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江苏省扬州中学 2026-2027学年度高三 10月自主学习评估
数 学 试 卷
一、单项选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．若 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．6 B． C．7 D．
3．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 是第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5． 的展开式中， 的系数为（ ）．
A．8 B．36 C．16 D．32
6．已知三个正数 ， ， 分别满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．若角 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，关于 的方程 有且仅有 4个不同的实根，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错
的得 0分。
9．已知 ， ，且 与 相互独立，则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在长方体 中， ， ，点 为四边形 内部
（不含边界）的一个动点，平面 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角的余弦值为
B．当 时，二面角 的正切值为
C．四面体 的外接球体积为
D．若 ，则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．若函数 有两个零点，则 的取值范围是____________．
13．将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 在区间 内没有零点，则
的取值范围是_______．
14．若不等式 恒成立，则 的取值范围_____.
四、解答题:本题共 5小题，共 77分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．已知集合
(1)求集合 中的所有整数；
(2)若（CRA）∩B＝ ，求实数 的取值范围.
16．已知函数 （ 且 ）是偶函数， .
(1)求实数 的值；
(2)判断 的奇偶性，并证明该结论；
(3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数 的取
值集合．
17．已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)求函数 在 时的值域；
(3)对任意的 ，不等式 恒成立，求 m的取值范围．
18．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2的正方形，侧面 是正三角形，
侧 平面 ， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求侧面 与底面 所成二面角的余弦值；
(3)求 点到平面 的距离．
19．已知函数 ，此时 有一个极值点 ，两个零点 ， （不妨
设 ），记点 ， ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)在三角形 中，当 时，证明： ；
(3)设 是动点，且 ， ， ， 是三角形 的三个内角，记
，若 在 时取到最小值 ，证明： ．江苏省扬州中学 2026-2027学年度高三 10月自主学习评估
数 学 试 卷 参 考 答 案
一、单项选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求的.
1.D 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C 7.A 8.A
二、多项选择题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。
9.AB 10.CD 11.ABD
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.（6，＋∞） 13. 14.（-∞，1]
四、解答题:本题共 5小题，共 77分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）由题意可得 ，即 ，解得 ，即 ，…………2分
所以集合 中的所有整数为 .…………5分
（2）当（CRA）∩B＝ 时，可知 ，…………7分
当 时， ，解得 ；…………9分
当 时，即 时，可得 ，解得 ，…………12分
综上，当（CRA）∩B＝ 时， .…………13分
16.（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足 ，…………1分
得 ，即 ，…………2分
整理得 ，即 ，…………4分
因为 ， 不恒为 0，所以必须 ，所以 …………5分
(2)奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则 ，…………7分
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，…………9分
因为 ， ，故 是奇函数.…………10分
（3）因为 单调递增， 单调递减，
故 单调递增，因此 在 上单调递增，…………11分
不等式 可化为 ，
即 ,…………12分
因为 单调递增，所以 ， ，…………13分
只需左边的最小值大于右边即可，令 ，
这是开口向上的二次函数，其最小值为 …………14分
因此 ，整理得 ，即 ，
解得 ，又 为整数，故 的值为 ，
整数 的取值集合是 .…………15分
17.（1） ，
由 ，得 .
所以 的单调递增区间为 .…………4分
（2）当 时 ，
因为 在 上递增，在 上递减， ，……7分
所以 在 上的值域为 .…………9分
（3）当 时， ，故 .…………11分
，
①当 时，不等式恒成立；…………12分②当 时，得 恒成立，
令 ，则 ， ，
在 上单调递增，最大值为 ，…………14分
所以 ，综上得 的取值范围为 .…………15分
18.(1)证明：在正方形 中， ，
又侧 平面 ，侧 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，…………1分
因为 平面 ，所以 ，…………2分
因为△ 是正三角形，M是 的中点，则 ，…………4分
又 ， 平面 ，所以 平面 ．…………5分
（2）取 ， 的中点分别为 ，连接 ，
则 ，因为 ，所以 ，
因为△PAD是正三角形，所以 ，…………6分
又侧面 平面 ，侧面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，…………7分
因为 平面 ，所以 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，…………8分
所以 是侧面 与底面 所成二面角的平面角．…………9分
因为正方形 的边长为 2，则 ， ，
所以 ，所以 ，…………10分
即侧面 与底面 所成二面角的余弦值为 ．…………11分
（3）因为在正方形 ABCD中， ，
又侧面 平面 ，侧 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，…………12分
因为 平面 ，所以 ，
所以△ 为等腰直角三角形， ，…………13分
，…………15分
设 到平面 的距离为 d，则 ，…………16分
解得 ，即 到平面 的距离为 ．…………17分
19.（1）易知函数定义域为 ， ， 令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .…………4分
(2)因为 ，且 ，所以 ．
又 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，且 ．…………6分
先证 ．
令 ．
则 ，且 ．
所以 ，从而 ．
因为 ，且 在 上单调递增， ，所以 ．
于是 ， ．
由 ，得 ．…………7分
再证 ．
有 ．
即 ．…………8分
令 ．
则 ．
当 时， ．…………9分
所以 ．
从而 ，即 ．…………10分
综上， ．…………11分
(3)由第（2）问知 ．
记 ．
因为 且 ，所以 ，并且 ．
由三角形内角和 ，有 ．
因此 ．…………13分
又 ．
令 ．
因为 ，可取 ，使 ．
当动点 取在 的范围内时，角 可取遍 ，故可以取到 ．
于是对固定的 ， 的最小值为 ．…………14分
下面研究 随 的变化．
令 ，则 ，所以 ．
由题意， 在 处取得最小值．
记 ，则 ．
又 ，且 ，所以 ，即 ．
当 时， ，故 ．
令 ．
则 ．
因此 ，从而 ．
于是 ．…………15分
又因为函数 在 上单调递增，且 ，
所以 ．…………16分
由 ，得 ．
因此 ，
且 ．
所以 ．…………17分

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