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广东省广州市花都区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．已知空间向量，，若，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】若，则，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求，进而可得结果.
2．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是先将直线方程化为斜截式，求出斜率，再由斜率求出对应的倾斜角。
3．圆的圆心和半径长分别为（　　）
A．，16 B．，4 C．，4 D．，16
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程， 即可得圆心和半径.
【解答】
将配方得，
所以圆心为，半径长为4.
故选：C.
4．若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的长半轴长等于其焦距，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】依题意结合椭圆长半轴长和焦距的定义，从而可得，解方程得出实数a的值.
5．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】以作为基底，根据空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简代入即可求解.
【解答】
因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，所以，
，
，
所以.
故选：A.
6．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆C：的左、右顶点分别为，，所以以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，
所以圆的方程为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，两边平方，整理得，
因为，代入得即，
则椭圆的离心率，
故答案为：A.
【分析】根据椭圆性质得椭圆C的左、右顶点A1，A2 坐标，进而求得以线段A1，A2 为直径的圆方程，利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离，得出a、b、c的关系，再根据离心率定义，即可求解.
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】轨迹方程；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】利用阿波罗尼斯圆定义结合五步法求轨迹的方法，可得点的轨迹方程为，根据两圆圆心距与半径的关系判断两圆相交，可得有2条公切线.
【解答】
由题意设，
因为，所以，即
所以点的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为，半径为1，
所以两圆的圆心距为2，由，
所以动点的轨迹与圆的位置关系是相交.
所以公切线的条数为2.
故选：B
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，设正方体棱长为1，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，因为是中点，所以， 因为点在线段上 ，所以
所以，，所以，
在正方体中，
所以 所以， 同理，又
所以平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
因为，所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以．
故答案为：A．
【分析】先设棱长为1，以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系，写出各点坐标，根据计算点P坐标和向量，再证明平面，写出平面的一个法向量的坐标，利用，即可求解．
9．已知圆，则（　　）
A．点在圆的内部 B．圆的直径为2
C．过点的切线方程为 D．直线与圆相离
【答案】A,C,D
【知识点】圆的切线方程
【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断方法，代入圆方程，即可判断A正确.
利用圆的标准方程，找到半径，即可判断B错误.
根据点与圆的位置关系判断方法，判断点在圆上，利用求切线方法求出切线方程，即可判断C正确.
求出圆心到直线距离，用直线和圆的位置关系判定方法，即可判断D正确.
【解答】
对于A：将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确；
对于B：圆的半径为，所以直径为，故B错误；
对于C：将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，
当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确；
对于D：圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故D正确.
故选：A、C、D.
10．已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（　　）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C． D．的面积的最大值是4
【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【分析】根据方程 求得，进而求得焦距，即可判断A错误.
根据离心率定义求出离心率，即可判定B正确.
根据椭圆的定义，即可判定C错误.
利用椭圆的性质可以求得的面积的最大值，判定D正确.
【解答】
由得，∴，，
所以焦距，，判断A、C错误，B正确
当M为短轴的端点时的面积的取得最大值，S=，
故选：B、D.
11．已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．平面
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解： 如图，建立空间直角坐标系，则.
对于A： ，
所以 ，故A正确；
对于B：，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，即，
又平面，所以平面，故B正确；
对于C：，则，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
对于D：设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
得，所以点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】首先建立空间直角坐标系，写出各点坐标.根据空间向量线性运算坐标公式计算，判断A正确；
先求出平面的一个法向量为，根据线面平行判定证明，即可判断B正确；根据空间向量夹角公式计算，可判断C错误；求平面的一个法向量为，利用，即可判断D正确.
12．椭圆的焦距为2，则　 　．
【答案】3或5
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，
若焦点在轴上，则有，解得；
若焦点在轴上，则有，解得；
综上所述，或．
故答案为：3或5．
【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．
13．圆与圆的公共弦长为　 　．
【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：由圆 与圆 ，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以公共弦长为 .
故答案为： .
【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长.
14．如图，正四面体的长为1，，则　 　．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】根据空间向量基本定理，选为基底，然后表示，利用正四面体的结构特征和向量的数量积公式计算即可.
15．已知空间中三点．
（1）若，求a的值；
（2）若与的夹角为，求a的值.
【答案】（1）因为，所以，
则．
因为，所以，
所以，即，解得或．
（2）由（1）可知，
则，
．
因为与的夹角为，所以，
即，所以，
解得或．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算、数量积的坐标运算，列出方程，即可求解；
（2）根据向量数量积的坐标运算，利用 列方程，即可求解.
（1）因为，所以，
则．
因为，所以，
所以，即，解得或．
（2）由（1）可知，则，
．
因为与的夹角为，所以，
即，所以，
解得或．
16．已知直线和圆．
（1）若直线交圆于，两点，求弦的长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法构造三角形求弦长，即可求解；
（2）分类讨论：当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；
当直线斜率存在时，先设切线方程为，
利用圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程．
【解答】（1）将圆：化成标准方程得，
所以的圆心为，半径，
所以到直线：的距离，
所以；
（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；
②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得：，
所以切线方程为，化简得．
综上所述，所求的直线方程为：或．
（1）将圆：化成标准方程：，
所以的圆心为，半径，
所以到直线：的距离，
所以；
（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；
②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得：，
所以此时切线方程为，化简得．
综上所述，所求的直线方程为：或．
17．已知椭圆的长轴长为，是上一点.
（1）求E的方程；
（2）若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值.
【答案】（1）
（2）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆基本性质及标准方程，代入即可求得的方程.
（2）设出两点坐标，利用点差法求出直线的斜率为，联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程，
写出根与系数关系，利用弦长公式即可求出弦长.
【解答】（1）由 长轴长为 得，将代入椭圆方程可得，
解得，所以E的方程为.
（2）
设，，则，
两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，所以
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
联立方程组，整理得，
则，，
所以.
（1）由题可知，将代入椭圆方程可得，
联立解得，
故E的方程为.
（2）设，，则，
两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，
所以可得直线的斜率为，
即直线的方程为.
联立方程组，整理得，
则，，
所以.
18．如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.
（1）若M 为CE的中点，
(i) 求证：平面；
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.
（2）若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为试确定点M在EC上的位置.
【答案】（1）(i) DA⊥平面 EAB，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，，，，
M 为CE的中点，，N 为BE的中点，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
，，
又平面，
平面；
(ii)
（2）点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；
（1）(i)求出的方向向量和平面法向量，根据线面平行判定定理，即可证明平面；
(ii)根据点到平面距离的向量 公式d= 计算即可求解.
（2）先根据点M是EC上的点(不与端点重合)，利用向量共线的坐标表示得出点M坐标；再求出平面MBD与平面ABD的法向量；最后根据面面所成角的向量公式 计算即可求解.
【解答】
DA⊥平面 EAB，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
（1）(i) ，
则，，，，，
M 为CE的中点，，N 为BE的中点，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
，，
又平面，
平面；
(ii)，平面的法向量为，
点F 到平面MBD的距离为：；
（2）由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，，
，，
点坐标为，
，
设平面MBD的法向量为，
则，即，令，得.
DA⊥平面 EAB ，平面 EAB，
，
又，，平面ABD，平面ABD，
平面ABD，
平面ABD的一个法向量为，
平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为，
，解得或
点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
（1）(i) 略
(ii)，平面的法向量为，
点F 到平面MBD的距离为：；
（2）由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，，
，，
点坐标为，
，
设平面MBD的法向量为，
则，即，令，得.
DA⊥平面 EAB ，平面 EAB，
，
又，，平面ABD，平面ABD，
平面ABD，
平面ABD的一个法向量为，
平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为，
，解得或
点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
19．如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求MN的方程；
（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.
【答案】（1）解：由椭圆过点，焦距为，
可得，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
根据韦达定理可得：，
，解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去，
所以当时，的方程为；
（3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
则
，
即为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求的方程即可；
（3）利用斜率公式，结合韦达定理求的值，即可证明为定值．
（1）由椭圆过点，焦距为，
得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
（3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
1 / 1广东省广州市花都区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷
1．已知空间向量，，若，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
2．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．圆的圆心和半径长分别为（　　）
A．，16 B．，4 C．，4 D．，16
4．若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（　　）
A． B． C． D．
5．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
9．已知圆，则（　　）
A．点在圆的内部 B．圆的直径为2
C．过点的切线方程为 D．直线与圆相离
10．已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（　　）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C． D．的面积的最大值是4
11．已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．平面
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．点到平面的距离为
12．椭圆的焦距为2，则　 　．
13．圆与圆的公共弦长为　 　．
14．如图，正四面体的长为1，，则　 　．
15．已知空间中三点．
（1）若，求a的值；
（2）若与的夹角为，求a的值.
16．已知直线和圆．
（1）若直线交圆于，两点，求弦的长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
17．已知椭圆的长轴长为，是上一点.
（1）求E的方程；
（2）若是上两点，且线段的中点坐标为，求的值.
18．如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.
（1）若M 为CE的中点，
(i) 求证：平面；
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.
（2）若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为试确定点M在EC上的位置.
19．如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求MN的方程；
（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】若，则，解得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求，进而可得结果.
2．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是先将直线方程化为斜截式，求出斜率，再由斜率求出对应的倾斜角。
3．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程， 即可得圆心和半径.
【解答】
将配方得，
所以圆心为，半径长为4.
故选：C.
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的长半轴长等于其焦距，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】依题意结合椭圆长半轴长和焦距的定义，从而可得，解方程得出实数a的值.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】以作为基底，根据空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简代入即可求解.
【解答】
因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，所以，
，
，
所以.
故选：A.
6．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆C：的左、右顶点分别为，，所以以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，
所以圆的方程为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，两边平方，整理得，
因为，代入得即，
则椭圆的离心率，
故答案为：A.
【分析】根据椭圆性质得椭圆C的左、右顶点A1，A2 坐标，进而求得以线段A1，A2 为直径的圆方程，利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离，得出a、b、c的关系，再根据离心率定义，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】轨迹方程；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】利用阿波罗尼斯圆定义结合五步法求轨迹的方法，可得点的轨迹方程为，根据两圆圆心距与半径的关系判断两圆相交，可得有2条公切线.
【解答】
由题意设，
因为，所以，即
所以点的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为，半径为1，
所以两圆的圆心距为2，由，
所以动点的轨迹与圆的位置关系是相交.
所以公切线的条数为2.
故选：B
8．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，设正方体棱长为1，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，因为是中点，所以， 因为点在线段上 ，所以
所以，，所以，
在正方体中，
所以 所以， 同理，又
所以平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
因为，所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以．
故答案为：A．
【分析】先设棱长为1，以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系，写出各点坐标，根据计算点P坐标和向量，再证明平面，写出平面的一个法向量的坐标，利用，即可求解．
9．【答案】A,C,D
【知识点】圆的切线方程
【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断方法，代入圆方程，即可判断A正确.
利用圆的标准方程，找到半径，即可判断B错误.
根据点与圆的位置关系判断方法，判断点在圆上，利用求切线方法求出切线方程，即可判断C正确.
求出圆心到直线距离，用直线和圆的位置关系判定方法，即可判断D正确.
【解答】
对于A：将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确；
对于B：圆的半径为，所以直径为，故B错误；
对于C：将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，
当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确；
对于D：圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故D正确.
故选：A、C、D.
10．【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【分析】根据方程 求得，进而求得焦距，即可判断A错误.
根据离心率定义求出离心率，即可判定B正确.
根据椭圆的定义，即可判定C错误.
利用椭圆的性质可以求得的面积的最大值，判定D正确.
【解答】
由得，∴，，
所以焦距，，判断A、C错误，B正确
当M为短轴的端点时的面积的取得最大值，S=，
故选：B、D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解： 如图，建立空间直角坐标系，则.
对于A： ，
所以 ，故A正确；
对于B：，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，即，
又平面，所以平面，故B正确；
对于C：，则，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
对于D：设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
得，所以点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】首先建立空间直角坐标系，写出各点坐标.根据空间向量线性运算坐标公式计算，判断A正确；
先求出平面的一个法向量为，根据线面平行判定证明，即可判断B正确；根据空间向量夹角公式计算，可判断C错误；求平面的一个法向量为，利用，即可判断D正确.
12．【答案】3或5
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦距为，所以，
若焦点在轴上，则有，解得；
若焦点在轴上，则有，解得；
综上所述，或．
故答案为：3或5．
【分析】由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．
13．【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：由圆 与圆 ，
两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以公共弦长为 .
故答案为： .
【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】根据空间向量基本定理，选为基底，然后表示，利用正四面体的结构特征和向量的数量积公式计算即可.
15．【答案】（1）因为，所以，
则．
因为，所以，
所以，即，解得或．
（2）由（1）可知，
则，
．
因为与的夹角为，所以，
即，所以，
解得或．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算、数量积的坐标运算，列出方程，即可求解；
（2）根据向量数量积的坐标运算，利用 列方程，即可求解.
（1）因为，所以，
则．
因为，所以，
所以，即，解得或．
（2）由（1）可知，则，
．
因为与的夹角为，所以，
即，所以，
解得或．
16．【答案】（1）
（2）或
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法构造三角形求弦长，即可求解；
（2）分类讨论：当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；
当直线斜率存在时，先设切线方程为，
利用圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程．
【解答】（1）将圆：化成标准方程得，
所以的圆心为，半径，
所以到直线：的距离，
所以；
（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；
②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得：，
所以切线方程为，化简得．
综上所述，所求的直线方程为：或．
（1）将圆：化成标准方程：，
所以的圆心为，半径，
所以到直线：的距离，
所以；
（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；
②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得：，
所以此时切线方程为，化简得．
综上所述，所求的直线方程为：或．
17．【答案】（1）
（2）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆基本性质及标准方程，代入即可求得的方程.
（2）设出两点坐标，利用点差法求出直线的斜率为，联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程，
写出根与系数关系，利用弦长公式即可求出弦长.
【解答】（1）由 长轴长为 得，将代入椭圆方程可得，
解得，所以E的方程为.
（2）
设，，则，
两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，所以
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
联立方程组，整理得，
则，，
所以.
（1）由题可知，将代入椭圆方程可得，
联立解得，
故E的方程为.
（2）设，，则，
两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，
所以可得直线的斜率为，
即直线的方程为.
联立方程组，整理得，
则，，
所以.
18．【答案】（1）(i) DA⊥平面 EAB，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，，，，
M 为CE的中点，，N 为BE的中点，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
，，
又平面，
平面；
(ii)
（2）点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；
（1）(i)求出的方向向量和平面法向量，根据线面平行判定定理，即可证明平面；
(ii)根据点到平面距离的向量 公式d= 计算即可求解.
（2）先根据点M是EC上的点(不与端点重合)，利用向量共线的坐标表示得出点M坐标；再求出平面MBD与平面ABD的法向量；最后根据面面所成角的向量公式 计算即可求解.
【解答】
DA⊥平面 EAB，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
（1）(i) ，
则，，，，，
M 为CE的中点，，N 为BE的中点，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
，，
又平面，
平面；
(ii)，平面的法向量为，
点F 到平面MBD的距离为：；
（2）由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，，
，，
点坐标为，
，
设平面MBD的法向量为，
则，即，令，得.
DA⊥平面 EAB ，平面 EAB，
，
又，，平面ABD，平面ABD，
平面ABD，
平面ABD的一个法向量为，
平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为，
，解得或
点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
（1）(i) 略
(ii)，平面的法向量为，
点F 到平面MBD的距离为：；
（2）由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，，
，，
点坐标为，
，
设平面MBD的法向量为，
则，即，令，得.
DA⊥平面 EAB ，平面 EAB，
，
又，，平面ABD，平面ABD，
平面ABD，
平面ABD的一个法向量为，
平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为，
，解得或
点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
19．【答案】（1）解：由椭圆过点，焦距为，
可得，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
根据韦达定理可得：，
，解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去，
所以当时，的方程为；
（3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
则
，
即为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求的方程即可；
（3）利用斜率公式，结合韦达定理求的值，即可证明为定值．
（1）由椭圆过点，焦距为，
得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
（3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
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