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鲁教版（五四制）七年级上册
4.4 实数·知识点+例题
一、学习目标
了解无理数和实数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的，能识别一个数是有理数还是无理数。
能按不同标准对实数进行分类（按定义分、按正负分）。
了解实数与数轴上的点一一对应；理解在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围相同。
会求实数的相反数和绝对值，能进行实数的简单运算，会比较两个实数的大小。
二、重点掌握方向与难点
重点（必须练熟）：
识别无理数：开方开不尽的数、含 的数、有规律但不循环的小数。
实数的两种分类方法，做到不重不漏。
求含根号的数的相反数、绝对值（关键判断正负）。
难点（容易丢分）：
“带根号的数不一定是无理数”（如 ）。
化简 时，先判断 与 的大小。
利用数轴条件化简含绝对值的式子。
三、知识点精讲与例题
知识点①　无理数与实数的概念
无理数： 无限不循环小数叫做无理数。常见三类：
开方开不尽的数，如 、；
含 的数，如 、；
有规律但不循环的小数，如 （相邻两个 1 之间 0 的个数依次加 1）。
实数： 有理数和无理数统称实数。
例 1（识别无理数）　在 、、、、、（相邻两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数有哪几个？
考点解析： 逐个判断： 是有限小数；； 是分数，都是有理数； 开方开不尽、 是无限不循环、 不循环，都是无理数。
答案： 无理数为 、、，共 3 个。
例 2（辨析说法）　下列说法正确的是（　　）
带根号的数都是无理数
无限小数都是无理数
无理数都是无限小数
D. 无理数包括正无理数、0 和负无理数
考点解析： A 错（）；B 错（无限循环小数是有理数）；C 对（无理数定义就是无限不循环小数）；D 错（0 是有理数）。
答案：B
例 3（估算无理数大小）　估计 的值在（　　）
A. 和 之间　B. 和 之间　C. 和 之间　D. 和 之间
考点解析： 找相邻的完全平方数：，所以 。
答案：C
知识点②　实数的分类
按定义分：实数分为有理数（整数、分数）和无理数； 按正负分：实数分为正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数）。
注意：0既不是正数也不是负数，但它是实数。
例 1（分类填空）　把下列各数分别填入相应集合：、、、、、、。
考点解析： 先化简：，， 是无限循环小数。再按定义分类。
有理数集合： 、、、、； 无理数集合： 、。
例 2（由 判断符号）　若实数 满足 ，则 是（　　）
A. 正数　B. 负数　C. 非正数　D. 非负数
考点解析： 说明 ，即 是负数或 0，也就是非正数。
答案：C
例 3（0 的归属）　下列关于 的说法：① 0 是有理数；② 0 是无理数；③ 0 是实数；④ 0 既不是正数也不是负数。其中正确的有哪些？
考点解析： 0 是整数，属于有理数；有理数和无理数统称实数，所以 0 也是实数；0 既不是正数也不是负数。
答案：①③④ 正确。
知识点③　实数与数轴、相反数与绝对值
实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示；反之亦然。
实数 的相反数是 ；实数 的绝对值是数轴上表示 的点到原点的距离。
例 1（求相反数和绝对值）　分别求下列各数的相反数和绝对值：、、。
考点解析： 关键判断正负：；；（因为 ）。
解： 的相反数是 ，绝对值是 ； ，相反数是 ，绝对值是 ； ，相反数是 ，绝对值是 。
例 2（数轴上的距离）　数轴上表示 的点到原点的距离是________。
考点解析： 一个数到原点的距离就是它的绝对值。
答案：。
例 3（由数轴位置化简）　实数 在数轴上的位置满足 且 ，化简 。
考点解析： 先判断绝对值内式子的正负：； 负 正且 ，所以 。
解： ，。 原式 。
知识点④　实数的运算与大小比较
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用。
比较大小：数轴上右边的点表示的数总比左边的大；比较两个无理数，可平方后比较（如比较 与 ：，所以 ）。
例 1（含绝对值的混合运算）　计算：
考点解析： ；，所以 ；。
解： 原式 。
例 2（立方根与绝对值）　计算：
考点解析： ；，减去它等于加 2；，所以 。
解： 原式 。
例 3（作差/平方法比较大小）　比较 与 的大小。
考点解析： 分母相同，只需比较分子 与 ，即比较 与 。
解： ，所以 ，即 。 因此 。4.4 实数 同步测试卷
鲁教版（五四制）七年级上册　
时间 90 分钟　满分 100 分
一、单项选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1.在2，-2，-5.5，10，8.19、六个数中，非负数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列说法错误的是（　　）
A.是有理数 B.是无理数
C.不是分数 D.的平方根是
3.的绝对值是（　　）
A.　 B.　　 C. 　　 D.
4.实数在数轴上位于-2与-1之间，则（　　）
A.　　 B.　 C.　 D.
5.下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A.-3与 B.与
C.-3与 D.与
6.若是无理数，且，则可能是（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为-2．若AE=AD，则数轴上点E所表示的数为（　　）
A.　　 B.　　
C.　　 D.
8. 设边长为的正方形的面积为2．下列关于的四种结论：
①是2的算术平方根；②是无理数；③可以用数轴上的一个点来表示；④是无限小数．其中正确结论是（　　）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
9. 的相反数是________，绝对值是________。
10. 比较大小：________（填 、 或 ）。
11. 写出一个比 大且比 小的无理数：________。
12. 化简：________。
13. 数轴上到原点距离为 的点表示的数是________。
14. 已知 ，则 ________。
三、解答题（共 58 分，写出必要的计算过程）
15.（16 分，每小题 4 分）计算：
（1） （2）
（3） （4）
16.（10 分）把下列各数填入相应的集合内：、、、、、、（相邻两个 1 之间依次多一个 0）、.
有理数集合：｛　　　　　　　　　　｝； 无理数集合：｛　　　　　　　　　　｝； 正实数集合：｛　　　　　　　　　　｝； 负实数集合：｛　　　　　　　　　　｝。
17.（10 分）实数 在数轴上满足 且 ，化简：.
18.（10 分）已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值.
19.（12 分）观察下列各式：
，，，……
（1）请你猜想，当 时，________；
（2）验证 时猜想是否成立.
参考答案与解析
一、选择题答案
1．D　2．D　3．B　4．B　5．A　6．C　7．A　8．A
选择题逐题解析：
D： 解：在2，-2，-5.5，10，8.19，中，是非负数的有：2，10，8.19， 4个数．
故选：D．
D： A、是有理数，不符合题意；
B、是无理数，不符合题意；
C、是无理数，不符合题意；
D、，5的平方根是，符合题意；
故选：D．
B： 解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
B： ，所以 ，。
A：解：A、-3与=3，是相反数，符合题意；
B、=3与，不是相反数，不合题意；
C、-3与=-3，不是相反数，不合题意；
D、=-3与-|-3|=-3，不是相反数，不合题意；
故选：A．
C：解：由于，由平均数的定义可知，
a可能是与的平均数，
即a可能为，
故选：C．
A： 负 正，异号相乘得负，；（A 错），（B 错），（D 错）。
A： 解：∵边长为的正方形的面积为2，
∴，
①是2的算术平方根，故此说法正确；
②是无理数，故此说法正确；
③可以用数轴上的一个点来表示，故此说法正确；
④是无限小数，故此说法正确；
综上分析可知，正确结论是①②③④．
故选：A．
二、填空题答案
9．；　10．　11．如 （答案不唯一）　12．　13．　14．
填空题逐题解析：
正数的相反数加负号，绝对值是它本身。
，，，所以 。
只要满足 的无理数均可，如 、 等。
，所以 。
到原点距离为 的点在原点左右各一个。
绝对值为 的数有两个，互为相反数。
三、解答题参考解答
15．（16 分）
（1）原式 。
（2）原式 。
（3）原式 。
（4）原式 。
16．（10 分）
先化简：，。
有理数集合： 、、、、； 无理数集合： 、、； 正实数集合： 、、、； 负实数集合： 、、。
17．（10 分）
由 且 ： ，所以 ； ，所以 ； ，所以 。
原式 。
18．（10 分）
因为 ，所以 的整数部分 ，小数部分 。
。
19．（12 分）
（1）猜想：。
（2）当 时： 左边 ； 右边 。
左边 = 右边，猜想成立。

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