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浙江省杭州市滨江区滨兰实验学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（　　）
A．明天全市将有的地方会下雨
B．明天全市将有的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大
D．明天全市一定会下雨
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：天气预报称，明天全市的降水概率为，则代表明天全市下雨的可能性较大，
故C说法正确，
故选：C．
【分析】根据生活中概率的实际含义。降水概率描述的是下雨这件事发生的可能性大小，结合这个概念即可分析解答。
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（1，3） B．（0，1） C．（0，—3） D．（2，1）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：观察图象发现图象与轴交于点和，
对称轴为，
顶点坐标为，
故选：D．
【分析】
已知抛物线与轴的两个交点坐标，先确定抛物线的对称轴，再结合抛物线顶点在对称轴上，进而确定顶点坐标.
3．设的半径为4，圆心O的坐标为，点P的坐标是，则点P与圆的位置关系是（　　）．
A．点P在外 B．点P在上
C．点P在内 D．点P在内或上
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标是，
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴点P在外．
故选：A．
【分析】
计算出两点间线段的长度后，和圆的半径进行比较，就可以得出对应结论.
4．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，可知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦AB的长为，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，利用垂径定理可证得AC=CB，同时求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得到AB的长.
5．如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，，
∴，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可．
6．二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是，
故选：D．
【分析】按照“向右平移对横坐标做减法，向下平移对纵坐标做减法”的平移规律计算，就能得到结果.
7．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，，又，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】旋转不改变图形的形状与大小，即旋转前后对应角都相等，对应线段也相等。
8．已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值2，有最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值 D．有最大值2，无最小值
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：观察图象可得，在时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值，
故选：A
【分析】结合二次函数最值的性质，对照所给图形分析求解即可.
9．已知二次函数的图象如图所示，有下列2个结论：①；②，是任意实数，下列说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都不正确
C．①正确②错误 D．①错误②正确
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
，，
对称轴为直线，
，
，
，故①错误；
当时，，
，即，故②正确；
说法正确的有②．
故选：D．
【分析】首先由抛物线开口向下、与y轴交点在正半轴，可以推出，，再结合对称轴的公式，推导得出，以此即可判断结论①；再利用当时，二次函数取得最大值，此时函数值为，即可判断结论②。
10．已知抛物线为常数）经过点，，，当时，的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：点在抛物线图象上，
，
，
令，则有即，此时方程两根为、，，
，，
，
，
，
解得，
故答案为：D．
【分析】先得到，然后当，即可得到方程，根据韦达定理得到，，然后求出，得到不等式解题即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
12．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
图象开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【分析】
先从给出的二次函数解析式中，判断出抛物线的开口方向，再求出它的对称轴，最后结合性质即可得到结果。根据二次函数解析式可以得到，该函数图象开口向上，对称轴为直线，据此即可解答该题.
13．2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：
种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500
发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435
发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974
根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是　 　．（结果精确到0.01）
【答案】0.97
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97，
故答案为：0.97．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
14．如图，所在圆的半径为30，弓形的高为．则的长　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，作于点C，
则，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
【分析】连接，作于点C，先计算得到弦心距为，之后在构造出的直角三角形中，借助锐角三角函数即可求出，最后利用弧长公式就能计算出对应结果。
15．若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】二次函数的对称轴为，
，
抛物线开口向上，顶点为最低点，
最小，
点的横坐标为，到对称轴的距离为； 点的横坐标为4，到对称轴的距离为；点的横坐标为1，距离为0．
开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，
．
故答案为：．
【分析】先确定该二次函数的对称轴为，且函数开口向上，顶点坐标为，因此是所有对应函数值里的最小值。接下来计算出各个点到对称轴的距离，再结合开口向上的性质判断函数值的大小关系：当二次函数开口向上时，点距离对称轴越远，对应的函数值就越大，顶点位置的函数值是最小的。
16．如图，是的内接三角形，，，，则的半径　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，延长交圆于点，连接，
∵，，，
设，则，
∵，，
∴，
即，
，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
故答案为：
【分析】过点作，与相交于点，再延长，交圆于点，连接。设，先借助勾股定理分别求出的长度和，最后结合这个关系即可完成求解。
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求出该函数与轴的交点坐标．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式是，
把点代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式是，即
（2）解：在中令，则，
解得：或，
则函数与x轴的交点坐标为，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）通过待定系数法，代入已知点的坐标求出抛物线的解析式；
（2）要求抛物线与x轴的交点坐标，令得到一元二次方程，求解方程即可得到对应交点的横坐标。
（1）解：设抛物线的解析式是，
把点代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式是，即；
（2）解：在中令，则，
解得：或，
则函数与x轴的交点坐标为，．
18．滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐，，三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．
（1）求小明乘车的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大．
【答案】（1）解：三辆车随机选择一辆，
∴小明乘车的概率为
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中小明与小刚同车的有3种情况，
所以小明与小刚同车的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】
（1）套用概率公式计算即可得到结果；
（2）先根据题目给出的条件画出对应的树状图，再结合树状图计算得到小明和小刚乘坐同一辆车的概率。
（1）解：三辆车随机选择一辆，
∴小明乘车的概率为；
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中小明与小刚同车的有3种情况，
所以小明与小刚同车的概率为
19．数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图．
（1）如图，点、、在上，
①在图①中，画一个与互补的圆周角；
②在图②中，画一个与互余的圆周角.
（2）在图③中，是的内接三角形，于点．画出的平分线．
【答案】（1）解：①即为所求，如图所示，
四边形是圆内接四边形，
；
②连接，，并延长交于点，则即为所求，如图所示，
理由如下：
是的内接三角形．
，
，
又，
，
，
，
则即为所求
（2）解：如图，射线即为所求；
证明：是弦，且，
点为中点，
，即平分
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）①在劣弧上任意选取一点，连接与，得到的就是题目要求作的角；
②连接与，接着延长，交于点F
（2）延长，使它和交于点，根据垂径定理可以证明点是的中点，最后连接，此时就是的平分线，完成作图；
（1）解：①即为所求，如图所示，
四边形是圆内接四边形，
；
②连接，，并延长交于点，则即为所求，如图所示，
理由如下：
是的内接三角形．
，
，
又，
，
，
，
则即为所求．
（2）解：如图，射线即为所求；
证明：是弦，且，
点为中点，
，即平分
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连接BD，
（1）求证：点E是的中点；
（2）当BC=12，且AD：CD=1：2时，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接AE，DE，如图所示：
∵AB是直径
∴AE⊥BC
∵AB=AC
∴BE=EC
∵∠CDB＝90° ，DE是斜边BC的中线
∴DE=EB
∴，即点E是的中点
（2）设AD＝，则CD＝2
∴AB＝AC＝3
∵AB为直径
∴∠ADB＝90°
∴
在Rt△CDB中，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）若要证明点E是弧BD的中点，只需证明弦BE与DE相等即可，结合题目给出的条件，就可以推导出BE=DE，完成证明；
（2）根据题目给出的条件，可以先计算出AC和AB的长度，由此即可求出⊙O的半径。
21．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角___________度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）200，
C类型社团的人数为(人)，
补全条形统计图如图，
（2）54
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：(人)，
（2）解：，
故答案为：54；
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率.
（1）用B类型社团的人数除以其人数占比可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数可求出C类型社团的人数，进而可补全条形统计图；
（2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式进行计算可求出答案.
22．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间含10元，14元浮动时，每瓶售价每增加元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶．
（1）试求出每日的销售量瓶与每瓶售价元之间的函数关系式．
（2）当每瓶售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，设所求函数表达式为，再每瓶售价每增加元时，日均销售量减少40瓶；当售价为12元时，日均销售量为400瓶，
∴，
解得：，
所求函数表达式为：
（2）解：根据题意，得：
，
，，
当时，P有最大值，最大值为1280，
答：销售价格定为每瓶13元时，所得利润最大，最大利润为1280元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，先设日均销售量对应的函数表达式为，再结合题目给出的条件：每瓶售价每上涨元，日均销售量就会减少40瓶，并且售价定为12元时，日均销售量恰好为400瓶，将相关数据代入即可计算得到函数解析式；
（2）根据“总利润单瓶利润日均销售量”，列出销售总利润P和定价x的函数关系式，再利用二次函数的性质就可以求出最大利润对应的结果.
（1）解：由题意，设所求函数表达式为，再每瓶售价每增加元时，日均销售量减少40瓶；当售价为12元时，日均销售量为400瓶，
∴，
解得：，
所求函数表达式为：；
（2）解：根据题意，得：
，
，，
当时，P有最大值，最大值为1280，
答：销售价格定为每瓶13元时，所得利润最大，最大利润为1280元．
23．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
（1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围；
（3）若函数图象经过点，，求证：．
【答案】（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴ ，整理得：，
①当时，，
解得，
∴
②当时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）先利用抛物线上点的坐标特征把点的坐标代入函数解析式可得m，再化一般式为顶点式即可；
（2）由抛物线的解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴距离远越则对应的函数值越大，即有，整理得：，此时再分两种情况讨论并分别解不等式即可；
（3）由抛物线上点的坐标特征可分别得，，则pq是关于m的二次函数，且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值即可．
（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧，
∵，
∴存在如下情况：
①当，即时，，
解得，
∴
②当，即时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
24．如图1，正方形内接于，点在劣弧上，连接交于点．
（1）如图1，若是的中点，求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，连接，，探究，，之间等量关系．
【答案】（1）证明：如图，连接、，
点P为中点，
，
，
在正方形中，，，
∴，
在和中，
，
（2）解：连接，，如图所示：
设，
在正方形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
令，则，
∴
（3）解：过点A作，点A为垂足，交于点M，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，，
∵，
∴，
在和中
，
，
，
∴
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接、，通过边角边公理证明，即可推导出要证明的结论；
（2）连接，，结合等腰三角形的性质、同弧所对的圆心角和圆周角的关系计算出的度数，再借助直角三角形的边角关系求出对应结果；
（3）过点作，交于点，再连接，通过角角边定理证明，最终推导得到。
（1）证明：如图，连接、，
点P为中点，
，
，
在正方形中，，，
∴，
在和中，
，
；
（2）解：连接，，如图所示：
设，
在正方形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
令，则，
∴；
（3）解：过点A作，点A为垂足，交于点M，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，，
∵，
∴，
在和中
，
，
，
∴．
1 / 1浙江省杭州市滨江区滨兰实验学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（　　）
A．明天全市将有的地方会下雨
B．明天全市将有的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大
D．明天全市一定会下雨
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（1，3） B．（0，1） C．（0，—3） D．（2，1）
3．设的半径为4，圆心O的坐标为，点P的坐标是，则点P与圆的位置关系是（　　）．
A．点P在外 B．点P在上
C．点P在内 D．点P在内或上
4．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值2，有最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值 D．有最大值2，无最小值
9．已知二次函数的图象如图所示，有下列2个结论：①；②，是任意实数，下列说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都不正确
C．①正确②错误 D．①错误②正确
10．已知抛物线为常数）经过点，，，当时，的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
12．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是　 　．
13．2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：
种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500
发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435
发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974
根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是　 　．（结果精确到0.01）
14．如图，所在圆的半径为30，弓形的高为．则的长　 　．
15．若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是　 　．
16．如图，是的内接三角形，，，，则的半径　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求出该函数与轴的交点坐标．
18．滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐，，三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．
（1）求小明乘车的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大．
19．数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图．
（1）如图，点、、在上，
①在图①中，画一个与互补的圆周角；
②在图②中，画一个与互余的圆周角.
（2）在图③中，是的内接三角形，于点．画出的平分线．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连接BD，
（1）求证：点E是的中点；
（2）当BC=12，且AD：CD=1：2时，求⊙O的半径．
21．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了___________名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角___________度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
22．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间含10元，14元浮动时，每瓶售价每增加元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶．
（1）试求出每日的销售量瓶与每瓶售价元之间的函数关系式．
（2）当每瓶售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？
23．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
（1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围；
（3）若函数图象经过点，，求证：．
24．如图1，正方形内接于，点在劣弧上，连接交于点．
（1）如图1，若是的中点，求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，连接，，探究，，之间等量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：天气预报称，明天全市的降水概率为，则代表明天全市下雨的可能性较大，
故C说法正确，
故选：C．
【分析】根据生活中概率的实际含义。降水概率描述的是下雨这件事发生的可能性大小，结合这个概念即可分析解答。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：观察图象发现图象与轴交于点和，
对称轴为，
顶点坐标为，
故选：D．
【分析】
已知抛物线与轴的两个交点坐标，先确定抛物线的对称轴，再结合抛物线顶点在对称轴上，进而确定顶点坐标.
3．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标是，
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴点P在外．
故选：A．
【分析】
计算出两点间线段的长度后，和圆的半径进行比较，就可以得出对应结论.
4．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，可知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦AB的长为，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，利用垂径定理可证得AC=CB，同时求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得到AB的长.
5．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，，
∴，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是，
故选：D．
【分析】按照“向右平移对横坐标做减法，向下平移对纵坐标做减法”的平移规律计算，就能得到结果.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，，又，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】旋转不改变图形的形状与大小，即旋转前后对应角都相等，对应线段也相等。
8．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：观察图象可得，在时，图象有最高点和最低点，
∴函数有最大值2和最小值，
故选：A
【分析】结合二次函数最值的性质，对照所给图形分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
，，
对称轴为直线，
，
，
，故①错误；
当时，，
，即，故②正确；
说法正确的有②．
故选：D．
【分析】首先由抛物线开口向下、与y轴交点在正半轴，可以推出，，再结合对称轴的公式，推导得出，以此即可判断结论①；再利用当时，二次函数取得最大值，此时函数值为，即可判断结论②。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：点在抛物线图象上，
，
，
令，则有即，此时方程两根为、，，
，，
，
，
，
解得，
故答案为：D．
【分析】先得到，然后当，即可得到方程，根据韦达定理得到，，然后求出，得到不等式解题即可．
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
图象开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【分析】
先从给出的二次函数解析式中，判断出抛物线的开口方向，再求出它的对称轴，最后结合性质即可得到结果。根据二次函数解析式可以得到，该函数图象开口向上，对称轴为直线，据此即可解答该题.
13．【答案】0.97
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97，
故答案为：0.97．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，作于点C，
则，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
【分析】连接，作于点C，先计算得到弦心距为，之后在构造出的直角三角形中，借助锐角三角函数即可求出，最后利用弧长公式就能计算出对应结果。
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】二次函数的对称轴为，
，
抛物线开口向上，顶点为最低点，
最小，
点的横坐标为，到对称轴的距离为； 点的横坐标为4，到对称轴的距离为；点的横坐标为1，距离为0．
开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，
．
故答案为：．
【分析】先确定该二次函数的对称轴为，且函数开口向上，顶点坐标为，因此是所有对应函数值里的最小值。接下来计算出各个点到对称轴的距离，再结合开口向上的性质判断函数值的大小关系：当二次函数开口向上时，点距离对称轴越远，对应的函数值就越大，顶点位置的函数值是最小的。
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，延长交圆于点，连接，
∵，，，
设，则，
∵，，
∴，
即，
，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
故答案为：
【分析】过点作，与相交于点，再延长，交圆于点，连接。设，先借助勾股定理分别求出的长度和，最后结合这个关系即可完成求解。
17．【答案】（1）解：设抛物线的解析式是，
把点代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式是，即
（2）解：在中令，则，
解得：或，
则函数与x轴的交点坐标为，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）通过待定系数法，代入已知点的坐标求出抛物线的解析式；
（2）要求抛物线与x轴的交点坐标，令得到一元二次方程，求解方程即可得到对应交点的横坐标。
（1）解：设抛物线的解析式是，
把点代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式是，即；
（2）解：在中令，则，
解得：或，
则函数与x轴的交点坐标为，．
18．【答案】（1）解：三辆车随机选择一辆，
∴小明乘车的概率为
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中小明与小刚同车的有3种情况，
所以小明与小刚同车的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】
（1）套用概率公式计算即可得到结果；
（2）先根据题目给出的条件画出对应的树状图，再结合树状图计算得到小明和小刚乘坐同一辆车的概率。
（1）解：三辆车随机选择一辆，
∴小明乘车的概率为；
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中小明与小刚同车的有3种情况，
所以小明与小刚同车的概率为
19．【答案】（1）解：①即为所求，如图所示，
四边形是圆内接四边形，
；
②连接，，并延长交于点，则即为所求，如图所示，
理由如下：
是的内接三角形．
，
，
又，
，
，
，
则即为所求
（2）解：如图，射线即为所求；
证明：是弦，且，
点为中点，
，即平分
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）①在劣弧上任意选取一点，连接与，得到的就是题目要求作的角；
②连接与，接着延长，交于点F
（2）延长，使它和交于点，根据垂径定理可以证明点是的中点，最后连接，此时就是的平分线，完成作图；
（1）解：①即为所求，如图所示，
四边形是圆内接四边形，
；
②连接，，并延长交于点，则即为所求，如图所示，
理由如下：
是的内接三角形．
，
，
又，
，
，
，
则即为所求．
（2）解：如图，射线即为所求；
证明：是弦，且，
点为中点，
，即平分
20．【答案】（1）证明：连接AE，DE，如图所示：
∵AB是直径
∴AE⊥BC
∵AB=AC
∴BE=EC
∵∠CDB＝90° ，DE是斜边BC的中线
∴DE=EB
∴，即点E是的中点
（2）设AD＝，则CD＝2
∴AB＝AC＝3
∵AB为直径
∴∠ADB＝90°
∴
在Rt△CDB中，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）若要证明点E是弧BD的中点，只需证明弦BE与DE相等即可，结合题目给出的条件，就可以推导出BE=DE，完成证明；
（2）根据题目给出的条件，可以先计算出AC和AB的长度，由此即可求出⊙O的半径。
21．【答案】（1）200，
C类型社团的人数为(人)，
补全条形统计图如图，
（2）54
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：(人)，
（2）解：，
故答案为：54；
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率.
（1）用B类型社团的人数除以其人数占比可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数可求出C类型社团的人数，进而可补全条形统计图；
（2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式进行计算可求出答案.
22．【答案】（1）解：由题意，设所求函数表达式为，再每瓶售价每增加元时，日均销售量减少40瓶；当售价为12元时，日均销售量为400瓶，
∴，
解得：，
所求函数表达式为：
（2）解：根据题意，得：
，
，，
当时，P有最大值，最大值为1280，
答：销售价格定为每瓶13元时，所得利润最大，最大利润为1280元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，先设日均销售量对应的函数表达式为，再结合题目给出的条件：每瓶售价每上涨元，日均销售量就会减少40瓶，并且售价定为12元时，日均销售量恰好为400瓶，将相关数据代入即可计算得到函数解析式；
（2）根据“总利润单瓶利润日均销售量”，列出销售总利润P和定价x的函数关系式，再利用二次函数的性质就可以求出最大利润对应的结果.
（1）解：由题意，设所求函数表达式为，再每瓶售价每增加元时，日均销售量减少40瓶；当售价为12元时，日均销售量为400瓶，
∴，
解得：，
所求函数表达式为：；
（2）解：根据题意，得：
，
，，
当时，P有最大值，最大值为1280，
答：销售价格定为每瓶13元时，所得利润最大，最大利润为1280元．
23．【答案】（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴ ，整理得：，
①当时，，
解得，
∴
②当时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）先利用抛物线上点的坐标特征把点的坐标代入函数解析式可得m，再化一般式为顶点式即可；
（2）由抛物线的解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴距离远越则对应的函数值越大，即有，整理得：，此时再分两种情况讨论并分别解不等式即可；
（3）由抛物线上点的坐标特征可分别得，，则pq是关于m的二次函数，且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值即可．
（1）解：二次函数经过点，
∴．
解得．
∴．
∴函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵的图象经过点，．
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧，
∵，
∴存在如下情况：
①当，即时，，
解得，
∴
②当，即时，
解得；
∴
综上，的取值范围为：且；
（3）证明：函数的图象经过点，，
∴．
∴．
∴．
24．【答案】（1）证明：如图，连接、，
点P为中点，
，
，
在正方形中，，，
∴，
在和中，
，
（2）解：连接，，如图所示：
设，
在正方形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
令，则，
∴
（3）解：过点A作，点A为垂足，交于点M，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，，
∵，
∴，
在和中
，
，
，
∴
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接、，通过边角边公理证明，即可推导出要证明的结论；
（2）连接，，结合等腰三角形的性质、同弧所对的圆心角和圆周角的关系计算出的度数，再借助直角三角形的边角关系求出对应结果；
（3）过点作，交于点，再连接，通过角角边定理证明，最终推导得到。
（1）证明：如图，连接、，
点P为中点，
，
，
在正方形中，，，
∴，
在和中，
，
；
（2）解：连接，，如图所示：
设，
在正方形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
令，则，
∴；
（3）解：过点A作，点A为垂足，交于点M，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，，
∵，
∴，
在和中
，
，
，
∴．
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