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期中重难点检测卷（培优卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：10~ 12章（整式的加减+整式的乘除+因式分解全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（2026·上海·模拟预测）下列选项中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．10 D．20
3．（25-26七年级下·上海松江·期末）下列是甲、乙两名同学自左向右的两个变形：
甲：；乙：．
下列说法正确的是（ ）
A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法
C．甲、乙均是因式分解 D．甲、乙均是整式乘法
4．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学
5．（25-26七年级上·上海宝山·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级下·山东聊城·期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形,帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律观察下列各式及其展开式：请你猜想展开式的第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）单项式的次数为___________．
8．（2026·上海长宁·二模）计算的结果为_________．
9．（2026·江苏南京·模拟预测）分解因式的结果是______________．
10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若是一个完全平方式，则___________________ ．
11．（25-26七年级上·四川成都·期中）若是多项式的一个因式，则实数a的值为_______
12．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，，则M_______N（填“>”“<”或“=”）．
13．（25-26七年级上·上海长宁·期末）化简：_________．（用含的代数式表示）
14．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知一个多项式与单项式的商是，则这个多项式是_______
15．（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）把有理数代入得到，称为第次操作，再将作为的值代入得到，称为第次操作，，依次类推．
（1）若，经过第次操作后得到的是_________．
（2）若，经过第次操作后得到的是_________．
16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）观察下列各组等式：
①，；
②，；……
猜想：当是正整数时，与的差为定值，这个定值为______．
17．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______．
18．（25-26七年级下·上海松江·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路：
∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为．
结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，．
21．（26-27七年级上·上海嘉定·期中）化简．
(1)化简：；
(2)先化简，再求值：，其中，．
22．（25-26七年级上·上海虹口·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步
任务：
(1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误．
(2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程．
23．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图所示的“三角形”是我国北宋数学家贾宪发现的．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中做了详细记载，被称为“杨辉三角形”，又称“贾宪三角形”，它揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据此规律解答下列问题：
(1)的值为_________________；
(2)根据上面的规律，写出的展开式：_________________；
(3)利用上面的规律计算：．
24．（26-27七年级上·陕西·期中）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来．
(1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______；
(2)如图3，观察点阵图，回答下列问题：
①，
，
，
则______，______，
② ______（用含的代数式表示）；
(3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果）
25．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
①图1： ；
②图2： ；
③图3： ．
(2)若，，则的值为_________________
(3)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列问题：
已知长方形的长为，宽为，且，长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长与宽为边长的正方形的面积之差．
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期中重难点检测卷（培优卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：10~ 12章（整式的加减+整式的乘除+因式分解全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（2026·上海·模拟预测）下列选项中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
B、符合同类项的定义，故选项符合题意；
C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意．
2．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．10 D．20
【答案】B
【分析】展开等式左侧的多项式乘法，通过对应项系数相等求出、的值，再计算．
【详解】解：．
∵，
∴，，
∴．
3．（25-26七年级下·上海松江·期末）下列是甲、乙两名同学自左向右的两个变形：
甲：；乙：．
下列说法正确的是（ ）
A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法
C．甲、乙均是因式分解 D．甲、乙均是整式乘法
【答案】A
【详解】解：甲：，左边是两个整式的乘积，右边是多项式，
∴甲是整式的乘法，不是因式分解；
乙：，左边是多项式，右边是几个整式的乘积，符合因式分解的定义，
∴乙是因式分解；
因此甲是整式的乘法，乙是因式分解．
4．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学
【答案】C
【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字．
【详解】解：∵
又∵ 对应爱，对应中，对应国
∴ 结果呈现的密码信息为爱中国．
5．（25-26七年级上·上海宝山·期末）某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过观察已知条件中纸杯数量与总高度的变化关系，求出每增加一个纸杯增加的高度，进而推算出8个纸杯的总高度．
【详解】由题意可知：3个纸杯比2个纸杯高，4个纸杯比3个纸杯高，
∴每增加一个纸杯，高度增加，
∴8个纸杯的高度为：．
6．（25-26七年级下·山东聊城·期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形,帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律观察下列各式及其展开式：请你猜想展开式的第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
【答案】B
【分析】观察题干得出规律（，且为整数）展开式的第三项系数为，由此计算即可得出结果．
【详解】解：对于展开式的第三项系数为，
对于展开式的第三项系数为，
对于展开式的第三项系数为，
…，
（，且为整数）展开式的第三项系数为，
∴展开式的第三项的系数是．
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）单项式的次数为___________．
【答案】
【分析】根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，计算单项式中所有字母的指数和即可得到结果.注意是常数.
【详解】解：单项式中 π 是常数，不是字母，字母的指数为，字母的指数为，
因此该单项式的次数为 .
8．（2026·上海长宁·二模）计算的结果为_________．
【答案】
【详解】解：．
9．（2026·江苏南京·模拟预测）分解因式的结果是______________．
【答案】
【详解】解：．
10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若是一个完全平方式，则___________________ ．
【答案】
【分析】根据完全平方式的结构特征进行计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴．
11．（25-26七年级上·四川成都·期中）若是多项式的一个因式，则实数a的值为_______
【答案】/
【分析】本题考查了多项式的乘法与因式分解，设多项式的另一个因式为，则，然后先求得的值，从而可得到的值．
【详解】解：设多项式的另一个因式为
则
所以，解得
所以
故答案为：．
12．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，，则M_______N（填“>”“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质，掌握整式的加减的运算法则是关键．计算，即可求解．
【详解】解：根据题意可知，，
∴．
故答案为：．
13．（25-26七年级上·上海长宁·期末）化简：_________．（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】解：．
14．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知一个多项式与单项式的商是，则这个多项式是_______
【答案】
【分析】商与除式的积等于被除式计算即可.
【详解】解：∵一个多项式与单项式的商是，
∴.
15．（26-27七年级上·安徽池州·阶段检测）把有理数代入得到，称为第次操作，再将作为的值代入得到，称为第次操作，，依次类推．
（1）若，经过第次操作后得到的是_________．
（2）若，经过第次操作后得到的是_________．
【答案】
【分析】根据题意，依次求出，，，，发现规律即可解决问题．
【详解】解：（1）由题知， 当时，；
（2） 由题知， 当时，；
；
；
；
；
；
由此可见，这列数从第项开始循环，，，周期为，奇数项为，偶数项为，
∴经过第次操作后得到的是．
16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）观察下列各组等式：
①，；
②，；……
猜想：当是正整数时，与的差为定值，这个定值为______．
【答案】
【分析】根据题意列出表示两个式子差的代数式，利用完全平方公式和整式加减运算法则化简，即可求出定值．
【详解】解：计算两个式子的差：
．
17．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______．
【答案】9
【分析】根据图形的面积，面积差的意义，完全平方公式的应用解答即可；
【详解】解：根据题意，得，，
故，
故，
即，
故．
18．（25-26七年级下·上海松江·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路：
∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为．
结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________．
【答案】 大 9
【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴
，
，
∴，
∴有最大值9．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
20．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
当，时，原式
21．（26-27七年级上·上海嘉定·期中）化简．
(1)化简：；
(2)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）原式合并同类项，即可得解；
（2）原式去括号合并得到最简结果，把，的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式，
，，
原式．
22．（25-26七年级上·上海虹口·期中）在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步
任务：
(1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误．
(2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程．
【答案】(1)小圳，一
(2)正确步骤见解析，
【分析】（1）根据平方差公式及整式的加减运算法则即可得答案；
（2）先利用平方差公式因式分解，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误．
（2）解：
．
23．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图所示的“三角形”是我国北宋数学家贾宪发现的．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中做了详细记载，被称为“杨辉三角形”，又称“贾宪三角形”，它揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据此规律解答下列问题：
(1)的值为_________________；
(2)根据上面的规律，写出的展开式：_________________；
(3)利用上面的规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可得出的值；
（2）根据规律求出的展开式即可；
（3）根据（2）中所得展开式，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
∴，
∴．
（2）解：由上面的规律得，，
（3）解：∵，
∴
．
24．（26-27七年级上·陕西·期中）在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来．
(1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______；
(2)如图3，观察点阵图，回答下列问题：
①，
，
，
则______，______，
② ______（用含的代数式表示）；
(3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果）
【答案】(1)
(2)①，②
(3)，
【分析】（1）根据图1图2的计算方法找到规律求解即可；
（2）①根据前三项的规律求解即可；②根据①的规律求解即可．
（3）把正方形按分为和两部分，依次类推分割求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①，
，
，
，，
②由① 可得；
（3）解：由题意画出图形如下：
第一次将正方形分割为和两部分，
第二次将正方形的部分分割为和两部分，
第三次将正方形的部分分割为和两部分，
第四次将正方形的部分分割为和两部分，
由分割图形可知．
25．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
①图1： ；
②图2： ；
③图3： ．
(2)若，，则的值为_________________
(3)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列问题：
已知长方形的长为，宽为，且，长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长与宽为边长的正方形的面积之差．
【答案】(1)①；②；③；
(2)；
(3)．
【分析】（1）观察图形表示阴影部分的面积即可；
（2）根据（1）中结论代入即可解答；
（3）根据题意知，，由（1）中结论先求出，再代入求值．
【详解】（1）解：观察图形可知，阴影部分面积分别为：
①；
②；
③；
（2）解：由（1）可知，
，，
，
，
；
（3）解：长方形的周长为40，面积为75，
，，
，
，
，
，
，
，
即以长方形的长与宽为边长的正方形的面积之差为．
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