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浙江省杭州市拱墅区大关中学2025－2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．“打开电视，正在播放新闻”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“打开电视，正在播放新闻”这个事件是随机事件，
故选：A．
【分析】
依据随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，完成判定即可.
2．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的顶点坐标为（3，1）
C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2 (x－3)2 ＋1是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，
A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；
B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；
C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；
D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的顶点坐标、对称轴，开口方向和增减性逐项判断解答即可．
3．在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有3个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为30%，由此可以推算出约为（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：m=10．
故可以推算出约为10．
故选C．
【分析】利用频率估计概率的思想求解：在相同条件下进行大量重复试验时，随机事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以根据这个性质列出比例方程，求得目标未知数。
4．已知抛物线 经过点 ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴物线的解析式为： ，
∵ 时， ，
∴抛物线必经过的点是 ．
故答案为：B．
【分析】将已知点的坐标代入 确定抛物线的解析式，再计算出自变量为0时所对应的函数值即可求解．
5．将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　）
A．向右平移2个单位，向上平移3个单位
B．向左平移2个单位，向下平移3个单位
C．向右平移2个单位，向下平移3个单位
D．向左平移2个单位，向上平移3个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线平移得到抛物线，其平移方式是向左平移2个单位，向上平移3个单位．
故选：D．
【分析】按照平移规则“左加右减，上加下减”进行分析判断即可得出结论。
6．已知，，是抛物线上的点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口方向向上，
∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴解析式.
7．已知二次函数，y与x的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在3与4之间
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线与轴的交于正半轴，故AB错误；
当时，有，故C错误；
当时，有，
解得：，
∴方程的正根在3与4之间，故D正确；
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得抛物线开口方向向下以及抛物线与轴的交于正半轴，即可判断AB错误，然后分别令，，即可判断C错误，D正确.
8．已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，若y1＜y2．则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜ B．x＞2或x＜﹣
C．x＜﹣2或x＞ D．﹣＜x＜2
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图像可知，y1＜y2时，
即函数y2＝kx+b在函数y1＝ax2+bx+c上方时x的取值范围，
∴﹣2＜x＜时，y1＜y2，
故选：A．
【分析】通过观察函数图象，能够直接得出当满足y1y2时，对应的自变量x的取值范围.
9．已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可知，，且关于的一元二次方程的根的判别式小于0，
即，
解得，
综上，，且，
故选：D．
【分析】根据题意得到a>0，抛物线与x轴没有交点，即根的判别式小于0解答即可．
10．设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故C选项错误；
如图所示，若，则，
故B选项正确，D选项错误；
故选：B
【分析】
根据二次函数的表达式求出a1，a2，再通过作差法比较a1，a2的大小即可.
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）．
11．已知二次函数，顶点是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数顶点是．
故答案为：．
【分析】将二次函数的一般式转化为顶点式，通过配方法把函数解析式整理为顶点式，进而得到顶点坐标.
12．如图，已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，则方程的两根是　 　．
【答案】，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，的两个根为或．
故答案为：，．
【分析】结合方程的解对应函数与轴交点横坐标的性质，函数图象与轴交点的横坐标，就是函数值时对应方程的解，以及二次函数的对称性，即可求出方程的两个根。
13．植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考查树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为　 　（结果精确到0.1）
植树总数 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：植树总数
成活数
成活的频率
由此估计这种树苗成活的概率约为
故答案为．
【分析】
先分别计算出植树的总数量，以及成活的树木数量，再根据概率公式计算出树木成活的概率.
14．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数中，，
抛物线开口向上，
在对称轴的左侧随的增大而减小，
抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
故答案为：．
【分析】
由给出的二次函数解析式，可以得到该函数的对称轴为，且该抛物线开口向上，由此可以推出，在对称轴的左侧，会随着的增大而减小，据此即可推导得出结论.
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，，
抛物线经过点，
抛物线的对称轴为直线，
点的对称点是，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
【分析】从给定的二次函数解析式得出，该抛物线一定经过点；已知该抛物线的对称轴为直线，根据抛物线的对称性，可以得到点关于对称轴的对称点为，再结合二次函数的图象即可判断：当满足时，自变量的取值范围为.
16．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线.下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的是　 　.
【答案】①③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在(0， 2)和(0， 1)之间，
∴a>0，， 2∴b<0，abc>0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A( 1，0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴当x=2时，y=4a+2b+c<0，结论②错误；
③∵a>0，b<0，c<0，
∴4ac<0，>0，
∴，结论③正确；
④当x= 1时，y=a b+c=0，
∴a b= c.
∵b= 2a，
∴3a= c.
又∵ 2∴，结论④正确；
⑤∵当x= 1时，y=a b+c=0，a>0，
∴ b+c<0，
∴b>c，结论⑤正确。
综上所述：正确的结论有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤.
【分析】①根据抛物线开口方向可知：开口向上，得a>0；对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可得a与b异号，因此b<0；抛物线与y轴交于负半轴，可得c<0。三个数相乘，负负得正再乘正，因此abc>0，结论①正确；
②已知抛物线对称轴为直线x=1，且一个交点A(-1，0)，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)。结合抛物线开口向上，可推出在对称轴右侧，y随x增大而增大，因此当x=2时，对应的点在x轴下方，即y=4a+2b+c<0，结论②错误；
③由a>0可得8a>0，抛物线顶点纵坐标在(1，-4)下方，即顶点纵坐标4ac-b2<0，因此一定满足，结论③正确；
④因为x=-1时抛物线对应的函数值为0，即y=a-b+c=0，又由对称轴b=-2a，代入上式整理得3a=-c，即c=-3a。已知-2⑤由a-b+c=0可得a=b-c，已知a>0，因此b-c>0，即b>c，结论⑤正确．综上即可得出结论。
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.
【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】先把抛物线的解析式写成顶点式，再利用待定系数法求函数解析式即可.
18．已知二次函数．
（1）写出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）当时，直接写出函数的取值范围．
【答案】（1）解：由二次函数解析式可知，二次项系数，
二次函数开口向上，
，
二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（2）解：当时，二次函数在时，取得最小值；
当时，，当时，，
当时，函数的取值范围为．
【分析】（1）根据给出的二次函数解析式直接判断抛物线的开口方向，再把二次函数的一般式配方转化为顶点式，就能得到该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）已知自变量的取值范围是，结合二次函数的开口方向与对称轴可知，这个区间内函数在处取得最小值，接下来分别计算和对应的函数值，比较后就能得到区间内函数的最大值，进而推导出函数的取值范围。
（1）解：由二次函数解析式可知，二次项系数，
二次函数开口向上，
，
二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：当时，二次函数在时，取得最小值；
当时，，当时，，
当时，函数的取值范围为．
19．年春节档电影票房火爆，电影《热辣滚烫》和《飞驰人生》深受观众喜爱，甲、乙两人从这两部电影中任意选择一部观看．
（1）甲选择《飞驰人生》的概率是________；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择同一部电影的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一部电影的情况有种，即和，
∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵电影有电影《热辣滚烫》和《飞驰人生》两部，
∴甲选择《飞驰人生》的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）直接运用概率公式求解；
（2）先根据题意画出树状图，再通过树状图找出甲、乙两人选择同一部电影的所有情况，最后借助概率公式计算得到对应概率.
（1）解：∵电影有电影《热辣滚烫》和《飞驰人生》两部，
∴甲选择《飞驰人生》的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一部电影的情况有种，即和，
∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为．
20．已知二次函数．
（1）二次函数图象的对称轴是 　 　；
（2）当时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式．
【答案】（1）
（2）解： ∵，
又∵，
∴当时，y取得最小值为．
由（1）知：抛物线y＝ax2+2ax﹣2的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数在范围内，当时y取得最大值为，
∵当时，y的最大值与最小值的差为3，
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：二次函数图象的对称轴是：．
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到结果；
（2）结合二次函数的性质，先分别求出y的最大值和最小值，再结合已知条件列出关于a的方程，求解方程即可得到最终结果。
（1）解：二次函数图象的对称轴是：．
故答案为：；
（2）∵，
又∵，
∴当时，y取得最小值为．
由（1）知：抛物线y＝ax2+2ax﹣2的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数在范围内，当时y取得最大值为，
∵当时，y的最大值与最小值的差为3，
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为．
21．如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．
【答案】（1）解：当时，，
解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），
∴抛物线与轴交于，，
∵直线经过点，
∴，
解得：
（2）解：由上可得直线解析式为：，
把代入中得：，
整理得，
解得： (舍)，，
把代入，
得，
∴，
∴
（3）当时，一次函数值大于二次函数值
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：根据图象可得：在线段部分，直线函数值在抛物线函数值上方，
∵，，
∴，
∴当时，一次函数值大于二次函数值．
【分析】（1）根据函数与方程的关系，令，解所得的一元二次方程，就能得到抛物线与轴的两个交点坐标，再将点的坐标代入一次函数解析式，就可以计算得到的值。
（2）先求一次函数和抛物线的交点的坐标，把代入抛物线解析式，解所得的一元二次方程，即可确定点的坐标，再结合函数图象，即可计算得到三角形的面积。
（3）结合函数图象可以看出，在点和点之间的线段对应的区间内，一次函数的函数值始终大于抛物线的函数值，结合点和点的横坐标，就能确定满足要求的的取值范围。
（1）解：当时，，
解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），
∴抛物线与轴交于，，
∵直线经过点，
∴，
解得：；
（2）解：由上可得直线解析式为：，
把代入中得：，
整理得，
解得： (舍)，，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：根据图象可得：在线段部分，直线函数值在抛物线函数值上方，
∵，，
∴，
∴当时，一次函数值大于二次函数值．
22．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：设花圃的宽为，则，
根据题意得：
∵，
∴．
（2），
，，
当时，．
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 （1）依托矩形面积计算法则，结合边长数量关系建立面积与自变量之间的函数表达式；
（2）借助二次函数图象性质，确定函数顶点取值，求解面积最值结果 ．
（1）解：设花圃的宽为，则，
根据题意得：
∵，
∴．
（2），
，，
当时，．
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是
23．在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】（1）解：将代入中，
得，
解得，
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述
（3）解：关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入函数解析式，可求出t的值.
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论：当，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，可得到符合题意的t的值.
（3）利用点A、C的坐标j及二次函数的对称性，可得到，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
24．某网店经营一种热销小商品，每件成本10元，经过调研发现，这种小商品20天内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如下表．
时间（天） 1 5 9 13 17 21
日销售量y（件） 98 90 82 74 66 58
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式；
（2）在20天的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的20天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元（a为整数）利润给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的最小值．
【答案】解：（1）设 y（件）与时间t（天）函数关系式是y＝kt＋b，代入（1，98）、（5，90）得
，
解得，
即y（件）与时间t（天）函数关系式是y＝ 2t＋100；
（2）设日销售利润为w元，
，
∴当t＝15时，w取得最大值，此时w＝1225，
答：在20天的销售中，第15天的销售利润最大，最大日销售利润为1225元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为W元，
W＝（20＋t 10 a）（ 2t＋100）＝ （t 15 a）2＋a2 70a＋1225，
∵这20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，a为整数，
∴15＋a>19.5，
解得a>4.5，
为整数，的最小值为5
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）结合表格给出的数据与题干描述，可以直接推导出日销售量y（件）和销售时间t（天）之间的函数关系式；
（2）先根据销售利润的计算规则，整理出日销售利润和销售时间t之间的函数解析式，再结合二次函数的图象与性质，即可求解最大日销售利润；
（3）先根据题意，整理出扣除捐赠后的日销售利润和销售时间t之间的函数解析式，再结合二次函数的增减性性质，即可确定出a的取值范围，进而得到a的最小值。
1 / 1浙江省杭州市拱墅区大关中学2025－2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．“打开电视，正在播放新闻”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件
2．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的顶点坐标为（3，1）
C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3．在一个暗箱里放有个除颜色外完全相同的球，这个球中红球只有3个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为30%，由此可以推算出约为（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
4．已知抛物线 经过点 ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（　　）
A． B． C． D．
5．将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（　　）
A．向右平移2个单位，向上平移3个单位
B．向左平移2个单位，向下平移3个单位
C．向右平移2个单位，向下平移3个单位
D．向左平移2个单位，向上平移3个单位
6．已知，，是抛物线上的点，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数，y与x的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在3与4之间
8．已知函数y1＝ax2+bx+c与函数y2＝kx+b的图象大致如图所示，若y1＜y2．则自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜ B．x＞2或x＜﹣
C．x＜﹣2或x＞ D．﹣＜x＜2
9．已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
10．设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）．
11．已知二次函数，顶点是　 　．
12．如图，已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，则方程的两根是　 　．
13．植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考查树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为　 　（结果精确到0.1）
植树总数 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
14．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则当时，的取值范围是　 　．
16．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线.下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的是　 　.
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.
18．已知二次函数．
（1）写出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）当时，直接写出函数的取值范围．
19．年春节档电影票房火爆，电影《热辣滚烫》和《飞驰人生》深受观众喜爱，甲、乙两人从这两部电影中任意选择一部观看．
（1）甲选择《飞驰人生》的概率是________；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择同一部电影的概率．
20．已知二次函数．
（1）二次函数图象的对称轴是 　 　；
（2）当时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式．
21．如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．
22．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
23．在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
24．某网店经营一种热销小商品，每件成本10元，经过调研发现，这种小商品20天内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为（其中，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如下表．
时间（天） 1 5 9 13 17 21
日销售量y（件） 98 90 82 74 66 58
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式；
（2）在20天的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的20天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元（a为整数）利润给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“打开电视，正在播放新闻”这个事件是随机事件，
故选：A．
【分析】
依据随机事件的概念：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，完成判定即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2 (x－3)2 ＋1是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，
A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；
B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；
C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；
D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的顶点坐标、对称轴，开口方向和增减性逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：m=10．
故可以推算出约为10．
故选C．
【分析】利用频率估计概率的思想求解：在相同条件下进行大量重复试验时，随机事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以根据这个性质列出比例方程，求得目标未知数。
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴物线的解析式为： ，
∵ 时， ，
∴抛物线必经过的点是 ．
故答案为：B．
【分析】将已知点的坐标代入 确定抛物线的解析式，再计算出自变量为0时所对应的函数值即可求解．
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线平移得到抛物线，其平移方式是向左平移2个单位，向上平移3个单位．
故选：D．
【分析】按照平移规则“左加右减，上加下减”进行分析判断即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口方向向上，
∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴解析式.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线与轴的交于正半轴，故AB错误；
当时，有，故C错误；
当时，有，
解得：，
∴方程的正根在3与4之间，故D正确；
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得抛物线开口方向向下以及抛物线与轴的交于正半轴，即可判断AB错误，然后分别令，，即可判断C错误，D正确.
8．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：观察图像可知，y1＜y2时，
即函数y2＝kx+b在函数y1＝ax2+bx+c上方时x的取值范围，
∴﹣2＜x＜时，y1＜y2，
故选：A．
【分析】通过观察函数图象，能够直接得出当满足y1y2时，对应的自变量x的取值范围.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可知，，且关于的一元二次方程的根的判别式小于0，
即，
解得，
综上，，且，
故选：D．
【分析】根据题意得到a>0，抛物线与x轴没有交点，即根的判别式小于0解答即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故C选项错误；
如图所示，若，则，
故B选项正确，D选项错误；
故选：B
【分析】
根据二次函数的表达式求出a1，a2，再通过作差法比较a1，a2的大小即可.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数顶点是．
故答案为：．
【分析】将二次函数的一般式转化为顶点式，通过配方法把函数解析式整理为顶点式，进而得到顶点坐标.
12．【答案】，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，的两个根为或．
故答案为：，．
【分析】结合方程的解对应函数与轴交点横坐标的性质，函数图象与轴交点的横坐标，就是函数值时对应方程的解，以及二次函数的对称性，即可求出方程的两个根。
13．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：植树总数
成活数
成活的频率
由此估计这种树苗成活的概率约为
故答案为．
【分析】
先分别计算出植树的总数量，以及成活的树木数量，再根据概率公式计算出树木成活的概率.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数中，，
抛物线开口向上，
在对称轴的左侧随的增大而减小，
抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
故答案为：．
【分析】
由给出的二次函数解析式，可以得到该函数的对称轴为，且该抛物线开口向上，由此可以推出，在对称轴的左侧，会随着的增大而减小，据此即可推导得出结论.
15．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，，
抛物线经过点，
抛物线的对称轴为直线，
点的对称点是，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
【分析】从给定的二次函数解析式得出，该抛物线一定经过点；已知该抛物线的对称轴为直线，根据抛物线的对称性，可以得到点关于对称轴的对称点为，再结合二次函数的图象即可判断：当满足时，自变量的取值范围为.
16．【答案】①③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在(0， 2)和(0， 1)之间，
∴a>0，， 2∴b<0，abc>0，结论①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A( 1，0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴当x=2时，y=4a+2b+c<0，结论②错误；
③∵a>0，b<0，c<0，
∴4ac<0，>0，
∴，结论③正确；
④当x= 1时，y=a b+c=0，
∴a b= c.
∵b= 2a，
∴3a= c.
又∵ 2∴，结论④正确；
⑤∵当x= 1时，y=a b+c=0，a>0，
∴ b+c<0，
∴b>c，结论⑤正确。
综上所述：正确的结论有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤.
【分析】①根据抛物线开口方向可知：开口向上，得a>0；对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可得a与b异号，因此b<0；抛物线与y轴交于负半轴，可得c<0。三个数相乘，负负得正再乘正，因此abc>0，结论①正确；
②已知抛物线对称轴为直线x=1，且一个交点A(-1，0)，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)。结合抛物线开口向上，可推出在对称轴右侧，y随x增大而增大，因此当x=2时，对应的点在x轴下方，即y=4a+2b+c<0，结论②错误；
③由a>0可得8a>0，抛物线顶点纵坐标在(1，-4)下方，即顶点纵坐标4ac-b2<0，因此一定满足，结论③正确；
④因为x=-1时抛物线对应的函数值为0，即y=a-b+c=0，又由对称轴b=-2a，代入上式整理得3a=-c，即c=-3a。已知-2⑤由a-b+c=0可得a=b-c，已知a>0，因此b-c>0，即b>c，结论⑤正确．综上即可得出结论。
17．【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】先把抛物线的解析式写成顶点式，再利用待定系数法求函数解析式即可.
18．【答案】（1）解：由二次函数解析式可知，二次项系数，
二次函数开口向上，
，
二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（2）解：当时，二次函数在时，取得最小值；
当时，，当时，，
当时，函数的取值范围为．
【分析】（1）根据给出的二次函数解析式直接判断抛物线的开口方向，再把二次函数的一般式配方转化为顶点式，就能得到该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）已知自变量的取值范围是，结合二次函数的开口方向与对称轴可知，这个区间内函数在处取得最小值，接下来分别计算和对应的函数值，比较后就能得到区间内函数的最大值，进而推导出函数的取值范围。
（1）解：由二次函数解析式可知，二次项系数，
二次函数开口向上，
，
二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：当时，二次函数在时，取得最小值；
当时，，当时，，
当时，函数的取值范围为．
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一部电影的情况有种，即和，
∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵电影有电影《热辣滚烫》和《飞驰人生》两部，
∴甲选择《飞驰人生》的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）直接运用概率公式求解；
（2）先根据题意画出树状图，再通过树状图找出甲、乙两人选择同一部电影的所有情况，最后借助概率公式计算得到对应概率.
（1）解：∵电影有电影《热辣滚烫》和《飞驰人生》两部，
∴甲选择《飞驰人生》的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一部电影的情况有种，即和，
∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为．
20．【答案】（1）
（2）解： ∵，
又∵，
∴当时，y取得最小值为．
由（1）知：抛物线y＝ax2+2ax﹣2的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数在范围内，当时y取得最大值为，
∵当时，y的最大值与最小值的差为3，
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：二次函数图象的对称轴是：．
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到结果；
（2）结合二次函数的性质，先分别求出y的最大值和最小值，再结合已知条件列出关于a的方程，求解方程即可得到最终结果。
（1）解：二次函数图象的对称轴是：．
故答案为：；
（2）∵，
又∵，
∴当时，y取得最小值为．
由（1）知：抛物线y＝ax2+2ax﹣2的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数在范围内，当时y取得最大值为，
∵当时，y的最大值与最小值的差为3，
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为．
21．【答案】（1）解：当时，，
解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），
∴抛物线与轴交于，，
∵直线经过点，
∴，
解得：
（2）解：由上可得直线解析式为：，
把代入中得：，
整理得，
解得： (舍)，，
把代入，
得，
∴，
∴
（3）当时，一次函数值大于二次函数值
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：根据图象可得：在线段部分，直线函数值在抛物线函数值上方，
∵，，
∴，
∴当时，一次函数值大于二次函数值．
【分析】（1）根据函数与方程的关系，令，解所得的一元二次方程，就能得到抛物线与轴的两个交点坐标，再将点的坐标代入一次函数解析式，就可以计算得到的值。
（2）先求一次函数和抛物线的交点的坐标，把代入抛物线解析式，解所得的一元二次方程，即可确定点的坐标，再结合函数图象，即可计算得到三角形的面积。
（3）结合函数图象可以看出，在点和点之间的线段对应的区间内，一次函数的函数值始终大于抛物线的函数值，结合点和点的横坐标，就能确定满足要求的的取值范围。
（1）解：当时，，
解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），
∴抛物线与轴交于，，
∵直线经过点，
∴，
解得：；
（2）解：由上可得直线解析式为：，
把代入中得：，
整理得，
解得： (舍)，，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：根据图象可得：在线段部分，直线函数值在抛物线函数值上方，
∵，，
∴，
∴当时，一次函数值大于二次函数值．
22．【答案】（1）解：设花圃的宽为，则，
根据题意得：
∵，
∴．
（2），
，，
当时，．
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】 （1）依托矩形面积计算法则，结合边长数量关系建立面积与自变量之间的函数表达式；
（2）借助二次函数图象性质，确定函数顶点取值，求解面积最值结果 ．
（1）解：设花圃的宽为，则，
根据题意得：
∵，
∴．
（2），
，，
当时，．
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是
23．【答案】（1）解：将代入中，
得，
解得，
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述
（3）解：关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入函数解析式，可求出t的值.
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论：当，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，可得到符合题意的t的值.
（3）利用点A、C的坐标j及二次函数的对称性，可得到，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
24．【答案】解：（1）设 y（件）与时间t（天）函数关系式是y＝kt＋b，代入（1，98）、（5，90）得
，
解得，
即y（件）与时间t（天）函数关系式是y＝ 2t＋100；
（2）设日销售利润为w元，
，
∴当t＝15时，w取得最大值，此时w＝1225，
答：在20天的销售中，第15天的销售利润最大，最大日销售利润为1225元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为W元，
W＝（20＋t 10 a）（ 2t＋100）＝ （t 15 a）2＋a2 70a＋1225，
∵这20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，a为整数，
∴15＋a>19.5，
解得a>4.5，
为整数，的最小值为5
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）结合表格给出的数据与题干描述，可以直接推导出日销售量y（件）和销售时间t（天）之间的函数关系式；
（2）先根据销售利润的计算规则，整理出日销售利润和销售时间t之间的函数解析式，再结合二次函数的图象与性质，即可求解最大日销售利润；
（3）先根据题意，整理出扣除捐赠后的日销售利润和销售时间t之间的函数解析式，再结合二次函数的增减性性质，即可确定出a的取值范围，进而得到a的最小值。
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