离为5，C正确；
对于D，由可得，解得，存在，因此直线是“最远距离直线”，D正确；
故答案为：ACD
【分析】依次分析点的轨迹方程、轨迹与圆的公共点、线段和的最小值以及直线是否为“最远距离直线”.用距离公式推导轨迹方程，结合圆与椭圆的位置关系、椭圆的定义（或几何性质）以及直线与椭圆的交点判断来解决各选项.
11．已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是　 　.
【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，在利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，减去半径即可.
【解答】
将圆配方为，所以圆心C（2，-3），半径r=2
圆心到直线的距离，
则点到直线距离的最小值是，
故答案为：2．
12．圆与的公共弦长为　 　.
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】两圆方程作差求得公共弦所在直线方程，构造直角三角形，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理及垂径定理即可求解.
【解答】
已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】由正弦定理和椭圆的定义得，即可求解．
【解答】
由椭圆方程得：，，．
三角形顶点和，顶点在椭圆上，
，
由正弦定理可知
故答案为：．
14．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知，令，则，，当时取最大值，最大值为，
所以，最小值为，
解得，
由椭圆知，，所以，
所以离心率.
故答案为：.
【分析】根据基本不等式及椭圆的定义，将最小值转化为求的最大值，解出a的值，再利用椭圆标准方程求出c，根据离心率定义，即可求解.
15．已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，设直线的斜率为，
则，两式相减可得，
因式分解为，
由中点M的坐标为 ，可得，
设斜率，，两边除以，得，解得，又直线过，
所以直线方程为，
故答案为：.
【分析】
设，根据点差法，作差后变形，利用中点坐标公式代入，即可求出直线的斜率，根据点斜式，即可求解.
16．在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若直线过点且与直线BC垂直，求直线的方程；
（2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程.
【答案】（1）解：由可得直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即
（2）解：当截距均为时，直线方程为，符合题意，
当截距不为时，不妨设直线方程为，
又直线经过点，故，即，所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）通过两点坐标求直线的斜率，再根据两直线垂直斜率的关系得到直线的斜率，最后结合点斜式求出直线的方程.
（2）分直线在两轴截距都为和截距都不为两种情况，截距不为时设出截距式方程，代入点的坐标求解.
（1）由可得直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即
（2）当截距均为时，直线方程为，符合题意，
当截距不为时，不妨设直线方程为，
又直线经过点，故，即，所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
17．已知关于x，y的方程.
（1）若该方程表示圆C，求m的取值范围；
（2）若圆C与圆外切，求m的值；
（3）若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）方程，变形得，
由方程表示圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）由圆，得，此圆圆心，半径为，
又圆的圆心，半径，
由圆与圆相外切，得，即，
所以.
（3）由（2）知，圆的圆心，半径，
由圆的弦长，得圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由，解得，直线的方程为，
所以直线l的方程为或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）化给定方程配方得，利用方程表示圆条件，即可求出范围.
（2）根据两圆相外切，列出方程，求出的值.
（3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类，利用点到直线距离，列方程解出斜率，求出方程即可.
（1）方程，变形得，
由方程表示圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）由圆，得，此圆圆心，半径为，
又圆的圆心，半径，
由圆与圆相外切，得，即，
所以.
（3）由（2）知，圆的圆心，半径，
由圆的弦长，得圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由，解得，直线的方程为，
所以直线l的方程为或.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．
（1）求直线AD与平面ACM夹角的余弦值；
（2）求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值；
【答案】（1）
（2）
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出 平面的法向量
利用 计算出直线与平面的夹角的正弦值，再由同角三角函数关系转化为余弦值，即可求解.
（2）利用向量法计算出平面和平面的法向量，两法向量夹角即为两平面夹角，代入计算即可.
【解答】
（1）因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
，
设平面的法向量为，
则，故，
设直线与平面的夹角为，
则，.
（2）由题意，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则.
（1）因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面的夹角为，
则，.
（2）由题意，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则.
19．已知椭圆的离心率为是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求和的面积.
【答案】（1）解：由题意可得，因为椭圆的离心率，所以，
则，
故椭圆的方程为；
（2）解：因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，
设，联立，消元整理得，
由韦达定理可得：，
由弦长公式得，
点到直线的距离，
故.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用离心率求得c，再根据椭圆中的关系求，即可得椭圆方程；
（2）易知直线方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求，由及点到直线距离求面积即可.
（1）由椭圆的右顶点可得，又，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为.
由得，
设，则，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以.
1 / 1广东省广州市培英中学2025-2026学年高二港澳班上学期期中质量检测数学试题
1．已知空间单位向量两两垂直，则（　　）
A．1 B． C．3 D．
2．若椭圆的离心率为，则（　　）
A． B．4 C． D．2
3．若点在圆外，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
4．若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离
6．线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
7．椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）
A． B． C． D．
8．已知圆，直线，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（　　）
A．点的轨迹方程是
B．点的轨迹与圆没有公共点
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．直线是“最远距离直线”
11．已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是　 　.
12．圆与的公共弦长为　 　.
13．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　 　．
14．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是　 　.
15．已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为　 　.
16．在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若直线过点且与直线BC垂直，求直线的方程；
（2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程.
17．已知关于x，y的方程.
（1）若该方程表示圆C，求m的取值范围；
（2）若圆C与圆外切，求m的值；
（3）若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程．
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．
（1）求直线AD与平面ACM夹角的余弦值；
（2）求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值；
19．已知椭圆的离心率为是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求和的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算性质，利用空间向量垂直的性质进行求解即可.
【解答】
因为空间单位向量两两垂直，
所以，
所以，
故选：D
2．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据椭圆基本性质，得，因椭圆 ，所以焦点在轴，，即
所以，所以.
故答案为：D.
【分析】根据椭圆的标准方程，得及，结合椭圆的离心率定义，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据点与圆位置关系求出，将圆化为标准方程 得到，解不等式组，即可求解.
【解答】
因为点在圆外，
所以，则.
又因为圆化为标准方程可得：，
所以，则，解得：或.
所以
所以的取值范围为：.
故选：D.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，利用a、b、c关系列方程求解即可.
【解答】
双曲线的焦点在轴上，
，解得，
又双曲线的焦距为4，
，解得，经检验，符合题意.
故选：C.
5．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为点在圆外，所以，
易知圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
因为，所以，则，即圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故答案为：B.
【分析】易知圆心和半经，由点在圆外可得、的关系，求由圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系即可.
6．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点在轴、在轴，已知，由勾股定理得，，设线段上靠近点的三等分点为，
可得，则，
所以，，即，
代入，化简得，
所以线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为.
故答案为：C.
【分析】根据五步法求轨迹的方法，设三等分点坐标，点、，利用AB长度得出，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设与 x+ 2y- 9= 0 平行且与椭圆相切的直线为 ，联立
所以，
所以切线方程为：，或，
所以 ， ，
所以椭圆上点P到直线的最短距离为.
故答案为：A.
【分析】设与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，联立方程，转化为一元二次方程，根据直线和椭圆相切得，求出直线的常数项，再根据平行线距离公式，计算判断平行线间的距离判断哪条切线离直线 x+ 2y- 9= 0 更近即可.
8．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
如图，因圆的半径为，圆心， 直线，
因为圆上恰有三个点到直线的距离等于1，
等价于圆心到直线的距离等于即可，
圆心到直线的距离，即.
故答案为：B.
【分析】结合图形，将圆上恰有三个点到直线的距离等于1转化为使圆心到直线的距离等于1，根据点到直线距离公式计算，即可求解.
9．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点），
在坐标平面内作出半圆及直线，
圆心，半径，直接整理得：，
圆心到直线距离等于半径，，或，
当时， 切点在第二象限，和上半圆相切，有效，
当时， 切点在第三象限，不在上半圆，舍去，
上半圆右端点，代入，，当时，直线在下方，与上半圆无交点，
故.
故答案为：B.
【分析】根据直线与圆相切，得直线边界位置，结合图像，平行移动直线，观察直线与圆公共点个数，即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】曲线与方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以，化简得，A正确；
对于B，由，得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点，B错误．
对于C，过P作于B，则，，由图知，的最小值即为点A到直线l：的距离，该距离为5，C正确；
对于D，由可得，解得，存在，因此直线是“最远距离直线”，D正确；
故答案为：ACD
【分析】依次分析点的轨迹方程、轨迹与圆的公共点、线段和的最小值以及直线是否为“最远距离直线”.用距离公式推导轨迹方程，结合圆与椭圆的位置关系、椭圆的定义（或几何性质）以及直线与椭圆的交点判断来解决各选项.
11．【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，在利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，减去半径即可.
【解答】
将圆配方为，所以圆心C（2，-3），半径r=2
圆心到直线的距离，
则点到直线距离的最小值是，
故答案为：2．
12．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】两圆方程作差求得公共弦所在直线方程，构造直角三角形，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理及垂径定理即可求解.
【解答】
已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】由正弦定理和椭圆的定义得，即可求解．
【解答】
由椭圆方程得：，，．
三角形顶点和，顶点在椭圆上，
，
由正弦定理可知
故答案为：．
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知，令，则，，当时取最大值，最大值为，
所以，最小值为，
解得，
由椭圆知，，所以，
所以离心率.
故答案为：.
【分析】根据基本不等式及椭圆的定义，将最小值转化为求的最大值，解出a的值，再利用椭圆标准方程求出c，根据离心率定义，即可求解.
15．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，设直线的斜率为，
则，两式相减可得，
因式分解为，
由中点M的坐标为 ，可得，
设斜率，，两边除以，得，解得，又直线过，
所以直线方程为，
故答案为：.
【分析】
设，根据点差法，作差后变形，利用中点坐标公式代入，即可求出直线的斜率，根据点斜式，即可求解.
16．【答案】（1）解：由可得直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即
（2）解：当截距均为时，直线方程为，符合题意，
当截距不为时，不妨设直线方程为，
又直线经过点，故，即，所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）通过两点坐标求直线的斜率，再根据两直线垂直斜率的关系得到直线的斜率，最后结合点斜式求出直线的方程.
（2）分直线在两轴截距都为和截距都不为两种情况，截距不为时设出截距式方程，代入点的坐标求解.
（1）由可得直线的斜率为，
因，故直线的斜率为，
则直线的方程为，即
（2）当截距均为时，直线方程为，符合题意，
当截距不为时，不妨设直线方程为，
又直线经过点，故，即，所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
17．【答案】（1）方程，变形得，
由方程表示圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）由圆，得，此圆圆心，半径为，
又圆的圆心，半径，
由圆与圆相外切，得，即，
所以.
（3）由（2）知，圆的圆心，半径，
由圆的弦长，得圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由，解得，直线的方程为，
所以直线l的方程为或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）化给定方程配方得，利用方程表示圆条件，即可求出范围.
（2）根据两圆相外切，列出方程，求出的值.
（3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类，利用点到直线距离，列方程解出斜率，求出方程即可.
（1）方程，变形得，
由方程表示圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）由圆，得，此圆圆心，半径为，
又圆的圆心，半径，
由圆与圆相外切，得，即，
所以.
（3）由（2）知，圆的圆心，半径，
由圆的弦长，得圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由，解得，直线的方程为，
所以直线l的方程为或.
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出 平面的法向量
利用 计算出直线与平面的夹角的正弦值，再由同角三角函数关系转化为余弦值，即可求解.
（2）利用向量法计算出平面和平面的法向量，两法向量夹角即为两平面夹角，代入计算即可.
【解答】
（1）因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
，
设平面的法向量为，
则，故，
设直线与平面的夹角为，
则，.
（2）由题意，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则.
（1）因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面的夹角为，
则，.
（2）由题意，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则.
19．【答案】（1）解：由题意可得，因为椭圆的离心率，所以，
则，
故椭圆的方程为；
（2）解：因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，
设，联立，消元整理得，
由韦达定理可得：，
由弦长公式得，
点到直线的距离，
故.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用离心率求得c，再根据椭圆中的关系求，即可得椭圆方程；
（2）易知直线方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求，由及点到直线距离求面积即可.
（1）由椭圆的右顶点可得，又，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为.
由得，
设，则，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以.
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