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期中重难点检测卷（提高卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：19~ 20章（实数+二次根式全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（26-27八年级上·上海嘉定·阶段检测）下列各数中，用科学记数法表示且原数为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较大数时的形式是，其中，为正整数，只要找到，即可．
【详解】解：将用科学记数法表示为．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期末）正数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若，则叫做的平方根．
【详解】解：正数的平方根是．
3．（25-26八年级上·上海长宁·期末）下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
B．的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式．
4．（25-26八年级下·四川广安·期中）设n为正整数，，已知，则（　　）
A．1822 B．2021 C．3624 D．4042
【答案】A
【分析】先利用完全平方公式化简前几项，归纳得到的一般规律，再代入的值计算．
【详解】解：∵，为正整数，
∴．
∵ ，
∴．
同理可得，
归纳得到规律：．
当时，，
∵ ，
∴ ．
5．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴的整数部分为8，的整数部分为1，
∵的小数部分为，的小数部分为，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．（25-26八年级上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算：
（1）；
（2）；
（3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【详解】①因为，，所以，，即，，故①正确；
②设，则，；而，所以，，则，，所以，故②正确；
③设，则，，而，则，不能得到，，所以不能判断，故③不正确；
④因为，，所以，故④正确．
综上所述，错误的命题为③共1个，
故选：D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则__________．
【答案】5
【详解】解：
解得．
8．（25-26七年级下·广东汕头·期末）的小数部分为__________．
【答案】
【分析】先确定的取值范围，得到它的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分．
【详解】解：，，
，
∴，
的整数部分为，
的小数部分为．
9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在，，，，，，这个数中，无理数共有________个．
【答案】
【详解】解：是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
中是无限不循环小数，因此也是无理数；
综上，无理数共有个．
10．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）代数式的最小值是________．
【答案】
【分析】根据二次根式的非负性，得到的取值范围，进而可求出代数式的最小值．
【详解】解：∵，
∴，
∴当时，代数式取得最小值．
11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】依据被开方数大于等于求解即可．
【详解】∵二次根式被开方数大于等于，
∴
∴．
12．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________．
【答案】
【分析】根据“五入”法则逆推原数各数位即可得到结果．
【详解】解：根据题意可知，由五入得到近似数，
千分位向百分位进、百分位向十分位进，使百分位和十分位变成，则原来是，
个位进后是，则原来个位是，
千分位最小取，得到．
13．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________．
【答案】
【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果．
【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位，
，是将的小数点向左移动位得到，
是将的小数点向左移动位，即．
14．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度h（米）与其起跳速度v（米/秒）之间满足（其中米/秒）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为________米/秒．（结果化为最简）
【答案】
【分析】将，代入公式求解，结合速度的实际意义确定为正，再将结果化为最简二次根式即可．
【详解】解：将，代入，得，
整理得，
由实际意义可知，，
因此．
15．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______．
【答案】
【详解】解：由题意得，正方形的边长为，
∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点
∴点在刻度尺上对应的数为．
16．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一个数值转换器，如图所示：
其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）．
【答案】0或1
【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解．
【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是，
故始终输不出的值．
当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是，
也始终输不出的值．
综上，的值可能是0或1．
17．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：
若，则代数式的值是______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，代数式的求值，解题的关键是首先对这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可．
【详解】解：，
，
，
，
原式．
故答案为：．
18．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中______．
【答案】1
【分析】本题主要考查利用正方形的性质求解一元一次方程和二次根式的混合运算，根据题意可得，设，则，进一步得图2中， ，继而得，列出，解得x，则图2中代入求解即可．
【详解】解：∵边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．
∴，
设，
∵图1四边形为正方形，
∴，
∵，
∴图2中，则，
∵图2四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，解得，
则图2中，
故答案为：1．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴,，
∴，
∴．
20．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求下列二次根式的值：
(1)，其中．
(2)，其中．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
（1）先将所求式子变形，再将a的值代入计算即可；
（2）将m的值代入计算即可．
【详解】（1）解：当，；
（2）解：当时，．
21．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知：，其中是的整数部分，是的小数部分．
(1)填空：的整数部分是______，小数部分是______；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)4，
(2)16
【分析】本题考查了代数式求值、无理数整数部分的有关计算：
（1）先算整数部分，减去整数就是小数部分；
（2）先算出，代入代数式计算．
【详解】（1）解：，
的整数部分是，
小数部分是．
（2）解：是的整数部分，是的小数部分
∴，，
则
．
22．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读材料：
“不是有理数”是可以证明的，下面给出一种证明方法．
假设是有理数，则存在两个互质的正整数p，q，使得，于是．
两边平方得，
由是偶数，可知是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p是偶数．
因此可设（r是正整数），代入，得，即，
所以q也是偶数．
这样p，q都是偶数，与假设p，q互质矛盾，故不是有理数．
请仿照材料中的证明方法完成下列问题：
求证：不是有理数．
【答案】
证明：∵假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得，
∴，
两边平方得
，
∵是5的倍数，
∴是5的倍数，
又只有5的倍数的平方才是5的倍数，
∴是5的倍数，
设（是正整数），
代入得，即，
∴是5的倍数，可得也是5的倍数，
∴，都是5的倍数，与假设，互质矛盾，
故不是有理数.
【分析】根据题意利用反证法假设是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
【详解】略．
23．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）设，是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵，都是有理数，
∴，也是有理数，
∵是无理数，
∴，，
，，
∴．
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)设，都是有理数，且满足，则的值为____________．
(3)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）估算出的取值范围即可得到答案；
（2）根据题意可得，则可推出，，据此可得答案；
（3）估算出和的取值范围，从而确定、的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分是，
∴的小数部分是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，都是有理数，
∴，都是有理数，
∵为无理数，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，即，
∴，
∴的整数部分为，
∴的小数部分为，即；
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴的整数部分为，即，
∴．
24．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
(1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由．
【答案】(1)
(2)李老师的预算够，理由见解析
【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长．
答：电视背景墙的周长为．
（2）解：长方形的面积：，
大理石的面积，
∴壁纸的面积，
整个电视背景墙需要花费：（元），
，
李老师的预算够．
25．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为；
(1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想________．
A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．则图中，两点表示的数分别为________，________；
(3)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长的值；
(4)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
【答案】(1)B
(2)，
(3)面积为，
(4)如图，点P即为所求：
【分析】（1）材料中求解得到这个数据时，是通过正方形的面积解决的，故体现了数形结合的思想；
（2）结合题干可知图中半圆的半径长为，结合数轴即可作答；
（3）先求出大正方形的面积，再减去四个三角形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解；
（4）先求出大正方形的面积，再通过画弧的方法在数轴上作图即可．
【详解】（1）解：上述材料中说明问题的方式主要体现了数形结合的思想；
（2）解：根据边长为的正方形的对角线长为，可知，
即，两点表示的数为，，
（3）解：大正方形的面积为：，
四个三角形的面积为：，
∴中心小正方形的面积为：，
∴小正方形的边长为：；
（4）解：由题意得，大正方形的面积为，
则大正方形的边长为，
然后以数轴上表示的点为圆心，正方形的边长为半径画弧，与数轴正方向相交，交点即为点．
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期中重难点检测卷（提高卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：19~ 20章（实数+二次根式全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（26-27八年级上·上海嘉定·阶段检测）下列各数中，用科学记数法表示且原数为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期末）正数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·上海长宁·期末）下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级下·四川广安·期中）设n为正整数，，已知，则（　　）
A．1822 B．2021 C．3624 D．4042
5．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
6．（25-26八年级上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，任意两点，，规定运算：
（1）；
（2）；
（3）当且时，，有下列四个命题：①若，，则，；②若，则；③若，则；④对任意点M、N、P，均有成立，其中错误的命题的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则__________．
8．（25-26七年级下·广东汕头·期末）的小数部分为__________．
9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在，，，，，，这个数中，无理数共有________个．
10．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）代数式的最小值是________．
11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．
12．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）一个三位小数“四舍五入”到百分位约是，这个三位小数最小是________．
13．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________．
14．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度h（米）与其起跳速度v（米/秒）之间满足（其中米/秒）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为________米/秒．（结果化为最简）
15．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______．
16．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一个数值转换器，如图所示：
其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）．
17．（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：
若，则代数式的值是______．
18．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中______．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）解方程：
(1)
(2)
20．（25-26八年级上·上海·阶段检测）求下列二次根式的值：
(1)，其中．
(2)，其中．
21．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知：，其中是的整数部分，是的小数部分．
(1)填空：的整数部分是______，小数部分是______；
(2)求代数式的值．
22．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读材料：
“不是有理数”是可以证明的，下面给出一种证明方法．
假设是有理数，则存在两个互质的正整数p，q，使得，于是．
两边平方得，
由是偶数，可知是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p是偶数．
因此可设（r是正整数），代入，得，即，
所以q也是偶数．
这样p，q都是偶数，与假设p，q互质矛盾，故不是有理数．
请仿照材料中的证明方法完成下列问题：
求证：不是有理数．
23．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）设，是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵，都是有理数，
∴，也是有理数，
∵是无理数，
∴，，
，，
∴．
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)设，都是有理数，且满足，则的值为____________．
(3)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
24．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
(1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由．
25．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为；
(1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想________．
A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点．则图中，两点表示的数分别为________，________；
(3)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长的值；
(4)拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹并标出必要线段长）
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