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期中重难点检测卷（提高卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：10~ 12章（整式的加减+整式的乘除+因式分解全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（26-27七年级上·上海松江·期中）因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（25-26七年级上·上海宝山·期末）若多项式的次数记为m，单项式的系数记为n，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（25-26七年级上·上海崇明·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（ ）
A．21226 B．12262 C．26212 D．62212
5．（2025七年级下·云南保山·模拟预测）如图，物体从点出发，按照（第步）（第步）的顺序循环运动，则第步到达点（ ）
A．D B．E C．F D．
6．（25-26七年级下·山东淄博·期末）将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）单项式的系数是______．
8．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知（且），则_____．
9．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）已知，则的值为_________．
10．（25-26七年级上·上海宝山·期末）若与的和是单项式，则_____．
11．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如果是关于、 的一个完全平方式，则___________．
12．（25-26七年级下·浙江台州·期末）若整式能因式分解，“□”中能填的常数为__________（写一个数即可）．
13．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示，则_______．
14．（26-27七年级上·上海松江·阶段练习）观察下列等式：
……
根据上述规律，计算_______．
15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如果整式A与整式的和为实数，我们称A，为的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”；与为7的“友好整式”．若关于的整式与为的“友好整式”，则的值为________．
16．（25-26七年级下·四川成都·期末）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张．
17．（25-26七年级上·上海普陀·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________．
18．（25-26七年级上·上海竞赛·期中）将完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．可将公式变形为，再将，代入，求得，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则________；
（2）如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地（），它们面积和为，为（在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．图中摆放花卉场地的面积是________．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中，．
20．（24-25七年级下·全国·课后作业）嘉琪在学习幂的乘方时，发现，，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由．
21．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：．即：．
根据以上材料，将式子进行因式分解．
22．（25-26七年级上·上海闵行·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：．
原式．
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：_______；
(2)将变形为的形式，并求出的最小值．
23．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题：
(1)写出 ，，之间的等量关系：________．
(2)已知 ，，求的值；
(3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
24．（26-27七年级上·上海普陀·期中）有一类正整数，从左读到右和从右读到左是同一个数，这种数就称为“回文数”.那么，最小的回文数是多少呢？当然非莫属.显然，没有最大的回文数.
(1)（）位数的回文数（简称为“位回文数”）有多少个？
位回文数有个，它们是，，，，，，，，；
位回文数有______个；
位回文数可就多了，不妨把它们排成一个数的方阵：
这个数阵有行列，因此位回文数有个.
(2)位回文数有______个.再往下统计，若把回文数都排成数阵再数个数，这种方法就太麻烦了.请你尝试用别的方法计算.
(3)若为正整数，问：
①当为奇数时，位回文数有______个.
②当为偶数时，位回文数有______个.
25．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）综合实践
学校为迎接数学节活动，准备用盆栽花卉摆出正方形图案．同学们在参与设计时，发现“正方形数”（完全平方数）与图形之间有着奇妙的联系．
【情境感知】如图1，一个边长为n的正方形所需花卉盆数为，可以用一个边长为的大正方形来“切割”理解，如图2，从大正方形中先去掉上方一排和右侧一列各盆，再补回右上角多减的一盆．
【规律探索】从特殊到一般的规律捕捉
①当时，；
②当时，；
③当时，；
……
【问题解决】
(1)请用上述规律写出：当时，________________________________．
(2)请用含正整数的等式表示上述结论：________________________________，
并用整式的有关知识说明等式成立的理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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期中重难点检测卷（提高卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：10~ 12章（整式的加减+整式的乘除+因式分解全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（26-27七年级上·上海松江·期中）因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接使用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：.
2．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则计算，然后对比对应项系数，即可获得答案．
【详解】解：，
∵，
∴对比对应项系数，得，．
3．（25-26七年级上·上海宝山·期末）若多项式的次数记为m，单项式的系数记为n，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：∵多项式中，各项次数分别为，，，最高次项的次数为，
∴，
∵单项式的数字因数为，
∴，
∴.
4．（25-26七年级上·上海崇明·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（ ）
A．21226 B．12262 C．26212 D．62212
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用，先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可．
【详解】解：∵，
当x取12，y取14时，，，，
∴三个数为12、2、26．
所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212．
∴ 密码为26212，
故选C．
5．（2025七年级下·云南保山·模拟预测）如图，物体从点出发，按照（第步）（第步）的顺序循环运动，则第步到达点（ ）
A．D B．E C．F D．
【答案】D
【分析】根据题意找出物体运动的循环规律，确定一个循环包含的步数，再用总步数除以循环步数，根据余数确定最终位置即可．
【详解】解：由运动情况可知，物体从点出发，按照（第步）（第步）的顺序8步一个循环，
，
第步到达点．
6．（25-26七年级下·山东淄博·期末）将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别计算出图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：由图可得，图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
．
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）单项式的系数是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式的系数的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，包括常数和符号，据此可得答案．
【详解】解：单项式的系数是，
故答案为：．
8．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知（且），则_____．
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方运算，根据幂的乘方法则化简等式左边，对比等式两边得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：
因为，
所以，
所以
解得
9．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）已知，则的值为_________．
【答案】
27
【分析】先将所求式子的底数统一化为，再利用幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则化简，结合已知等式得到的值，整体代入计算即可.
【详解】解: 对所求代数式变形得
，
，
，
把代入得，
原式.
10．（25-26七年级上·上海宝山·期末）若与的和是单项式，则_____．
【答案】4
【分析】根据两个单项式的和为单项式，得到两个单项式为同类项，进行求解即可.
【详解】解：由题意，与为同类项，
∴，
∴，
∴.
11．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如果是关于、 的一个完全平方式，则___________．
【答案】
【分析】这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和乘积的2倍．
【详解】解：∵是关于、 的完全平方式，
∴，
∴．
12．（25-26七年级下·浙江台州·期末）若整式能因式分解，“□”中能填的常数为__________（写一个数即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查因式分解，可根据完全平方公式的结构特征，确定符合要求的常数，写出一个满足条件的结果即可．
【详解】解：当填入时，原整式为，
由完全平方公式因式分解可得，
该整式可以因式分解，符合题目要求，
故答案为 （答案不唯一）．
13．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示，则_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于数轴的知识以及绝对值的知识，正确把握相关知识是解题的关键．
根据数轴位置，判断绝对值内式子的符号，利用绝对值性质化简计算．
【详解】解：由数轴得，，且，
，则；
，则；
，则．
因此．
故答案为 ．
14．（26-27七年级上·上海松江·阶段练习）观察下列等式：
……
根据上述规律，计算_______．
【答案】
【分析】根据所给式子找出规律进行计算即可得到答案．
【详解】解：由，
，
，
……
则；
∴，
解得，，
∴．
15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如果整式A与整式的和为实数，我们称A，为的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”；与为7的“友好整式”．若关于的整式与为的“友好整式”，则的值为________．
【答案】7
【分析】本题主要考查整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键．
根据“友好整式”的定义可知的值与x无关，从而可求出k和n的值即可．
【详解】解：由题意可知：
，
令，得，
∴．
故答案为：7．
16．（25-26七年级下·四川成都·期末）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张．
【答案】
15
【分析】根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中，，的系数确定各类卡片的数量，最后求和即可．
【详解】解：由图可知，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为
长方形的长为，宽为，
长方形的面积：
需要类卡片1张，类卡片6张，类卡片8张
，，类卡片一共需要（张）．
17．（25-26七年级上·上海普陀·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________．
【答案】
【分析】观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论．
【详解】解：．
18．（25-26七年级上·上海竞赛·期中）将完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．可将公式变形为，再将，代入，求得，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则________；
（2）如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地（），它们面积和为，为（在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．图中摆放花卉场地的面积是________．
【答案】
【分析】（1）由材料中的方法得到，将代数式代入计算即可；
（2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且，由题意得出，，变形求出，代入图中摆放花卉场地的面积计算即可．
【详解】解：（1）由得，
将，代入上式得，；
（2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且，
则，，
由题意可得，，
则，
，
则，
联立，解得，
图中摆放花卉场地的面积是．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先化简，再把，代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
20．（24-25七年级下·全国·课后作业）嘉琪在学习幂的乘方时，发现，，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的．于是他在计算与时，认为结果也应是相同的．你同意他的观点吗？说说你的理由．
【答案】
解：不同意．
理由如下：
当时，，，
此时；
当时，
，
，
即，
所以不同意．
【分析】本题考查了幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据法则计算，再作判断．
【详解】略
21．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：．即：．
根据以上材料，将式子进行因式分解．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可.
【详解】解：
．
22．（25-26七年级上·上海闵行·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：．
原式．
②利用配方法求最小值：求最小值．
解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：_______；
(2)将变形为的形式，并求出的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（）根据完全平方公式的特征求解；
（）先配方，再求最小值．
【详解】（1）解：根据完全平方公式：，
∵，一次项系数的一半为，平方为，
∴．
（2）解：
根据完全平方的非负性，对任意都有，
∴当时，原式有最小值，
即：的最小值为．
23．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题：
(1)写出 ，，之间的等量关系：________．
(2)已知 ，，求的值；
(3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)20
【分析】（1）根据面积相等得到等量关系；
（2）将，代入第一问中的等量关系，求出的值；
（3）根据正方形的性质得到、和，根据三角形面积公式得到，化简后再结合条件求出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：观察图形可知，大正方形的边长为，
∴面积为，
这个大正方形由四部分构成，分别是：
两个边长分别为、的长方形，一个边长为的小正方形和一个边长为的小正方形，
∴这四部分的面积和为：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
，
∵，，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
24．（26-27七年级上·上海普陀·期中）有一类正整数，从左读到右和从右读到左是同一个数，这种数就称为“回文数”.那么，最小的回文数是多少呢？当然非莫属.显然，没有最大的回文数.
(1)（）位数的回文数（简称为“位回文数”）有多少个？
位回文数有个，它们是，，，，，，，，；
位回文数有______个；
位回文数可就多了，不妨把它们排成一个数的方阵：
这个数阵有行列，因此位回文数有个.
(2)位回文数有______个.再往下统计，若把回文数都排成数阵再数个数，这种方法就太麻烦了.请你尝试用别的方法计算.
(3)若为正整数，问：
①当为奇数时，位回文数有______个.
②当为偶数时，位回文数有______个.
【答案】(1)
(2)
(3)①，②
【分析】（1）由回文数的定义即可解答；
（2）根据回文数的特征，探索出位回文数各个数位的情况，即可解答；
（3）①按照中思路，讨论出当为奇数时，位回文数各个数位的情况，即可解答；
②按照中思路，讨论出当为偶数时，位回文数各个数位的情况，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知，位回文数有，，，，，，，，，共个；
（2）解：根据题意，位回文数，千位数字和个位数字不能为，可以有种情况，
百位数字和十位数字可以为，有种情况，
位回文数共有（个）；
（3）解：根据题意，位回文数有两种情况，
①当为奇数时，首位数字和个位数字不能为，有种情况，
第二个数字和十位数字，有种情况，
第三个数字和百位数字，有种情况，
第个数字有种情况，
则有个位回文数；
②当为偶数时，首位数字和个位数字不能为，有种情况，
第二个数字和十位数字，有种情况，
第三个数字和百位数字，有种情况，
第个数字和第位数字，有种情况，
则有个位回文数．
25．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）综合实践
学校为迎接数学节活动，准备用盆栽花卉摆出正方形图案．同学们在参与设计时，发现“正方形数”（完全平方数）与图形之间有着奇妙的联系．
【情境感知】如图1，一个边长为n的正方形所需花卉盆数为，可以用一个边长为的大正方形来“切割”理解，如图2，从大正方形中先去掉上方一排和右侧一列各盆，再补回右上角多减的一盆．
【规律探索】从特殊到一般的规律捕捉
①当时，；
②当时，；
③当时，；
……
【问题解决】
(1)请用上述规律写出：当时，________________________________．
(2)请用含正整数的等式表示上述结论：________________________________，
并用整式的有关知识说明等式成立的理由．
【答案】(1)
(2)，理由如下：
，
即左边等于右边，
∴等式成立．
【分析】（1）根据题干所给式子即可得出；
（2）根据题意得出规律，再结合完全平方公式计算即可得证．
【详解】（1）解：∵当时，；
当时，；
当时，；
∴当时，；
（2）略．
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