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广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷
1．为计算方便，某果园以每筐水果为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．记作“”表示该筐水果的重量是（　　）
A． B． C． D．
2．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．算筹（小木棍）是我国古代的一种计数工具，将算筹正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列算式为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，用虚线所示平面切割一块长方体的铁块，则截面形状是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列判断中错误的是（　　）
A．中，系数是 B．是单项式
C．是多项式 D．是二次三项式
7．数在数轴上的位置如图，化简式子的结果为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（　　）
A． B． C． D．
9．请写出一个其相反数是负数的数为　 　．
10．-1 的倒数是　 　.
11．若，则代数式的值等于　 　．
12．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是　 　．
13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，……．依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，则　 　．
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．先化简，再求值：，其中，．
16．在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示．
（1）画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图；
（2）如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体．
（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？
17．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？
18．清溪学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元．现有，两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一条跳绳；
B网店：足球和跳绳都按定价的付款．
已知该学校要购买足球30个，跳绳条．
（1）若在网店购买，需付款 元，若在网店购买，需付款 元；（用含的代数式表示）
（2）当时，通过计算说明在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，请你设计一种更为省钱的购买方案，并计算需付款多少元？
19．探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；
；
；
；
；
；
；
．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：_____；
（2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）；
（3）若，计算：．
20．远光某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．
【知识准备】
（1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）．
【制作纸盒】
（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子（图⑦为无盖的长方体纸盒，图⑧为有盖的长方体纸盒）
【问题1】根据图⑦方式制作一个无盖的长方体盒子方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则无盖长方体纸盒的体积为______；
【问题2】根据图⑧方式制作一个有盖的长方体纸盒方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则有盖长方体纸盒的体积为______；
【拓展探究】
（3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．
①请直接写出你剪开_______条棱；
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长．请你画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示该筐水果的重量是：，
故选：C．
【分析】本题考查正负数在实际称重场景中的应用，理解正负数表示相反意义的量是解题的核心。题目中以每筐水果的标准质量为基准，超出标准的部分记为正，低于标准的部分记为负，因此记录为负数值即代表实际重量比标准重量少相应数值，用标准质量加上这个差值即可求得该筐水果的实际重量。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据图①示例得，
图②可列算式为：，
故选：C．
【分析】根据图①的示例结合有理数的加减运算列式即可求解。
4．【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：根据题意可知，截面是一个长方形，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用截取长方体及立体几何的特征分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．和不是同类项（指数不同），不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B．，但右边为，故该选项错误，不符合题意；
C．，但右边为，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【分析】本题考查整式的加减运算，涉及同类项识别、合并同类项法则与去括号法则。选项A中与所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并；选项B根据去括号法则，括号前是负号时括号内各项都要变号，应为；选项C合并同类项时系数相减、字母和字母指数保持不变，应为；选项D中两项是同类项，合并系数，得到，运算正确。
6．【答案】A
【知识点】单项式的概念；多项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】∵ 单项式的数字因数是，∴ 系数是，而不是，故A错误． 其他选项：B中是单项式，正确；C中是多项式，正确；D中是二次三项式，正确．
故选A．
【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，涵盖单项式的系数、单项式与多项式的定义、多项式的次数与项数判断。选项A中单项式的系数包含式子中的数字因数以及这类常数项，因此系数为；选项B中单项式的次数为所有字母指数之和，与的指数均为1，次数为2；选项C中由几个单项式的和组成的式子叫做多项式，、、三个单项式相加构成多项式；选项D中可拆分为，最高次项次数为1，是一次二项式，判断错误。
7．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】由数轴可知：，因此：
，故；
，故．
代入式子化简：
故选D．
【分析】本题结合数轴考查绝对值的化简，需要用到数轴上数的大小关系与绝对值的代数意义。根据数轴上点的位置可知，且，由此判断，根据正数的绝对值是它本身得；，根据负数的绝对值是它的相反数得；，得；去掉绝对值符号后合并同类项：，结合数轴进一步验证符号关系化简得到最终结果。
8．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可知，长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和，
设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为，
∴可得，
解得：，
∴块阴影长方形的周长之和为
，
，
故选：．
【分析】本题考查整式加减在图形周长计算中的应用，准确表示两个阴影长方形的长与宽是解题的关键。已知空白长方形的短边长为4，设空白长方形的长边为，由大长方形的长与空白长方形边长的对应关系可得，即。阴影长方形Ⅰ的长为、宽为，阴影长方形Ⅱ的长为、宽为，根据长方形周长公式分别写出两者的周长表达式：与，相加后化简，变量消去得到周长之和。
9．【答案】1（答案不唯一）
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：一个其相反数是负数的数为正数，如1，2，……
故答案为：1（答案不唯一）
【分析】根据相反数的定义结合题意即可求解。
10．【答案】﹣
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：
的倒数是 ，
所以 的倒数是 .
故答案为： .
【分析】首先将带分数化为假分数，然后将其分子、分母交换位置即可.
11．【答案】5
【知识点】添括号法则及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵，
∴．
故答案为5．
【分析】本题考查代数式的整体代入求值，运用整体思想可以简化计算过程。观察所求代数式的结构，将含字母的项提取公因数3，变形为，再把已知的整体代入，计算得。
12．【答案】2
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由第一个和第二个正方体可知，与数字1所在的面相邻的面上数字是3、2、4、6，因此，与数字2所在的面相对的面上的数字是6，
即“6”与“2”相对，
故答案为：2．
【分析】本题考查正方体相对面上的数字推理，利用"相邻的面一定不是对面"的规律解题。从给出的三个视图中可以看到，与数字1相邻的面有2、4、3、6，正方体一个面有4个相邻面，因此排除这四个相邻数字后，数字1对面只能是5；再结合视图中数字4与2、1、3、5相邻，可推知数字4对面是6，即数字6的对面是4。
13．【答案】506
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：因为第①个图案有4个三角形和1个正方形，
第②个图案有7个三角形和2个正方形，
第③个图案有10个三角形和3个正方形，
…
依此类推可得：第n个图案中正三角形和正方形的个数之和：，
由第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查图形的变化规律与一元一次方程的应用。观察前三个图案，第个图案中正三角形的个数为（每增加一个图案三角形增加3个），正方形的个数为，将两者相加得到图形总个数为，根据总个数为2025列出方程，解得。
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；

（3）解：
；

（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用加法交换律和结合律解答；
（2）根据乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方，然后把除法化为乘法约分即可；
（4）先算乘方，然后运算括号内的减法，再算乘除，最后算加减解题．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．【答案】解：原式
当，时，
原式
=2+3
=5．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查了整式的加减运算中的化简求值，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项，化简得到，将，代入化简后的代数式，进行计算，即可得到答案.
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）
（3）解：小正方体棱长为，每个面面积为，计算暴露面：
前面/后面：各看到个面，共个；
左面/右面：各看到个面，共个；
上面：看到个面；
接触面（底面）不喷漆，故总面积为.

【知识点】由三视图判断小正方体的个数；小正方体组合体的三视图；小正方体组合体的表面积
【解析】【解答】（2）保持左视图和俯视图不变，如图所示：
最多添加3．
【分析】（1）利用三视图的定义及作图方法作出图形即可；（2）利用三视图的定义并结合图形分析求解即可；（3）利用几何体的表面积的计算方法列出算式求解即可.
（1）
（2）保持左视图和俯视图不变，如图所示：
最多添加3．
（3）小正方体棱长为，每个面面积为，计算暴露面：
前面/后面：各看到个面，共个；
左面/右面：各看到个面，共个；
上面：看到个面；
接触面（底面）不喷漆，故总面积为
17．【答案】（1）由题意可得数轴如下：

（2）解：由（1）中数轴可得：小彬家与学校的距离为；
答：小彬家与学校之间的距离为．
（3）解：由题意得：
（分）；
答：小明跑步一共用了40分钟．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数除法的实际应用
【解析】【分析】本题结合实际行程问题考查数轴的应用、数轴上两点间的距离以及有理数运算的实际应用。
（1）以小明家为原点，向东为正方向，小彬家在东边2 km处对应数轴上的点2，小红家在东边3.5 km处对应点3.5，学校在小红家西边4.5 km处即，对应点 1，在数轴上标出A、B、C三点即可；
（2）求小彬家与学校之间的距离，用数轴上两点对应的数值相减取绝对值， km；
（3）先计算小明跑步的总路程：从家到小彬家2 km、到小红家1.5 km、到学校4.5 km、从学校回家1 km，总路程为 km即9000米，再根据"时间=路程÷速度"计算，分钟。
（1）略
（2）解：由（1）中数轴可得：小彬家与学校的距离为；
答：小彬家与学校之间的距离为．
（3）解：由题意得：
（分）；
答：小明跑步一共用了40分钟．
18．【答案】（1），
（2）解：当时，
A网店付费：（元），
网店付费：（元），
∵，
∴到A网店购买较为合算．
（3）解：可以到A网店购买30个足球，这样可以赠送30条跳绳，然后到网店购买100-30=70条跳绳，需付款：（元），
且，
∴设计一种更为省钱的方案为：到A网店购买30个足球（赠送30条跳绳），再到网店购买70条跳绳，此时需付款4260元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：在A网店购买，总费用为元；
在B网店的购买，总费用为元；
故答案为：（1），．
【分析】（1）结合A和B网店购买的优惠方案，分别列出购买的关系式，化简计算即可；
（2）结合（1）的计算结果，将分别代入A店、B店的付款表达式，最后将计算结果比较即可；
（3）因为A店是买一个足球送跳绳，所以可以在A店买30个足球，剩下的70条跳绳在B店购买，此时即可列出付款公式，计算后对比即可．
（1）解：由A网店的优惠方案是：
买30个足球，x条跳绳()的总费用为元；
由B网店的优惠方案是：
买30个足球，x条跳绳的总费用为：元；
故答案为：，．
（2）解：当时，A网店付费：（元），
网店付费：（元），
∵，
∴到A网店购买较为合算．
（3）解：可以到A网店购买30个足球（赠送30条跳绳），再到网店购买70条跳绳，
需付款：（元），
且，
∴设计一种更为省钱的方案为：到A网店购买30个足球（赠送30条跳绳），再到网店购买70条跳绳，此时需付款4260元．
19．【答案】（1）
（2）解：
=
；
（3）∵，∴，
∴，，
∴，，
∴
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】（1）解：
，
故答案为：；
【分析】本题定义了新的"※"运算，考查有理数运算规律的探究与应用，以及分式的裂项求和。
（1）观察给出的所有算式，两个非零数进行※运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加，如、；0和任何数进行※运算时，结果都等于这个数的绝对值，如；
（2）根据有理数的运算顺序先算括号内的，根据0与任何数※运算等于该数绝对值得，再计算，同号得正并把绝对值相加得；
（3）根据※运算的法则，说明两个数的绝对值之和为0，即，由绝对值的非负性得且，即、，代入分式后每一项形如，利用裂项相消拆分后中间项相互抵消，最终结果为。
（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
=
；
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴
．
20．【答案】（1）①⑤⑥；（2）问题1：；问题2：．
（3）①7 ②最小周长为25
画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据如下：

【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-整体代入求值；正方体的几种展开图的识别；已知展开图进行几何体的相关的计算；长方体纸盒的制作
【解析】【解答】解：（1）②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误；
③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合，
④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误；
故答案为：①⑤⑥；
（2）问题1：无盖盒子的体积为：；
故答案为：；
问题2：有盖盒子的长：，宽为：，高为：，
有盖盒子的体积为：．
故答案为：．
（3）①如图，长方体共有12条棱，展开后还有5条棱没有剪开，所以剪开了7条棱，
故答案为：7．
②设长方体长为a，宽为b，高为c，则长方体形盒子展开图的周长，
想要周长最小，只需要b最大，c最小，此时，则最小周长为25．
【分析】本题考查正方体与长方体的表面展开图、长方体体积计算以及展开图周长最值问题，综合性较强。
（1）判断正方体的表面展开图，依据正方体展开图包含6个正方形且不存在"田"字格、面重合等错误结构的特征，据此筛选出正确的序号；
（2）问题1：制作无盖长方体纸盒时，剪去四个边长为5 cm的小正方形后，底面正方形的边长为原纸板边长减去两个小正方形的边长，即 cm，纸盒的高就是小正方形的边长5 cm，代入长方体体积公式；问题2：制作有盖长方体纸盒时，剪去两个小正方形和两个小长方形后，底面的长为 cm、宽为原纸板对折后的 cm，高为5 cm，体积为；
（3）①长方体共有12条棱，展开成一个平面图形后，面与面之间还会有5条棱保持相连，因此需要剪开条棱；②要使展开图的外围周长最小，需要让展开图中尽量多的长边重合在内部、短边外露在外围，根据长方体的长2.5、宽2、高1.5推导出展开图外围周长的表达式，代入数值计算出最小周长，再画出对应的展开图并标注各边数据。
1 / 1广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）海德学校2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷
1．为计算方便，某果园以每筐水果为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．记作“”表示该筐水果的重量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示该筐水果的重量是：，
故选：C．
【分析】本题考查正负数在实际称重场景中的应用，理解正负数表示相反意义的量是解题的核心。题目中以每筐水果的标准质量为基准，超出标准的部分记为正，低于标准的部分记为负，因此记录为负数值即代表实际重量比标准重量少相应数值，用标准质量加上这个差值即可求得该筐水果的实际重量。
2．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．算筹（小木棍）是我国古代的一种计数工具，将算筹正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列算式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：根据图①示例得，
图②可列算式为：，
故选：C．
【分析】根据图①的示例结合有理数的加减运算列式即可求解。
4．如图，用虚线所示平面切割一块长方体的铁块，则截面形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：根据题意可知，截面是一个长方形，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用截取长方体及立体几何的特征分析求解即可.
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．和不是同类项（指数不同），不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B．，但右边为，故该选项错误，不符合题意；
C．，但右边为，故该选项错误，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【分析】本题考查整式的加减运算，涉及同类项识别、合并同类项法则与去括号法则。选项A中与所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并；选项B根据去括号法则，括号前是负号时括号内各项都要变号，应为；选项C合并同类项时系数相减、字母和字母指数保持不变，应为；选项D中两项是同类项，合并系数，得到，运算正确。
6．下列判断中错误的是（　　）
A．中，系数是 B．是单项式
C．是多项式 D．是二次三项式
【答案】A
【知识点】单项式的概念；多项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】∵ 单项式的数字因数是，∴ 系数是，而不是，故A错误． 其他选项：B中是单项式，正确；C中是多项式，正确；D中是二次三项式，正确．
故选A．
【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，涵盖单项式的系数、单项式与多项式的定义、多项式的次数与项数判断。选项A中单项式的系数包含式子中的数字因数以及这类常数项，因此系数为；选项B中单项式的次数为所有字母指数之和，与的指数均为1，次数为2；选项C中由几个单项式的和组成的式子叫做多项式，、、三个单项式相加构成多项式；选项D中可拆分为，最高次项次数为1，是一次二项式，判断错误。
7．数在数轴上的位置如图，化简式子的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】由数轴可知：，因此：
，故；
，故．
代入式子化简：
故选D．
【分析】本题结合数轴考查绝对值的化简，需要用到数轴上数的大小关系与绝对值的代数意义。根据数轴上点的位置可知，且，由此判断，根据正数的绝对值是它本身得；，根据负数的绝对值是它的相反数得；，得；去掉绝对值符号后合并同类项：，结合数轴进一步验证符号关系化简得到最终结果。
8．如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可知，长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和，
设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为，
∴可得，
解得：，
∴块阴影长方形的周长之和为
，
，
故选：．
【分析】本题考查整式加减在图形周长计算中的应用，准确表示两个阴影长方形的长与宽是解题的关键。已知空白长方形的短边长为4，设空白长方形的长边为，由大长方形的长与空白长方形边长的对应关系可得，即。阴影长方形Ⅰ的长为、宽为，阴影长方形Ⅱ的长为、宽为，根据长方形周长公式分别写出两者的周长表达式：与，相加后化简，变量消去得到周长之和。
9．请写出一个其相反数是负数的数为　 　．
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：一个其相反数是负数的数为正数，如1，2，……
故答案为：1（答案不唯一）
【分析】根据相反数的定义结合题意即可求解。
10．-1 的倒数是　 　.
【答案】﹣
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：
的倒数是 ，
所以 的倒数是 .
故答案为： .
【分析】首先将带分数化为假分数，然后将其分子、分母交换位置即可.
11．若，则代数式的值等于　 　．
【答案】5
【知识点】添括号法则及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵，
∴．
故答案为5．
【分析】本题考查代数式的整体代入求值，运用整体思想可以简化计算过程。观察所求代数式的结构，将含字母的项提取公因数3，变形为，再把已知的整体代入，计算得。
12．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是　 　．
【答案】2
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由第一个和第二个正方体可知，与数字1所在的面相邻的面上数字是3、2、4、6，因此，与数字2所在的面相对的面上的数字是6，
即“6”与“2”相对，
故答案为：2．
【分析】本题考查正方体相对面上的数字推理，利用"相邻的面一定不是对面"的规律解题。从给出的三个视图中可以看到，与数字1相邻的面有2、4、3、6，正方体一个面有4个相邻面，因此排除这四个相邻数字后，数字1对面只能是5；再结合视图中数字4与2、1、3、5相邻，可推知数字4对面是6，即数字6的对面是4。
13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，……．依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，则　 　．
【答案】506
【知识点】一元一次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：因为第①个图案有4个三角形和1个正方形，
第②个图案有7个三角形和2个正方形，
第③个图案有10个三角形和3个正方形，
…
依此类推可得：第n个图案中正三角形和正方形的个数之和：，
由第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查图形的变化规律与一元一次方程的应用。观察前三个图案，第个图案中正三角形的个数为（每增加一个图案三角形增加3个），正方形的个数为，将两者相加得到图形总个数为，根据总个数为2025列出方程，解得。
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；

（3）解：
；

（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用加法交换律和结合律解答；
（2）根据乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方，然后把除法化为乘法约分即可；
（4）先算乘方，然后运算括号内的减法，再算乘除，最后算加减解题．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
当，时，
原式
=2+3
=5．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查了整式的加减运算中的化简求值，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项，化简得到，将，代入化简后的代数式，进行计算，即可得到答案.
16．在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示．
（1）画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图；
（2）如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体．
（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？
【答案】（1）解：如图所示：
（2）
（3）解：小正方体棱长为，每个面面积为，计算暴露面：
前面/后面：各看到个面，共个；
左面/右面：各看到个面，共个；
上面：看到个面；
接触面（底面）不喷漆，故总面积为.

【知识点】由三视图判断小正方体的个数；小正方体组合体的三视图；小正方体组合体的表面积
【解析】【解答】（2）保持左视图和俯视图不变，如图所示：
最多添加3．
【分析】（1）利用三视图的定义及作图方法作出图形即可；（2）利用三视图的定义并结合图形分析求解即可；（3）利用几何体的表面积的计算方法列出算式求解即可.
（1）
（2）保持左视图和俯视图不变，如图所示：
最多添加3．
（3）小正方体棱长为，每个面面积为，计算暴露面：
前面/后面：各看到个面，共个；
左面/右面：各看到个面，共个；
上面：看到个面；
接触面（底面）不喷漆，故总面积为
17．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？
【答案】（1）由题意可得数轴如下：

（2）解：由（1）中数轴可得：小彬家与学校的距离为；
答：小彬家与学校之间的距离为．
（3）解：由题意得：
（分）；
答：小明跑步一共用了40分钟．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数除法的实际应用
【解析】【分析】本题结合实际行程问题考查数轴的应用、数轴上两点间的距离以及有理数运算的实际应用。
（1）以小明家为原点，向东为正方向，小彬家在东边2 km处对应数轴上的点2，小红家在东边3.5 km处对应点3.5，学校在小红家西边4.5 km处即，对应点 1，在数轴上标出A、B、C三点即可；
（2）求小彬家与学校之间的距离，用数轴上两点对应的数值相减取绝对值， km；
（3）先计算小明跑步的总路程：从家到小彬家2 km、到小红家1.5 km、到学校4.5 km、从学校回家1 km，总路程为 km即9000米，再根据"时间=路程÷速度"计算，分钟。
（1）略
（2）解：由（1）中数轴可得：小彬家与学校的距离为；
答：小彬家与学校之间的距离为．
（3）解：由题意得：
（分）；
答：小明跑步一共用了40分钟．
18．清溪学校为适应新中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元．现有，两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一条跳绳；
B网店：足球和跳绳都按定价的付款．
已知该学校要购买足球30个，跳绳条．
（1）若在网店购买，需付款 元，若在网店购买，需付款 元；（用含的代数式表示）
（2）当时，通过计算说明在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，请你设计一种更为省钱的购买方案，并计算需付款多少元？
【答案】（1），
（2）解：当时，
A网店付费：（元），
网店付费：（元），
∵，
∴到A网店购买较为合算．
（3）解：可以到A网店购买30个足球，这样可以赠送30条跳绳，然后到网店购买100-30=70条跳绳，需付款：（元），
且，
∴设计一种更为省钱的方案为：到A网店购买30个足球（赠送30条跳绳），再到网店购买70条跳绳，此时需付款4260元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：在A网店购买，总费用为元；
在B网店的购买，总费用为元；
故答案为：（1），．
【分析】（1）结合A和B网店购买的优惠方案，分别列出购买的关系式，化简计算即可；
（2）结合（1）的计算结果，将分别代入A店、B店的付款表达式，最后将计算结果比较即可；
（3）因为A店是买一个足球送跳绳，所以可以在A店买30个足球，剩下的70条跳绳在B店购买，此时即可列出付款公式，计算后对比即可．
（1）解：由A网店的优惠方案是：
买30个足球，x条跳绳()的总费用为元；
由B网店的优惠方案是：
买30个足球，x条跳绳的总费用为：元；
故答案为：，．
（2）解：当时，A网店付费：（元），
网店付费：（元），
∵，
∴到A网店购买较为合算．
（3）解：可以到A网店购买30个足球（赠送30条跳绳），再到网店购买70条跳绳，
需付款：（元），
且，
∴设计一种更为省钱的方案为：到A网店购买30个足球（赠送30条跳绳），再到网店购买70条跳绳，此时需付款4260元．
19．探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；
；
；
；
；
；
；
．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：_____；
（2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）；
（3）若，计算：．
【答案】（1）
（2）解：
=
；
（3）∵，∴，
∴，，
∴，，
∴
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】（1）解：
，
故答案为：；
【分析】本题定义了新的"※"运算，考查有理数运算规律的探究与应用，以及分式的裂项求和。
（1）观察给出的所有算式，两个非零数进行※运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加，如、；0和任何数进行※运算时，结果都等于这个数的绝对值，如；
（2）根据有理数的运算顺序先算括号内的，根据0与任何数※运算等于该数绝对值得，再计算，同号得正并把绝对值相加得；
（3）根据※运算的法则，说明两个数的绝对值之和为0，即，由绝对值的非负性得且，即、，代入分式后每一项形如，利用裂项相消拆分后中间项相互抵消，最终结果为。
（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
=
；
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴
．
20．远光某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动．
【知识准备】
（1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）．
【制作纸盒】
（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子（图⑦为无盖的长方体纸盒，图⑧为有盖的长方体纸盒）
【问题1】根据图⑦方式制作一个无盖的长方体盒子方法：先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则无盖长方体纸盒的体积为______；
【问题2】根据图⑧方式制作一个有盖的长方体纸盒方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则有盖长方体纸盒的体积为______；
【拓展探究】
（3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．
①请直接写出你剪开_______条棱；
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长．请你画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据．
【答案】（1）①⑤⑥；（2）问题1：；问题2：．
（3）①7 ②最小周长为25
画出外围周长最小时该长方体形盒子表面展开图并标上相应的数据如下：

【知识点】有理数混合运算的实际应用；求代数式的值-整体代入求值；正方体的几种展开图的识别；已知展开图进行几何体的相关的计算；长方体纸盒的制作
【解析】【解答】解：（1）②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误；
③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合，
④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误；
故答案为：①⑤⑥；
（2）问题1：无盖盒子的体积为：；
故答案为：；
问题2：有盖盒子的长：，宽为：，高为：，
有盖盒子的体积为：．
故答案为：．
（3）①如图，长方体共有12条棱，展开后还有5条棱没有剪开，所以剪开了7条棱，
故答案为：7．
②设长方体长为a，宽为b，高为c，则长方体形盒子展开图的周长，
想要周长最小，只需要b最大，c最小，此时，则最小周长为25．
【分析】本题考查正方体与长方体的表面展开图、长方体体积计算以及展开图周长最值问题，综合性较强。
（1）判断正方体的表面展开图，依据正方体展开图包含6个正方形且不存在"田"字格、面重合等错误结构的特征，据此筛选出正确的序号；
（2）问题1：制作无盖长方体纸盒时，剪去四个边长为5 cm的小正方形后，底面正方形的边长为原纸板边长减去两个小正方形的边长，即 cm，纸盒的高就是小正方形的边长5 cm，代入长方体体积公式；问题2：制作有盖长方体纸盒时，剪去两个小正方形和两个小长方形后，底面的长为 cm、宽为原纸板对折后的 cm，高为5 cm，体积为；
（3）①长方体共有12条棱，展开成一个平面图形后，面与面之间还会有5条棱保持相连，因此需要剪开条棱；②要使展开图的外围周长最小，需要让展开图中尽量多的长边重合在内部、短边外露在外围，根据长方体的长2.5、宽2、高1.5推导出展开图外围周长的表达式，代入数值计算出最小周长，再画出对应的展开图并标注各边数据。
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