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广东省东莞市南城区御花苑外国语学校2025--2026学年上学期期中考试八年级数学试卷
1．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D都不是轴对称图形，故不符合题意；
B是轴对称图形，故符合题意．
故选：B．
【分析】本题围绕轴对称图形的概念进行判断，核心是掌握轴对称图形的判定标准。轴对称图形指的是在平面内，存在一条直线，图形沿该直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。对四个选项依次排查，A、C、D对应的图形都不存在符合要求的直线，因此不满足轴对称图形的条件；B对应的图形存在符合条件的对称轴，因此是轴对称图形。
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3=5，
∴2，3，5不能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵4+6<12，
∴4，6，12不能组成三角形，故B不符合题意；
C、∵3+3=6，
∴3，3，6不能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵8+8>15，
∴8，8，15能组成三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由较小的两个数的和是否大于第三个数，逐项进行判断即可.
3．已知点A的坐标为，则点A关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得：点A关于x轴对称的点的坐标为；
故选A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律。关于x轴对称的两个点，其横坐标保持相同，纵坐标互为相反数。已知点A的坐标为（-2，3），按照该规律保持横坐标数值-2不变，将原纵坐标3取相反数得到-3，就能得到对称点的坐标为（-2，-3），由此可得出对应选项。
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：四个选项对应的图形中，只有D选项中线段BE是△ABC的高．
故答案为：D
【分析】三角形的高，是从一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线段，垂足与顶点之间的线段。据此即可选出答案。
5．如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
根据图形发现：三角形未遮挡部分满足“角边角”，根据全等三角形的判定，小明所画的三角形与原来三角形全等，
∴这两个三角形全等的依据.
故答案为：．
【分析】根据图形发现，三角形未遮挡部分满足“角边角”，即可得答案.
6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，
，．
是的外角，是的外角，
，，
．
故选：B
【分析】根据角平分线的定义得到，
，再根据三角形的外角得到
，，进而进行角的运算即可求解。
7．如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边中点，
，
，
∵F是的中点，
∴，
，
的面积等于
∴
故选：A．
【分析】先根据三角形的中线得到，则，进而得到，再等量代换即可求解。
8．如图，，点E在线段上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B==70°，
∴∠AED=70°，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，推得∠1=∠BAE=40°，根据等边对等角和三角形内角和是180°即可求解.
9．如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
由图可知，，，，
，
，
，
，
则图中应减少，
故选：A．
【分析】本题考查三角形内角和定理与三角形外角性质的综合应用，解题时通过延长EF交BD于点G构建外角关系。先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠CAB和∠CBA的度数，算出∠ACB的度数，由对顶角相等得到∠ECG的度数。再根据三角形外角的性质，△CEG的外角∠DGF等于∠E与∠ECG的和，代入数值算出∠DGF的度数。接着在△DGF中，∠EFD是它的外角，同样根据外角性质，∠EFD等于∠D与∠DGF的和，因此用∠EFD减去∠DGF就能得到调整后∠D的度数，最后和原来的∠D度数作差，即可得到减少的度数。
10．如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵为的角平分线，∴，
又∵，，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵，
∴，
∵，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
故②正确，符合题意；
③∵，，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，过点作，交的延长线于点，
∵为的角平分线，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由③得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
综上，正确选项为①②③④，
故答案为：A．
【分析】①可以先结合题目已知条件，证明，以此为基础推导结论；
②结合等边对等角的性质、对顶角的特点，再加上①中已经证得的全等三角形的对应性质，就可以计算得到要求的角度；
③结合前面推导得到的边角关系，找到相等的内错角，再根据等角对等边的性质，就可以推导出对应的边平行的结论；
④过点作，与的延长线交于点，先证明，再证明，即可得到对应边相等，最后结合线段的和差关系，就能推导出最终要证的结论．
11．如图，自行车的车身为三角形结构，这样做根据的数学道理是　 　.
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有稳定性.
故填：三角形具有稳定性.
【分析】根据三角形具有稳定性即可求解.
12．等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，由，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，由，能构成三角形，则其周长．
故答案为：22．
【分析】根据等腰三角形的性质分：①当腰长为4时，②当腰长为9时，进而根据三角形的三边关系即可求解。
13．如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为点．若，则的周长为　 　．
【答案】24
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，
∵为的中点，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】本题考查等边三角形的性质与含30°角的直角三角形的性质。首先△ABC是等边三角形，因此三个内角都是60°，即∠A=60°。DE垂直AC，所以△ADE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠ADE=30°。在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此斜边AD的长度是AE的2倍，代入AE=2算出AD=4。又因为D是AB中点，所以AB长度是AD的2倍，即AB=8，等边三角形周长是边长的3倍，故周长为24。
14．如图，的周长是14，、分别平分和，于，且，则的面积是　 　．
【答案】21
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过作于，于，
，分别平分和，，，
，，
的周长是14，
，
的面积
．
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积的计算，解题的关键是利用角平分线的性质得到三条垂线段长度相等。连接OA，过O分别作AB、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，OB平分∠ABC则O到AB的距离等于OD，OC平分∠ACB则O到AC的距离等于OD，因此O到三角形三边的距离都等于3。△ABC的面积可以拆分成△ABO、△BCO、△ACO三个三角形的面积之和，三个三角形的高都是3，底分别是AB、BC、AC，提取公因式后面积等于，代入周长AB+BC+AC=14，得面积为21。
15．如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为　 　．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则
，的面积分别为和，
正方形，，，
同理可得：
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的 AAS 判定以及三角形面积的计算。通过作多条垂线构造直角三角形，利用正方形边长相等、四个内角均为直角的性质，可证得两组直角三角形分别全等，从而得到阴影部分两个直角三角形的直角边长度。已知正方形 、 的面积，由正方形面积公式可求出其边长分别为 5 和 3，结合全等三角形对应边相等，可知两个阴影直角三角形的两条直角边分别为 5 和 3；分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到阴影部分的总面积。
16．如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
即，
，
，
在和中，
，
（2）解：，，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据题意进行线段的运算得到，进而根据平行线的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）根据题意进行角的运算即可求解。
（1）证明：，
即，
，
，
在和中，
，
（2）解：，，
．
17．如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：．
【答案】证明：是边的中点，，
又，，
，
又∵，
∴，
在和中，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据中点得到，再根据垂直得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到．
18．如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件：
（1）附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）．
（2）点到两条道路的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）．
（3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置．
【答案】（1）垂直平分线
（2）角平分线
（3）解：如图为所求点P，
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用
【解析】【解答】（1）解：∵智能垃圾分类投放点P到两栋住宅楼A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知投放点P应在A、B连线的垂直平分线上.
故答案为：垂直平分线；
（2）解：∵点P到两条道路OM、ON的距离相等，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知投放点P在∠MON的角平分线上，
故答案为：角平分线；
（3）解：结合前面两问的结论，同时满足两个条件的点就是垂直平分线和角平分线的交点，作图后点P即为符合要求的位置.
【分析】（1）本题根据线段垂直平分线的性质，即可得到结论；
（2）本题根据角平分线的性质，即可得到结论；
（3）本题考查垂直平分线与角平分线尺规作图，分别作出线段AB的垂直平分线EF和∠MON的角平分线OT，射线OT与直线EF的交点即为所求的点P.
（1）解：附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出垂直平分线，
故答案为：垂直平分线；
（2）解：点到两条道路的距离相等，需要作出角平分线，
故答案为：角平分线；
（3）解：如图所示，点即为所求．
19．在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，．
（1）作关于y轴对称的图形；
（2）写出顶点坐标；
（3）如果与全等，则请直接写出点D坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵与关于y轴对称，，，∴，．
（3）或或
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定：
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵与关于y轴对称，，，
∴，．
（3）解：如图所示，点即为所求．
20．如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，连接．
（1）若，，求的度数．
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）解：∵垂直平分，∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵垂直平分，∴，
∴的周长
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质结合题意进行角的运算即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，进而结合三角形的周长等量代换即可求解。
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长
．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒．
（1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP= 厘米，CQ= 厘米；
（2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米，求t的值；
（3）当为多少时，△ABP与△ACQ全等？
【答案】（1），；
解：（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，AD⊥BC，
∴AD=BD=CD=6cm，
∵△ABP的面积为24cm2，∴，
∴BP=8，
∴12-2t=8，
∴t=2；
（3）如图2，当点Q向上运动时，
∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=45°，
∴点P在线段CB上，
∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ，
∴12-2t=t，
∴t=4；
如图3，当点Q向下运动时，
∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=135°，
∴点P在线段CB的延长线上，
∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ，
∴2t-12=t，
∴t=12；
综上所述：当t=4或12时，△ABP与△ACQ全等．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：CP=2tcm，CQ=tcm，
故答案为：2t，t；
【分析】（1）根据路程=速度×时间列代数式即可；
（2）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=CD=6cm，再根据三角形的面积公式解答即可；
（3）分点Q向上运动或点Q向下运动两种情况，根据全等三角形条件BP=CQ，列方程解答即可．
22．【综合与实践】【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中，．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形.请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了点A的坐标为，点B的坐标为．小明猜测，为斜边作等腰，则直角顶点C可能与宝藏有关．请你再次帮助小明，直接给出点C的坐标．
【答案】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（2）作轴，则，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）由题意得点C在下方时在x轴上，作轴，则，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
同（2）理可证：，
∴，
∴，
∴；
同理可得点C在上方时，，
∴，
综上所述：或.
【分析】（1）本题考查"一线三垂直"模型下的全等三角形证明，核心是利用同角的余角相等推导角相等。由AD和BE都垂直于DE，可得∠D和∠E都是90°，结合∠ACB=90°，可推出∠ACD与∠DAC互余，同时∠ACD与∠BCE互余，根据同角的余角相等得到∠DAC=∠BCE。再结合AC=BC，用AAS判定定理证明△ACD≌△CBE，由全等三角形对应边相等，即可得到AD=CE、CD=BE。
（2）本题考查全等三角形在平面直角坐标系中的应用，借鉴（1）的模型，过点B作x轴的垂线，构造出与△AOC全等的直角三角形。通过证明两个三角形全等，得到对应边的长度，再结合点C的坐标，通过线段和差算出点B的横、纵坐标，即B(3，2)。
（3）本题考查等腰直角三角形存在性问题，需要分点C在AB下方和点C在AB上方两种情况，每种情况都通过构造"一线三垂直"的全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合A(0，3)、B(4，1)两点的坐标，分别计算出点C的横、纵坐标，得到两个符合条件的点C(1，0)和C(3，4)。
23．综合与探究：问题情景：如图所示，已知，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点．
（1）（探究一）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由；
（2）（探究二）小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，如图所示，即可得，符合题意吗？请说明理由；
（3）（探究三）小刚在（2）的基础上，连接，如图所示，若，，求的面积．
【答案】（1）证明：如图1中，
，
，
，
；
（2）结论：符合题意．
理由：如图2中，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，

（3）延长交与点，则，
是的中点，
，
在和中，
，
．
是的中线，
，又，
则，
的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）本题考查同角的余角相等的应用，由CE垂直AD可得∠AMC=90°，因此△ACM中∠CAD与∠ACM互余；又因为∠ACB=90°，所以∠BCE与∠ACM也互余，根据同角的余角相等，即可推出∠BCE=∠CAD。
（2）本题考查全等三角形的判定与性质，结论成立。首先由CN平分∠ACB，∠ACB=90°，可得∠ACN=45°；再由AC=BC，△ABC是等腰直角三角形，可得∠B=45°，因此∠ACN=∠B。结合（1）中得到的∠CAN=∠BCE，以及AC=CB，根据ASA判定定理可证明△ACN≌△CBE，由全等三角形对应边相等，即可得到CN=BE。
（3）本题考查全等三角形的性质与三角形面积的转化，延长CN交AB于点H，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AH=2。由AD是中线可得CD=DB，结合（2）中的CN=BE，以及∠DCN=∠B=45°，根据SAS判定△CND≌△BED，两个三角形面积相等。再结合AD是中线，△ACD和△ABD面积相等，通过面积的等量代换，可得△ADE的面积等于△ACN的面积，△ACN以CN为底、AH为高，代入数值用三角形面积公式计算，即。
（1）略
（2）略
（3）延长交与点，则，
是的中点，
，
在和中，
，
．
是的中线，
，又，
则，
的面积为．
1 / 1广东省东莞市南城区御花苑外国语学校2025--2026学年上学期期中考试八年级数学试卷
1．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知点A的坐标为，则点A关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，，点E在线段上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（　　）
A． B． C． D．
10．如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，自行车的车身为三角形结构，这样做根据的数学道理是　 　.
12．等腰三角形的两边分别4和9，则这个等腰三角形的周长为　 　．
13．如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为点．若，则的周长为　 　．
14．如图，的周长是14，、分别平分和，于，且，则的面积是　 　．
15．如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为　 　．
16．如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
17．如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：．
18．如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件：
（1）附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）．
（2）点到两条道路的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）．
（3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置．
19．在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，．
（1）作关于y轴对称的图形；
（2）写出顶点坐标；
（3）如果与全等，则请直接写出点D坐标．
20．如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，连接．
（1）若，，求的度数．
（2）若，，求的周长．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒．
（1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP= 厘米，CQ= 厘米；
（2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米，求t的值；
（3）当为多少时，△ABP与△ACQ全等？
22．【综合与实践】【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中，．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形.请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了点A的坐标为，点B的坐标为．小明猜测，为斜边作等腰，则直角顶点C可能与宝藏有关．请你再次帮助小明，直接给出点C的坐标．
23．综合与探究：问题情景：如图所示，已知，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点．
（1）（探究一）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由；
（2）（探究二）小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，如图所示，即可得，符合题意吗？请说明理由；
（3）（探究三）小刚在（2）的基础上，连接，如图所示，若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D都不是轴对称图形，故不符合题意；
B是轴对称图形，故符合题意．
故选：B．
【分析】本题围绕轴对称图形的概念进行判断，核心是掌握轴对称图形的判定标准。轴对称图形指的是在平面内，存在一条直线，图形沿该直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。对四个选项依次排查，A、C、D对应的图形都不存在符合要求的直线，因此不满足轴对称图形的条件；B对应的图形存在符合条件的对称轴，因此是轴对称图形。
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3=5，
∴2，3，5不能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵4+6<12，
∴4，6，12不能组成三角形，故B不符合题意；
C、∵3+3=6，
∴3，3，6不能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵8+8>15，
∴8，8，15能组成三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由较小的两个数的和是否大于第三个数，逐项进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得：点A关于x轴对称的点的坐标为；
故选A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律。关于x轴对称的两个点，其横坐标保持相同，纵坐标互为相反数。已知点A的坐标为（-2，3），按照该规律保持横坐标数值-2不变，将原纵坐标3取相反数得到-3，就能得到对称点的坐标为（-2，-3），由此可得出对应选项。
4．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：四个选项对应的图形中，只有D选项中线段BE是△ABC的高．
故答案为：D
【分析】三角形的高，是从一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线段，垂足与顶点之间的线段。据此即可选出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
根据图形发现：三角形未遮挡部分满足“角边角”，根据全等三角形的判定，小明所画的三角形与原来三角形全等，
∴这两个三角形全等的依据.
故答案为：．
【分析】根据图形发现，三角形未遮挡部分满足“角边角”，即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，
，．
是的外角，是的外角，
，，
．
故选：B
【分析】根据角平分线的定义得到，
，再根据三角形的外角得到
，，进而进行角的运算即可求解。
7．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边中点，
，
，
∵F是的中点，
∴，
，
的面积等于
∴
故选：A．
【分析】先根据三角形的中线得到，则，进而得到，再等量代换即可求解。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B==70°，
∴∠AED=70°，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，推得∠1=∠BAE=40°，根据等边对等角和三角形内角和是180°即可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
由图可知，，，，
，
，
，
，
则图中应减少，
故选：A．
【分析】本题考查三角形内角和定理与三角形外角性质的综合应用，解题时通过延长EF交BD于点G构建外角关系。先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠CAB和∠CBA的度数，算出∠ACB的度数，由对顶角相等得到∠ECG的度数。再根据三角形外角的性质，△CEG的外角∠DGF等于∠E与∠ECG的和，代入数值算出∠DGF的度数。接着在△DGF中，∠EFD是它的外角，同样根据外角性质，∠EFD等于∠D与∠DGF的和，因此用∠EFD减去∠DGF就能得到调整后∠D的度数，最后和原来的∠D度数作差，即可得到减少的度数。
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵为的角平分线，∴，
又∵，，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵，
∴，
∵，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
故②正确，符合题意；
③∵，，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，过点作，交的延长线于点，
∵为的角平分线，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由③得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
综上，正确选项为①②③④，
故答案为：A．
【分析】①可以先结合题目已知条件，证明，以此为基础推导结论；
②结合等边对等角的性质、对顶角的特点，再加上①中已经证得的全等三角形的对应性质，就可以计算得到要求的角度；
③结合前面推导得到的边角关系，找到相等的内错角，再根据等角对等边的性质，就可以推导出对应的边平行的结论；
④过点作，与的延长线交于点，先证明，再证明，即可得到对应边相等，最后结合线段的和差关系，就能推导出最终要证的结论．
11．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有稳定性.
故填：三角形具有稳定性.
【分析】根据三角形具有稳定性即可求解.
12．【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，由，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，由，能构成三角形，则其周长．
故答案为：22．
【分析】根据等腰三角形的性质分：①当腰长为4时，②当腰长为9时，进而根据三角形的三边关系即可求解。
13．【答案】24
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，
∵为的中点，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】本题考查等边三角形的性质与含30°角的直角三角形的性质。首先△ABC是等边三角形，因此三个内角都是60°，即∠A=60°。DE垂直AC，所以△ADE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可得∠ADE=30°。在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此斜边AD的长度是AE的2倍，代入AE=2算出AD=4。又因为D是AB中点，所以AB长度是AD的2倍，即AB=8，等边三角形周长是边长的3倍，故周长为24。
14．【答案】21
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过作于，于，
，分别平分和，，，
，，
的周长是14，
，
的面积
．
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积的计算，解题的关键是利用角平分线的性质得到三条垂线段长度相等。连接OA，过O分别作AB、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，OB平分∠ABC则O到AB的距离等于OD，OC平分∠ACB则O到AC的距离等于OD，因此O到三角形三边的距离都等于3。△ABC的面积可以拆分成△ABO、△BCO、△ACO三个三角形的面积之和，三个三角形的高都是3，底分别是AB、BC、AC，提取公因式后面积等于，代入周长AB+BC+AC=14，得面积为21。
15．【答案】15
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则
，的面积分别为和，
正方形，，，
同理可得：
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的 AAS 判定以及三角形面积的计算。通过作多条垂线构造直角三角形，利用正方形边长相等、四个内角均为直角的性质，可证得两组直角三角形分别全等，从而得到阴影部分两个直角三角形的直角边长度。已知正方形 、 的面积，由正方形面积公式可求出其边长分别为 5 和 3，结合全等三角形对应边相等，可知两个阴影直角三角形的两条直角边分别为 5 和 3；分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到阴影部分的总面积。
16．【答案】（1）证明：，
即，
，
，
在和中，
，
（2）解：，，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据题意进行线段的运算得到，进而根据平行线的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）根据题意进行角的运算即可求解。
（1）证明：，
即，
，
，
在和中，
，
（2）解：，，
．
17．【答案】证明：是边的中点，，
又，，
，
又∵，
∴，
在和中，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据中点得到，再根据垂直得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到．
18．【答案】（1）垂直平分线
（2）角平分线
（3）解：如图为所求点P，
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用
【解析】【解答】（1）解：∵智能垃圾分类投放点P到两栋住宅楼A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知投放点P应在A、B连线的垂直平分线上.
故答案为：垂直平分线；
（2）解：∵点P到两条道路OM、ON的距离相等，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知投放点P在∠MON的角平分线上，
故答案为：角平分线；
（3）解：结合前面两问的结论，同时满足两个条件的点就是垂直平分线和角平分线的交点，作图后点P即为符合要求的位置.
【分析】（1）本题根据线段垂直平分线的性质，即可得到结论；
（2）本题根据角平分线的性质，即可得到结论；
（3）本题考查垂直平分线与角平分线尺规作图，分别作出线段AB的垂直平分线EF和∠MON的角平分线OT，射线OT与直线EF的交点即为所求的点P.
（1）解：附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出垂直平分线，
故答案为：垂直平分线；
（2）解：点到两条道路的距离相等，需要作出角平分线，
故答案为：角平分线；
（3）解：如图所示，点即为所求．
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵与关于y轴对称，，，∴，．
（3）或或
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定：
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵与关于y轴对称，，，
∴，．
（3）解：如图所示，点即为所求．
20．【答案】（1）解：∵垂直平分，∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵垂直平分，∴，
∴的周长
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质结合题意进行角的运算即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，进而结合三角形的周长等量代换即可求解。
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长
．
21．【答案】（1），；
解：（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，AD⊥BC，
∴AD=BD=CD=6cm，
∵△ABP的面积为24cm2，∴，
∴BP=8，
∴12-2t=8，
∴t=2；
（3）如图2，当点Q向上运动时，
∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=45°，
∴点P在线段CB上，
∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ，
∴12-2t=t，
∴t=4；
如图3，当点Q向下运动时，
∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=135°，
∴点P在线段CB的延长线上，
∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ，
∴2t-12=t，
∴t=12；
综上所述：当t=4或12时，△ABP与△ACQ全等．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：CP=2tcm，CQ=tcm，
故答案为：2t，t；
【分析】（1）根据路程=速度×时间列代数式即可；
（2）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=CD=6cm，再根据三角形的面积公式解答即可；
（3）分点Q向上运动或点Q向下运动两种情况，根据全等三角形条件BP=CQ，列方程解答即可．
22．【答案】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
（2）作轴，则，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
同（1）理可证：，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）由题意得点C在下方时在x轴上，作轴，则，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
同（2）理可证：，
∴，
∴，
∴；
同理可得点C在上方时，，
∴，
综上所述：或.
【分析】（1）本题考查"一线三垂直"模型下的全等三角形证明，核心是利用同角的余角相等推导角相等。由AD和BE都垂直于DE，可得∠D和∠E都是90°，结合∠ACB=90°，可推出∠ACD与∠DAC互余，同时∠ACD与∠BCE互余，根据同角的余角相等得到∠DAC=∠BCE。再结合AC=BC，用AAS判定定理证明△ACD≌△CBE，由全等三角形对应边相等，即可得到AD=CE、CD=BE。
（2）本题考查全等三角形在平面直角坐标系中的应用，借鉴（1）的模型，过点B作x轴的垂线，构造出与△AOC全等的直角三角形。通过证明两个三角形全等，得到对应边的长度，再结合点C的坐标，通过线段和差算出点B的横、纵坐标，即B(3，2)。
（3）本题考查等腰直角三角形存在性问题，需要分点C在AB下方和点C在AB上方两种情况，每种情况都通过构造"一线三垂直"的全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合A(0，3)、B(4，1)两点的坐标，分别计算出点C的横、纵坐标，得到两个符合条件的点C(1，0)和C(3，4)。
23．【答案】（1）证明：如图1中，
，
，
，
；
（2）结论：符合题意．
理由：如图2中，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，

（3）延长交与点，则，
是的中点，
，
在和中，
，
．
是的中线，
，又，
则，
的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）本题考查同角的余角相等的应用，由CE垂直AD可得∠AMC=90°，因此△ACM中∠CAD与∠ACM互余；又因为∠ACB=90°，所以∠BCE与∠ACM也互余，根据同角的余角相等，即可推出∠BCE=∠CAD。
（2）本题考查全等三角形的判定与性质，结论成立。首先由CN平分∠ACB，∠ACB=90°，可得∠ACN=45°；再由AC=BC，△ABC是等腰直角三角形，可得∠B=45°，因此∠ACN=∠B。结合（1）中得到的∠CAN=∠BCE，以及AC=CB，根据ASA判定定理可证明△ACN≌△CBE，由全等三角形对应边相等，即可得到CN=BE。
（3）本题考查全等三角形的性质与三角形面积的转化，延长CN交AB于点H，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AH=2。由AD是中线可得CD=DB，结合（2）中的CN=BE，以及∠DCN=∠B=45°，根据SAS判定△CND≌△BED，两个三角形面积相等。再结合AD是中线，△ACD和△ABD面积相等，通过面积的等量代换，可得△ADE的面积等于△ACN的面积，△ACN以CN为底、AH为高，代入数值用三角形面积公式计算，即。
（1）略
（2）略
（3）延长交与点，则，
是的中点，
，
在和中，
，
．
是的中线，
，又，
则，
的面积为．
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