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浙江省玉环市实验初级中学2025-2026学年上学期八年级数学月考试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．）
1．下列相关医疗图标中，属于轴对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
3．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长等于（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．如图，直线，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于点B，C，连接，．若，则（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，，都是的中线，连接，若的面积是，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是　 　.
12．如图，已知，平分，，则　 　．
13．一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的底角的度数是　 　．
14．如图，平分，，，垂直平分交的延长线于F，连接，的度数为　 　．
15．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为　 　．
16．如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，第17～21题每小题8分，第22、23小题每小题10分，24小题12分，共72分．）
17．如图，在中，，点在延长线上，点在上，．求的度数．
18．如图，已知，，，则，请说明理由．
解：∵（ ），
∴______，
∴______，
在和中，
，
∴____________（ ），
∴（ ），
∴．
19．如图，B，D，E，C在同一直线上，已知AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=∠CAE
20．（学与练A第14页第8题）如图，请按照要求完成以下尺规作图．
（1）在的内部画出一条射线，使得．
（2）在射线上找出一点P，使得．
21．如图，，，，点在上，，相交于点.
（1）求证：；
（2）求证：.
22．如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的大小．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”．
【数学运用】
（1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数．
【拓展探索】
（2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________．
24．【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【问题解决】
（1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________；
如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________．
【方法应用】
（2）如图，在中，，，．求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A图形对折后两边无法重合，不是轴对称图形；B图形存在对称轴，对折后两侧完全重合，是轴对称图形；
C、D均找不到能使图形对折重合的直线，不是轴对称图形；
故选B．
【分析】本题考查轴对称图形的判定，沿一条直线对折后两边能完全重合的图形为轴对称图形，据此逐一判断选项即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+1=2＜3，∴1，1，3不能组成三角形，A不符合题意；
B、∵2+3=5=5，∴2，3，5不能组成三角形，B不符合题意；
C、∵3+4=7＜9，∴3，4，9不能组成三角形，C不符合题意；
D、∵5+6=11＞10，∴5，6，10能组成三角形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出最小边之和大于第三边，对各项进行判断即可。
3．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，满足，但是不满足，
当时，不满足条件；
当或时，满足，也满足，
故选：B．
【分析】举反例即所举的例子符合条件，但是不符合结论，据此判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即，
故选：C．
【分析】
根据边角边，也就是SAS判定定理的条件对选项逐一分析即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出即可.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DH垂直平分AB，∴ AD = BD，
又∵ EF垂直平分AC，
∴ AE = CE，
△ADE周长 = AD + DE + AE= BD + DE + CE= BC = 8，
故选：B．
【分析】本题运用线段垂直平分线的性质，线上任意一点到线段两端距离相等，通过等量替换，将三角形周长转化为线段BC的长求解。
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知：AC=AB
∴△ABC 是等腰三角形，∠ACB=∠ABC=65°。
∵ l1l2，
∴ ∠2=∠ABC=65°。
又 ∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴ ∠1=180°-65°-65°=50°。
故选：B．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，掌握等边对等角是解题的关键．由平行线的性质可得，由图可知：根据等边对等角可得，最后根据平角的定义即可解答．
9．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，=40
∴==40=20
∵CE是的中线，E是AB的中点.
∴==20=10
故选B．
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分，连续运用两次中线等分面积的性质分步求解即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC、△CDE均为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
两边同时加上公共角∠BCD，可得：
∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE
（1）判断选项①：AD=BE
证明：在△ACD和△BCE中，
AC=BC，
∠ACD=∠BCE，
CD=CE，
∴△ACD ≌ △BCE(SAS)
∴AD=BE，
因此，结论①正确.
（2）判断选项③：AP=BQ
证明：由△ACD ≌ △BCE，得∠CAP=∠CBQ
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠PCQ=60°
在△ACP和△BCQ中，
∠CAP=∠CBQ，
AC=BC，
∠ACP=∠BCQ=60°，
∴△ACP ≌ △BCQ(ASA)
∴AP=BQ，
因此，结论③正确.
（3）判断选项②：PQAE
证明：由△ACP ≌ △BCQ可得CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形
∴∠CPQ=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°（内错角相等），
∴PQAE，
因此，结论②正确.
（4）判断选项④：DE=DP
证明：假设DE=DP，
∵△CDE是等边三角形，DE=CD，则CD=DP，
又∠PCD=60°，可推出△CDP为等边三角形，∠CDP=60°，
与图形中P在线段AD上、∠ADC≠60°矛盾，故DE≠DP，
因此，结论④错误.
（5）判断选项⑤：∠AOB=60°
证明：由△ACD ≌ △BCE，得∠CAD=∠CBE
∠AOB = 180° ∠OAB ∠OBA
= 180° (∠CAB ∠CAD) (∠CBA+∠CBE)
= 180° ∠CAB ∠CBA
等边△ABC中∠CAB=∠CBA=60°
∴∠AOB=180° 60° 60°=60°，
因此，结论⑤正确.
综上，①②③⑤共4个结论正确，
故选：C.
【分析】本题是经典双等边三角形几何模型，利用等边三角形三边相等、内角均为60°的特性证明三角形全等，借助全等三角形对应边、对应角相等，依次推导线段相等、直线平行、固定角度，逐条判断五个结论的对错即可.
11．【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”.
故答案为：三个内角相等的三角形是等边三角形.
【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形， 结论为三个内角相等，互换即可.
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180° 150°=30°，
∵ABCD，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∵∠CDE是△BCD的外角，
∴∠CDE=∠C+∠CBD，
∴∠C=∠CDE ∠CBD=150° 30°=120°，
故答案为：120°.
【分析】本题考查平行线性质、角平分线与三角形外角性质，先通过邻补角算出CDB的度数，再结合平行、角平分线得到底角，最后利用外角公式求出C.
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形的一个外角等于，
∴这个等腰三角形的一个内角是，
∴这个等腰三角形的底角的度数是，
故答案为：．
【分析】
根据等腰三角形的来年各个底角相等和三角形的内角和定理解答即可．
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，
∴∠ADF=∠DAF
根据三角形外角的性质：
∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
两边同时减去相等的角，可得∠CAF=∠B=42°。
故答案为：42.
【分析】本题综合考查线段垂直平分线性质、三角形外角性质与角平分线定义，借助垂直平分线推出AF=DF完成等角转化，结合外角关系和角平分线进行角度等量代换，即可得出∠CAF的度数。
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵BC=10，S△ABC=60，
∴×10×AD=60，解得：AD=12
连接BP，
∵EF垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD。
当A、P、D三点共线时，PA+PD取得最小值，最小值等于AD的长度.
∴PB+PD的最小值为12.
故答案为：12.
【分析】本题结合等腰三角形三线合一、三角形面积、垂直平分线性质、将军饮马最短路径模型解题。先通过面积求出底边高AD，再利用垂直平分线转化线段，根据两点之间线段最短确定最小值为AD。
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在ABC中，，
∴，
∵ABC的角平分线，交于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵ABC的角平分线，交于点，
∴点O到ABC三边的距离相等，
设点O到ABC三边的距离为h，
∵BOE和BOC等高，面积之比等于底边长之比.
∴；
如图所示，作的角平分线交于点T，
设，
∴，
由角平分线的定义可得，
又∵，
∴BOEBOT(ASA)，
∴，
∴，
根据角平分线分线段成比例性质可得：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，与角平分线有关的三角形内角和问题，由三角形内角和定理和角平分线的定义先求出∠BOC=120°，则∠BOE=60°；由角平分线的性质可得点O到△ABC三边的距离相等，利用面积比得到=，然后作∠BOC的角平分线交BC于T，最后证明BOEBOT，转化线段即可求出的值.
17．【答案】解：∵，∴，
∵，
∴．

【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先根据三角形外角的性质计算得到，再结合等腰三角形两底角相等的性质，即可推出，得到对应结果.
18．【答案】已知；；；，，；；全等三角形对应角相等
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BE=CF（已知），
根据等式的基本性质，等式两边同时加上CE，得：BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在和中，
，
∴（），
∴（全等三角形对应角相等），
∴ACDF
故答案为：已知；；；，，；；全等三角形对应角相等.
【分析】本题综合考查线段和差推导、全等三角形判定定理、全等三角形性质、平行线判定定理。先利用等式基本性质，在BE=CF两边同时加公共线段CE，推导出BC=EF；再结合已知AB=DE，∠B=∠DEF，通过SAS证明出△ABC与△DEF全等；根据全等三角形对应角相等得出∠ACB=∠F，最后利用“同位角相等，两直线平行”可得出ACDF.
19．【答案】证明：∵ AB=AC，AD=AE，
∴ ∠B=∠C，∠ADE=∠AED
∵ ∠ADB+∠ADE=180°，∠AEC+∠AED=180°，
∴ ∠ADB=∠AEC
∵ AB=AC，AD=AE，
∴ AB-AD=AC-AE，即BD=CE.
在和中，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查等腰三角形性质、等角的补角相等、全等三角形SAS判定定理与性质。先由AB=AC、AD=AE得到两组底角相等，利用等角的补角相等得出∠ADB=∠AEC；再根据等式性质推导出BD=CE，通过SAS可得出△ADB≌△AEC，最后由全等三角形对应角相等可得出∠BAD=∠CAE.
20．【答案】（1）解：如图：射线即为所求．
尺规作∠AOB的角平分线OE：
① 以O为圆心，取适当长为半径画弧，交OA、OB于两点；
② 分别以弧与OA、OB的交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径，在∠AOB内部画两段弧，两弧交于一点；
③ 过点O与两弧交点作射线OE，射线OE即为所求，从而得出：AOE=BOE
（2）解：如图：点P即为所求．
在OE上找点P使PC=PD：
① 分别以C、D为圆心，大于CD长为半径，在线段CD上下两侧各画两段弧；
② 连接上下两组弧的交点，得到线段CD的垂直平分线；
③ CD的垂直平分线与射线OE的交点即为点P，从而使得PC=PD
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查基础尺规作图，涉及角平分线作图、线段垂直平分线作图。(1) 要使∠AOE=∠BOE，只需作出∠AOB的角平分线OE；
(2) 到点C、D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上，因此作CD的垂直平分线，该线与OE的交点即为点P.
（1）解：如图：射线即为所求．
（2）解：如图：点P即为所求．
21．【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE
即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)。
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D
∵∠BFE=∠DFA（对顶角相等），
在△BFE、△DFA中，三角形内角和均为180°
∴180° ∠B ∠BFE=180° ∠D ∠DFA
即∠BEF=∠BAD
又∵∠BAD=∠CAE
∴∠BEF=∠CAE
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形SAS判定定理、全等三角形对应角相等、对顶角性质、三角形内角和定理。(1) 通过角的和差变形得到夹角相等，结合两组对应边相等，利用SAS证明ABC和ADE全等；(2) 由ABC和ADE全等得到一组对应角相等，搭配两个对顶角相等，结合三角形内角和等量代换，先证明出∠BEF=∠BAD，再结合已知条件即可得出结论.
22．【答案】（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：
，
，
，
同理，，
，
的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明；
（2）根据，可得，求得∠BMF和∠CME，再根据由平角即可求得．
（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：，
，，
，，
，，
，
的度数为．
23．【答案】（1），；
解：∵△ABC是“友爱三角形”，∠ACB=90°，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A > ∠B），
∴∠A = 2∠B
∵∠A + ∠B = 180° 90° = 90°，
将∠A = 2∠B代入得：2∠B + ∠B = 90°，
解得∠B = 30°，
∴∠A = 2×30° = 60°
（2）或
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】(2) 解：在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，
∴∠B = 180° 70° 66° = 44°
∵点D在AB上，∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC > ∠B = 44°，且∠ACD < ∠ACB = 70°
△ACD是“友爱三角形”，分两种有效情况讨论：
① 当∠ACD =∠A时：
∠ACD =×66° = 33°，
此时∠ADC = 180° 66° 33° = 81° > 44°，符合条件。
② 当∠ACD =∠ADC时，即∠ADC = 2∠ACD：
由三角形内角和得：∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°，
代入得：66° + ∠ACD + 2∠ACD = 180°，
3∠ACD = 114°，解得∠ACD = 38° < 70°，符合条件。
综上所述，的度数为或．
【分析】(1) 本问考查直角三角形两锐角互余与新定义理解。已知直角三角形∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°；结合“友爱角”定义与∠A＞∠B的条件，得到∠A=2∠B，通过代入解方程即可求出两个角的度数。
(2) 本问考查三角形内角和定理与分类讨论思想。先利用△ABC的内角和算出∠B的度数，结合三角形外角性质确定∠ADC的取值范围；再根据“友爱三角形”的定义，对哪两个角互为“友爱角”进行分类讨论，筛选出符合角度范围的有效情况，分别计算出∠ACD的度数。
24．【答案】（1）；；
（2）在中，，，，如图，作，交于点，
，，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：；
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故答案为：；
（3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于，
，，，
，，
由（1）得：，
，
；
以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于，
，，，
，，
由（1）得：，
，
；
综上所述，的面积为或．
【分析】
（1）已知，，因此可得。又因为，所以，同时，根据同角的余角相等可以推出，满足AAS全等判定条件即可证得，进而得到结论；和①的证明思路一致，同样证明，即可推得对应结论；
（2）过点B作，交于点，只需证明，即可推导出最终结果；
（3）需要分为两种情况分别求解：第一种为，第二种为，结合等腰直角三角形的性质与第（1）问得到的结论进行计算，即可得到答案.
1 / 1浙江省玉环市实验初级中学2025-2026学年上学期八年级数学月考试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．）
1．下列相关医疗图标中，属于轴对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A图形对折后两边无法重合，不是轴对称图形；B图形存在对称轴，对折后两侧完全重合，是轴对称图形；
C、D均找不到能使图形对折重合的直线，不是轴对称图形；
故选B．
【分析】本题考查轴对称图形的判定，沿一条直线对折后两边能完全重合的图形为轴对称图形，据此逐一判断选项即可。
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+1=2＜3，∴1，1，3不能组成三角形，A不符合题意；
B、∵2+3=5=5，∴2，3，5不能组成三角形，B不符合题意；
C、∵3+4=7＜9，∴3，4，9不能组成三角形，C不符合题意；
D、∵5+6=11＞10，∴5，6，10能组成三角形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出最小边之和大于第三边，对各项进行判断即可。
3．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，满足，但是不满足，
当时，不满足条件；
当或时，满足，也满足，
故选：B．
【分析】举反例即所举的例子符合条件，但是不符合结论，据此判断解答即可．
4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
5．如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即，
故选：C．
【分析】
根据边角边，也就是SAS判定定理的条件对选项逐一分析即可.
6．如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出即可.
7．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长等于（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DH垂直平分AB，∴ AD = BD，
又∵ EF垂直平分AC，
∴ AE = CE，
△ADE周长 = AD + DE + AE= BD + DE + CE= BC = 8，
故选：B．
【分析】本题运用线段垂直平分线的性质，线上任意一点到线段两端距离相等，通过等量替换，将三角形周长转化为线段BC的长求解。
8．如图，直线，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于点B，C，连接，．若，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知：AC=AB
∴△ABC 是等腰三角形，∠ACB=∠ABC=65°。
∵ l1l2，
∴ ∠2=∠ABC=65°。
又 ∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴ ∠1=180°-65°-65°=50°。
故选：B．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，掌握等边对等角是解题的关键．由平行线的性质可得，由图可知：根据等边对等角可得，最后根据平角的定义即可解答．
9．如图，，都是的中线，连接，若的面积是，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，=40
∴==40=20
∵CE是的中线，E是AB的中点.
∴==20=10
故选B．
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分，连续运用两次中线等分面积的性质分步求解即可得出答案。
10．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC、△CDE均为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
两边同时加上公共角∠BCD，可得：
∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE
（1）判断选项①：AD=BE
证明：在△ACD和△BCE中，
AC=BC，
∠ACD=∠BCE，
CD=CE，
∴△ACD ≌ △BCE(SAS)
∴AD=BE，
因此，结论①正确.
（2）判断选项③：AP=BQ
证明：由△ACD ≌ △BCE，得∠CAP=∠CBQ
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠PCQ=60°
在△ACP和△BCQ中，
∠CAP=∠CBQ，
AC=BC，
∠ACP=∠BCQ=60°，
∴△ACP ≌ △BCQ(ASA)
∴AP=BQ，
因此，结论③正确.
（3）判断选项②：PQAE
证明：由△ACP ≌ △BCQ可得CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形
∴∠CPQ=60°，
∴∠CPQ=∠ACB=60°（内错角相等），
∴PQAE，
因此，结论②正确.
（4）判断选项④：DE=DP
证明：假设DE=DP，
∵△CDE是等边三角形，DE=CD，则CD=DP，
又∠PCD=60°，可推出△CDP为等边三角形，∠CDP=60°，
与图形中P在线段AD上、∠ADC≠60°矛盾，故DE≠DP，
因此，结论④错误.
（5）判断选项⑤：∠AOB=60°
证明：由△ACD ≌ △BCE，得∠CAD=∠CBE
∠AOB = 180° ∠OAB ∠OBA
= 180° (∠CAB ∠CAD) (∠CBA+∠CBE)
= 180° ∠CAB ∠CBA
等边△ABC中∠CAB=∠CBA=60°
∴∠AOB=180° 60° 60°=60°，
因此，结论⑤正确.
综上，①②③⑤共4个结论正确，
故选：C.
【分析】本题是经典双等边三角形几何模型，利用等边三角形三边相等、内角均为60°的特性证明三角形全等，借助全等三角形对应边、对应角相等，依次推导线段相等、直线平行、固定角度，逐条判断五个结论的对错即可.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是　 　.
【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”.
故答案为：三个内角相等的三角形是等边三角形.
【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形， 结论为三个内角相等，互换即可.
12．如图，已知，平分，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180° 150°=30°，
∵ABCD，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∵∠CDE是△BCD的外角，
∴∠CDE=∠C+∠CBD，
∴∠C=∠CDE ∠CBD=150° 30°=120°，
故答案为：120°.
【分析】本题考查平行线性质、角平分线与三角形外角性质，先通过邻补角算出CDB的度数，再结合平行、角平分线得到底角，最后利用外角公式求出C.
13．一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的底角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形的一个外角等于，
∴这个等腰三角形的一个内角是，
∴这个等腰三角形的底角的度数是，
故答案为：．
【分析】
根据等腰三角形的来年各个底角相等和三角形的内角和定理解答即可．
14．如图，平分，，，垂直平分交的延长线于F，连接，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，
∴∠ADF=∠DAF
根据三角形外角的性质：
∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，
∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
两边同时减去相等的角，可得∠CAF=∠B=42°。
故答案为：42.
【分析】本题综合考查线段垂直平分线性质、三角形外角性质与角平分线定义，借助垂直平分线推出AF=DF完成等角转化，结合外角关系和角平分线进行角度等量代换，即可得出∠CAF的度数。
15．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵BC=10，S△ABC=60，
∴×10×AD=60，解得：AD=12
连接BP，
∵EF垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD。
当A、P、D三点共线时，PA+PD取得最小值，最小值等于AD的长度.
∴PB+PD的最小值为12.
故答案为：12.
【分析】本题结合等腰三角形三线合一、三角形面积、垂直平分线性质、将军饮马最短路径模型解题。先通过面积求出底边高AD，再利用垂直平分线转化线段，根据两点之间线段最短确定最小值为AD。
16．如图，在中，，的角平分线，交于点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在ABC中，，
∴，
∵ABC的角平分线，交于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵ABC的角平分线，交于点，
∴点O到ABC三边的距离相等，
设点O到ABC三边的距离为h，
∵BOE和BOC等高，面积之比等于底边长之比.
∴；
如图所示，作的角平分线交于点T，
设，
∴，
由角平分线的定义可得，
又∵，
∴BOEBOT(ASA)，
∴，
∴，
根据角平分线分线段成比例性质可得：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，与角平分线有关的三角形内角和问题，由三角形内角和定理和角平分线的定义先求出∠BOC=120°，则∠BOE=60°；由角平分线的性质可得点O到△ABC三边的距离相等，利用面积比得到=，然后作∠BOC的角平分线交BC于T，最后证明BOEBOT，转化线段即可求出的值.
三、解答题（本大题共8小题，第17～21题每小题8分，第22、23小题每小题10分，24小题12分，共72分．）
17．如图，在中，，点在延长线上，点在上，．求的度数．
【答案】解：∵，∴，
∵，
∴．

【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先根据三角形外角的性质计算得到，再结合等腰三角形两底角相等的性质，即可推出，得到对应结果.
18．如图，已知，，，则，请说明理由．
解：∵（ ），
∴______，
∴______，
在和中，
，
∴____________（ ），
∴（ ），
∴．
【答案】已知；；；，，；；全等三角形对应角相等
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BE=CF（已知），
根据等式的基本性质，等式两边同时加上CE，得：BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
在和中，
，
∴（），
∴（全等三角形对应角相等），
∴ACDF
故答案为：已知；；；，，；；全等三角形对应角相等.
【分析】本题综合考查线段和差推导、全等三角形判定定理、全等三角形性质、平行线判定定理。先利用等式基本性质，在BE=CF两边同时加公共线段CE，推导出BC=EF；再结合已知AB=DE，∠B=∠DEF，通过SAS证明出△ABC与△DEF全等；根据全等三角形对应角相等得出∠ACB=∠F，最后利用“同位角相等，两直线平行”可得出ACDF.
19．如图，B，D，E，C在同一直线上，已知AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=∠CAE
【答案】证明：∵ AB=AC，AD=AE，
∴ ∠B=∠C，∠ADE=∠AED
∵ ∠ADB+∠ADE=180°，∠AEC+∠AED=180°，
∴ ∠ADB=∠AEC
∵ AB=AC，AD=AE，
∴ AB-AD=AC-AE，即BD=CE.
在和中，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查等腰三角形性质、等角的补角相等、全等三角形SAS判定定理与性质。先由AB=AC、AD=AE得到两组底角相等，利用等角的补角相等得出∠ADB=∠AEC；再根据等式性质推导出BD=CE，通过SAS可得出△ADB≌△AEC，最后由全等三角形对应角相等可得出∠BAD=∠CAE.
20．（学与练A第14页第8题）如图，请按照要求完成以下尺规作图．
（1）在的内部画出一条射线，使得．
（2）在射线上找出一点P，使得．
【答案】（1）解：如图：射线即为所求．
尺规作∠AOB的角平分线OE：
① 以O为圆心，取适当长为半径画弧，交OA、OB于两点；
② 分别以弧与OA、OB的交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径，在∠AOB内部画两段弧，两弧交于一点；
③ 过点O与两弧交点作射线OE，射线OE即为所求，从而得出：AOE=BOE
（2）解：如图：点P即为所求．
在OE上找点P使PC=PD：
① 分别以C、D为圆心，大于CD长为半径，在线段CD上下两侧各画两段弧；
② 连接上下两组弧的交点，得到线段CD的垂直平分线；
③ CD的垂直平分线与射线OE的交点即为点P，从而使得PC=PD
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查基础尺规作图，涉及角平分线作图、线段垂直平分线作图。(1) 要使∠AOE=∠BOE，只需作出∠AOB的角平分线OE；
(2) 到点C、D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上，因此作CD的垂直平分线，该线与OE的交点即为点P.
（1）解：如图：射线即为所求．
（2）解：如图：点P即为所求．
21．如图，，，，点在上，，相交于点.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE
即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)。
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D
∵∠BFE=∠DFA（对顶角相等），
在△BFE、△DFA中，三角形内角和均为180°
∴180° ∠B ∠BFE=180° ∠D ∠DFA
即∠BEF=∠BAD
又∵∠BAD=∠CAE
∴∠BEF=∠CAE
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形SAS判定定理、全等三角形对应角相等、对顶角性质、三角形内角和定理。(1) 通过角的和差变形得到夹角相等，结合两组对应边相等，利用SAS证明ABC和ADE全等；(2) 由ABC和ADE全等得到一组对应角相等，搭配两个对顶角相等，结合三角形内角和等量代换，先证明出∠BEF=∠BAD，再结合已知条件即可得出结论.
22．如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：
，
，
，
同理，，
，
的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明；
（2）根据，可得，求得∠BMF和∠CME，再根据由平角即可求得．
（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：，
，，
，，
，，
，
的度数为．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”．
【数学运用】
（1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数．
【拓展探索】
（2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________．
【答案】（1），；
解：∵△ABC是“友爱三角形”，∠ACB=90°，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A > ∠B），
∴∠A = 2∠B
∵∠A + ∠B = 180° 90° = 90°，
将∠A = 2∠B代入得：2∠B + ∠B = 90°，
解得∠B = 30°，
∴∠A = 2×30° = 60°
（2）或
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】(2) 解：在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，
∴∠B = 180° 70° 66° = 44°
∵点D在AB上，∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC > ∠B = 44°，且∠ACD < ∠ACB = 70°
△ACD是“友爱三角形”，分两种有效情况讨论：
① 当∠ACD =∠A时：
∠ACD =×66° = 33°，
此时∠ADC = 180° 66° 33° = 81° > 44°，符合条件。
② 当∠ACD =∠ADC时，即∠ADC = 2∠ACD：
由三角形内角和得：∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°，
代入得：66° + ∠ACD + 2∠ACD = 180°，
3∠ACD = 114°，解得∠ACD = 38° < 70°，符合条件。
综上所述，的度数为或．
【分析】(1) 本问考查直角三角形两锐角互余与新定义理解。已知直角三角形∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°；结合“友爱角”定义与∠A＞∠B的条件，得到∠A=2∠B，通过代入解方程即可求出两个角的度数。
(2) 本问考查三角形内角和定理与分类讨论思想。先利用△ABC的内角和算出∠B的度数，结合三角形外角性质确定∠ADC的取值范围；再根据“友爱三角形”的定义，对哪两个角互为“友爱角”进行分类讨论，筛选出符合角度范围的有效情况，分别计算出∠ACD的度数。
24．【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【问题解决】
（1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________；
如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________．
【方法应用】
（2）如图，在中，，，．求的面积．
【拓展迁移】
（3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
【答案】（1）；；
（2）在中，，，，如图，作，交于点，
，，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）或
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：；
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故答案为：；
（3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于，
，，，
，，
由（1）得：，
，
；
以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于，
，，，
，，
由（1）得：，
，
；
综上所述，的面积为或．
【分析】
（1）已知，，因此可得。又因为，所以，同时，根据同角的余角相等可以推出，满足AAS全等判定条件即可证得，进而得到结论；和①的证明思路一致，同样证明，即可推得对应结论；
（2）过点B作，交于点，只需证明，即可推导出最终结果；
（3）需要分为两种情况分别求解：第一种为，第二种为，结合等腰直角三角形的性质与第（1）问得到的结论进行计算，即可得到答案.
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