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期中重难点检测卷（培优卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：19~ 20章（实数+二次根式全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）4的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27八年级上·上海长宁·期中）下列各式中运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26七年级下·广东河源·期末）根据工信部《首台（套）重大技术装备推广应用指导目录（2024年版）》信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过，数据0.000000065用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·上海闵行·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8
533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44
A．560的算术平方根比23.7大
B．
C．只有3个正整数n满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77
6．（25-26八年级下·安徽池州·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（26-27八年级上·上海嘉定·期中）的相反数是_________．
8．（25-26八年级上·上海崇明·期中）精确到___________位．
9．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若，则______．
10．（2025·云南曲靖·模拟预测）使代数式有意义的的取值范围是_____．
11．（26-27八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，，则______．
12．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）计算：___________．
13．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个．
14．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________．
15．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________
16．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 0 1 2 3 4 5 …
输出 0 2 …
若输入数字为10，输出数字记为a，则________．
17．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）观察下列等式：；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为________．
18．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，化简．
20．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
21．（26-27八年级上·陕西·期中）仿照，化简．
22．（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格：
被开方数 0 1 8 27 64
立方根
23．（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题：
(1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ；
(2)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值．
24．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究：
①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数．
②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是．
③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是．
请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题：
(1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______；
(2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程．
25．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）．阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
(1)填空：
①（______）（________）；
②（______±______）（，）．
(2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
(3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
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期中重难点检测卷（培优卷）
（满分100分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：19~ 20章（实数+二次根式全部内容）；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（6小题，每小题2分，共12分）
1．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）4的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根是非负数的正的平方根求解即可．
【详解】解：∵．
∴4的算术平方根是．
2．（26-27八年级上·上海长宁·期中）下列各式中运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：∵，∴A错误；
选项B：∵和不是同类二次根式，不能直接相加，∴B错误；
选项C：∵，∴C正确；
选项D：∵，∴D错误；
3．（25-26七年级下·广东河源·期末）根据工信部《首台（套）重大技术装备推广应用指导目录（2024年版）》信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过，数据0.000000065用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．
4．（25-26八年级上·上海闵行·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式．
【详解】根据最简二次根式定义逐一判断：
选项A、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件；
选项B、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式；
选项C、，被开方数是能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式；
选项D、，被开方数是能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式．
5．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8
533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44
A．560的算术平方根比23.7大
B．
C．只有3个正整数n满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77
【答案】D
【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项．
【详解】解：∵，，∴，A错误；
∵，∴，B错误；
∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误；
观察表格中数据，，，，
可知每增加，的增量依次增加，
∵，
∴，D正确．
6．（25-26八年级下·安徽池州·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，，从而可得，求出矩形的面积为，即可得出结果．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为，，
∴，，
∴，
∴矩形的面积为，
∴该口袋公园的总面积为．
第II卷（非选择题）
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．（26-27八年级上·上海嘉定·期中）的相反数是_________．
【答案】
【详解】解：的相反数是．
8．（25-26八年级上·上海崇明·期中）精确到___________位．
【答案】千
【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一个有效数字所在的数位确定精确位数.
【详解】解：先还原为原数，，
原数中最后一个有效数字位于千位，
因此精确到千位.
9．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若，则______．
【答案】9
【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入计算即可.
【详解】解：∵ ,
∴，
∴.
10．（2025·云南曲靖·模拟预测）使代数式有意义的的取值范围是_____．
【答案】且
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：要使有意义，
可得，解得，
的取值范围是且．
11．（26-27八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，，则______．
【答案】
【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可．
【详解】解：的小数点向左移动两位得，，
．
12．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）计算：___________．
【答案】5
【详解】解：
．
13．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个．
【答案】
【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围．
由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数．
【详解】解：∵，，
∴数轴上介于和之间的整数有、、、，
∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个．
14．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出，的值，再计算 即可．
【详解】解：，，且，
，
，
．
15．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________
【答案】
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数；
再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数；
再把2输入，2的算术平方根是，是无理数，
所以输出y的值是．
16．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 0 1 2 3 4 5 …
输出 0 2 …
若输入数字为10，输出数字记为a，则________．
【答案】
【分析】观察表格中输入与输出的对应数据，归纳总结得到一般性规律，得到输入为时输出的表达式，将代入计算化简即可.
【详解】解：由题意，当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；……
归纳可得，当输入数据为时，输出数据为，
故当输入数字为时，.
17．（26-27八年级上·上海宝山·阶段检测）观察下列等式：；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为________．
【答案】
【分析】通过对比已知等式中序号、根号内分数分母与结果的关系，归纳出含正整数的通用等式，即可得解．
【详解】解：；
②；
③．
根据题中等式的规律可得：，
∴．
18．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______．
【答案】8
【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为，
∴，，两个长方形的宽为，
∵，
∴，，
∴长方形A与长方形B的宽为，
∴长方形B的面积为．
三、解答题（7小题，共64分）
19．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，化简．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据，可得，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
20．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴．
21．（26-27八年级上·陕西·期中）仿照，化简．
【答案】
【分析】通过分母有理化，利用平方差公式消除分母中的根式计算即可．
【详解】解：．
22．（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格：
被开方数 0 1 8 27 64
立方根
【答案】，，，，，，，，
【分析】根据立方根的定义，依次计算得到结果即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
∵，
∴的立方根是；
∵，
∴的立方根是；
∵，
∴的立方根是；
∵，
∴的立方根是；
∵，
∴的立方根是；
∵，
∴的立方根是；
∵，
∴27的立方根是；
∵，
∴64的立方根是．
23．（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题：
(1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ；
(2)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值．
【答案】(1)2；3
(2)3；
(3)
【分析】（1）利用夹逼法即可解答；
（2）利用夹逼法求得的取值范围，即可得到的整数部分和小数部分；
（3）利用夹逼法求得的整数部分和的小数部分，代入即可解答．
【详解】（1）解：，
，即，
，；
（2）解：，
，即，
的整数部分是，小数部分是；
（3）解：，
，即，
的整数部分，
，即，
的整数部分为，小数部分，
．
24．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究：
①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数．
②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是．
③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是．
请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题：
(1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______；
(2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程．
【答案】(1)两，
(2)解：．
详细过程如下：
，，，
，
的立方根是一个两位数，
由的个位上的数是，，可得的个位数为，
接着划去后面的三位得到数，而，，则，
，
，
，
的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到，
即的立方根是．
【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可；
（2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
的立方根是一个两位数，
由的个位上的数是，，可得的个位数为；
（2）略
25．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）．阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
(1)填空：
①（______）（________）；
②（______±______）（，）．
(2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
(3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
【答案】(1)①；；②；；
(2)
(3)
【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可．
【详解】（1）解：①；
②；
（2）解：；
（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
根据题意得：，，
∴，，
剩余部分的面积为：．
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