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江苏省苏州市苏州中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等差数列满足，，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．2
2．若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项积，则（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列满足，则该数列的前13项的和为（ ）
A．45 B．55 C．78 D．110
5．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
6．设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ）
A． B．0 C． D．
二、多选题
9．下列叙述正确的是（ ）
A．与是不同的数列
B．是常数列
C．数列的通项公式为
D．数列是递增数列
10．已知数列满足，，记，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列，公比为3
B．数列的通项公式为
C．数列的前项和为
D．数列的前项和大于
11．设，数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
12．等比数列的前项和为，则的值为_____．
13．等差数列的前项和为，，且数列是公差为2的等差数列，则_______.
14．1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要发明了二进制，与二进制不同的是六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足，，，，则六进制数转换成十进制后的个位数为_____．
四、解答题
15．已知数列的通项公式为.
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的项？如果是，是第几项？若不是，说明理由.
16．已知数列，满足，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求满足中的最小值.
17．下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形.
(1)在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）；
1 2 3 4
1 3 27
1
(2)若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和.
（i）证明：当时，；
（ii）求数列的前项和.
18．将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成下表：
已知表中的第一列数，，，构成一个等差数列，记为，且，.表中每一行正中间的一个数，，，构成数列，其前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，.
（i）求的表达式；
（ii）记集合中有且仅有三个元素，求实数的取值范围.
19．已知数列满足，且，，记数列的前项和为.
(1)求与的值并证明，；
(2)试比较与的大小关系并说明理由；
(3)证明：.
《江苏省苏州市苏州中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C C D A A AD ABD
题号 11
答案 AD
1．C
2．A
3．C
4．C
5．C
6．D
7．A
8．A
9．AD
10．ABD
11．AD
12．
13．
14．1
15．(1)第3项为，第8项为.
(2)20是数列的项，是第10项，理由如下.
令，即，解得或，
因为是正整数，所以，所以20是数列的项，是第10项.
16．(1)由，
因为，所以，
则，又，
所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列.
(2)
(3)2025
17．(1)
分析图案易知，
1 2 3 4
1 3 9 27
1
则
(2)
（i）由题意得，
因为，
所以为以3为首项，为公比的等比数列，且该数列为正项递增数列，
又因为，
所以，当时，.
（ii）
18．(1)
(2)（i）；（ii）
19．(1)，且，令，得，令，得，
用数学归纳法证明，
当时，，命题成立；
假设当时，则时，，
结合 ，得，则当时，命题也成立，
所以，对所有成立.
(2)，理由如下.
，
由(1)知，故，结合，得，即，因此是严格递减数列，故.
(3)由，得，令，则，
先证明：，.
当时，，成立，
假设当时，则，于是所以当时，
故，即当时也成立，
由数学归纳法得，，（等号仅在时成立）.
接着证明：，.
当时，，，不等式成立，
假设当时，因为，所以当时，
即当时，不等式也成立，
由数学归纳法得，，（等号仅在时成立），
所以（等号仅在时成立）.
再证明：时，，.
由，得当时，
即，，.
所以，，
，
所以.

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