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江省宁波市储能学校丽园校区2025-2026学年上学期浙八年级9月月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分教）
1．以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（　　）
A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，9，1 D．5，2，2
2．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　）
A．3a＜3b B．ac2＞bc2 C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc
3．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是(　　)
A．6 B．8 C．4 D．12
5．在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A．， B．，，
C．， D．，
6．下列尺规作图中，一定能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　）
A．27 B．36 C．40 D．45
10．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分数）
11．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是　 　（写出一个即可）．
12．命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是　 　
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是　 　．
14．已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是　 　
15．如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为　 　．
16．如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为　 　．
三、解答题（共7题，共52分）
17．下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤
（1）小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号）
（2）正确的解答过程．
18．如图，，，，垂足分别为点，，且．证明：
（1）；
（2）．
19．如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作答并画出下列图形：
（1）的长为______；
（2）如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；
（3）请在图中画出的角平分线．
20．如图，在四边形中，，分别是对角线的中点．
（1）求证：；
（2）若，请判断与的数量关系，并说明理由．
21．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元：4台A型空调和5台B型空调，共需费用35000元.
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元：
（2）若学校计划采购A、B型号空调共40台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？
22．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
（1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
（2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
（3）在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数．
23．已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：；
（3）在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，能组成三角形，故B符合题意；
C、，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、，不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】
三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a＞b，两边同乘以3得3a>3b，故本选项不符合题意；
B、若a＞b，则ac2≥bc2（当c=0时，ac2=bc2），故本选项不符合题意；
C、若a＞b，两边同减去c得：a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意；
D、若a＞b，当c＜0时，则-c>0得-ac>-bc，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可求解.
3．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，
则，
故选：D．
【分析】
先根据题目给出的条件计算出的度数，再结合三角形外角的性质进行计算，最终就能得到答案。
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
∴BD=BC=3，AD⊥BC，
∴BD==4
∵同底等高的三角形面积相等，
∴，
∴=6．
故选A．
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得到线段长度和垂直关系，再利用勾股定理求出高，最后依据同底等高的三角形面积相等的性质求解阴影部分面积.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、，，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意．
D、，，
不能得出是直角三角形，本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．
6．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意；
B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意；
C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意；
D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
由于BC＝BD+CD，若AD+BD＝BC，则有AD＝CD，即点D在线段AC的垂直平分线，故应利用基本尺规作图作线段AC的垂直平分线即可．
7．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，
这箱苹果共个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故答案为：C．
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x”，可得出这箱苹果共(5x+12)个，由题意有(x-1)个小朋友分得8个苹果，则可得最后一位小朋友分得的苹果数量为[5x+12-8(x-1)]个，再根据最后一位小朋友分得苹果数量不足8个，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵若它的解集是，即，解得：，
∴①正确，
∵当，，即不等式组的解为，
∴②正确，
∵若它的整数解仅有3个，即，
∴a的取值范围是
∴③正确，
∵若不等式组有解，即，则，
∴④错误，
故答案为：C．
【分析】根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，设交于G，交于H，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵点恰好是的中点，
∴；
由正方形的性质可得，
∴，
∴三点共线，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积是45，
故选：D．
【分析】设CE和MN交于点G，CP和BM交于点H。首先可以通过ASA判定证明 ，由此可以得到FN=BC；接下来证明E、C、B三点共线，再通过ASA判定证明，因此得到 的面积相等。根据面积和的关系可得：正方形BCPQ的面积，因此可以推得BC2=9；结合题意AC=2BC，因此AC2=(2BC)2=36。最后根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=36+9=45，因此正方形ABMN的面积就是45.
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
【分析】由角平分线的性质和判定定理知，点F既是和角平分线的交点，同时也在的角平分线上，则可证明的周长恰好是周长的一半。
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的基本性质举反例即可．
12．【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合
∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】把命题的已知和结论互换位置，即可写出其逆命题．
13．【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AD、DC．
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG＝DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA＝DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG＝DF，DA＝DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG＝CF．
又∵BD＝BD，DG＝DF．
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG＝BF．
又∵AG＝CF，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16．
故答案为：16．
【分析】连接AD、DC，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DG=DF，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DA=DC，从而利用HL证明Rt△DGA≌Rt△DFC，由全等三角形的对应边相等得AG＝CF，再利用HL证明Rt△BDG≌Rt△BDF，由全等三角形的对应边相等得BG＝BF，进而根据三角形周长计算公式及线段和差将△ABC的周长转化为2BG+AC，从而代值计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
当x=-1时，k=3，
当x=3时，k=1，
，
故答案为：．
【分析】首先对等式3x - 2y = 5进行变形，可得，结合条件y2，可以得到不等式，解这个不等式后得到，结合题目原有的范围，最终可以确定x的取值范围是。接下来再用x对k进行变形整理，得到，之后就可以根据x的取值范围确定k的范围.
15．【答案】或或
【知识点】勾股定理；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当时，；
如图，当时，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：或或．
【分析】分、、三种情况解答即可求解.
16．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，作，使得，连接，
则，
平分．
，
．
在和中，
，
，
，
当三点共线时，的最小值等于的长，
又的最小值为5，
∴的长为5，
．
，
∴是等边三角形，
．
．
故答案为：．
【分析】
作，且满足，连接。根据平行线的性质可得，再结合BD是角平分线的性质，可证明，因此得到对应边相等，即。由此可将转化为，根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，可取得最小值，最小值等于AE的长度，计算可得的长为5，最后进一步判定为等边三角形即可完成推导.
17．【答案】（1）①
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】（1）解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6；
故答案为：①.
【分析】（1）在第①步去分母的操作中，不等号右侧的常数项2没有乘公分母6，据此即可找出出错的步骤；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的正确步骤，即可求出不等式的解集.
（1）解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）通过判定定理，证明，根据全等三角形对应边相等即可得到，再结合线段的和差关系，即可推导出要证明的结论；
（2）再通过判定定理证明，根据全等三角形对应边相等即可得到.
（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．【答案】（1）5
（2）解：如图，连接，交过点P的横格线于点Q，则点Q即为所求．
（3）解：如图，取格点F，使，连接，取的中点E，连接，可得为等腰三角形，
∴为的平分线．则即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；作图﹣轴对称；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】
（1）解：由图形可知，；
【分析】
（1）结合图形，通过勾股定理计算得到对应边长；
（2）连接，让这条线段和经过点P的横格线相交于点Q。从图中可以得到，点落在的垂直平分线上，因此满足；再结合这个平行关系，可以推导出，说明点也在的垂直平分线上，因此点Q就是我们要找的点；
（3）先选取一个格点F，使得，连接，再取的中点E，根据等腰三角形三线合一的性质，此时线段就是题目要求作的线段.
（1）解：由图形可知，；
（2）解：如图，连接，交过点P的横格线于点Q，则点Q即为所求．
（3）解：如图，取格点F，使，连接，取的中点E，
连接，可得为等腰三角形，
∴为的平分线．则即为所求．
20．【答案】（1）证明：如图，连接，
，点是的中点，
，
同理可得，，
，
又∵点是的中点，
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
，点是的中点，
，
，
同理可得，，
∴，
，
，
∵点是的中点，
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（）首先连接，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可以推出，，因此可以得到，最后结合等腰三角形三线合一的性质，即可证得所求结论；
（）连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据等边对等角可得；同理可得。进一步推导可得，最后结合直角三角形的相关性质，即可推导出最终结论.
（1）证明：如图，连接，
，点是的中点，
，
同理可得，，
，
又∵点是的中点，
；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
，点是的中点，
，
，
同理可得，，
∴，
，
，
∵点是的中点，
．
21．【答案】（1）设B型空调每台需y元，A型空调每台需x元，
，
解得 ，
答：B型空调每台需3000元，A型空调每台需5000元；
（2）解：设采购A型空调m台，
解得
∵m为整数，
∴m=14或15或16.
∴该校共有三种采购方案：
方案一：采购A型空调16台，B型空调24台；
方案二：采购A型空调15台，B型空调25台；
方案三：采购A型空调14台，B型空调26台.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元，根据题意列出方程组解答即可求解；
(2)设采购A型空调m台，则采购B型空调(40-m)台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案.
22．【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的一条等腰分割线
（2）解：如图当是腰时，，
∴，，
∴，
∴，
∴此时都是等腰三角形；
如图，当是底时，，，
∴，，
∴，
∴此时都是等腰三角形
（3）或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】（3）解：如图2，
当，时，则，
∴，
∴是等边三角形，
∴当时，是等边三角形，即此时；
如图3，
当，时，则，
∴；
如图4，
当，时，则，
∴；
综上所述：的度数为或或．
【分析】（1）先通过三角形外角性质和等腰三角形性质，证得，同时得到，由此即可推得所需结论；
（2）根据作为等腰三角形的腰和底进行分类讨论：当为腰时，分和两种情况；当为底时，分和两种情况，分别画出对应的图形即可；
（3）按照边相等关系分三种情况讨论：分别为、以及，画出每种情况对应的示意图，再分别计算求解即可。
（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的一条等腰分割线；
（2）解：如图当是腰时，，
∴，，
∴，
∴，
∴此时都是等腰三角形；
如图，当是底时，，，
∴，，
∴，
∴此时都是等腰三角形；
（3）解：如图2，
当，时，则，
∴，
∴是等边三角形，
∴当时，是等边三角形，即此时；
如图3，
当，时，则，
∴；
如图4，
当，时，则，
∴；
综上所述：的度数为或或．
23．【答案】（1）解：∵为等边三角形，∴，，
在和中，
，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长到，使，连接，如图，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
由（1）知，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）4
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（3）解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图，
设，和，
∵为等边三角形，
∴，即，
由，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
由（2），
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则点A到的距离与点N到的距离之和4．
【分析】
（1）已知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，且。结合BD=CE，可证得，由全等三角形对应角相等得。因为，通过等量代换可得，最后根据三角形外角的性质，可得。
（2）延长AE到点H，使得FH=AF，先利用SAS判定，根据全等三角形的性质得到；再结合已知角的关系，利用AAS判定，由全等三角形对应边相等得。接下来，结合三角形外角性质和三角形内角和定理，可推导出，根据“等角对等边”可得，等量代换后最终得到。
（3）过点N作，交于点H；再过点A作，交于点；最后过点C作，交于点。设，，，由△ABC是等边三角形，可得两条高相等，即，也就是。接下来根据全等三角形，可以推出同底等高的三角形面积相等，即，结合已知条件可以得到，进而可以推导出。 进一步证得，则，由（2），有，即可求得，结合，解得即可.
（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长到，使，连接，如图，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
由（1）知，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图，
设，和，
∵为等边三角形，
∴，即，
由，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
由（2），
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则点A到的距离与点N到的距离之和4．
1 / 1江省宁波市储能学校丽园校区2025-2026学年上学期浙八年级9月月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分教）
1．以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（　　）
A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，9，1 D．5，2，2
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，能组成三角形，故B符合题意；
C、，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、，不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】
三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　）
A．3a＜3b B．ac2＞bc2 C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a＞b，两边同乘以3得3a>3b，故本选项不符合题意；
B、若a＞b，则ac2≥bc2（当c=0时，ac2=bc2），故本选项不符合题意；
C、若a＞b，两边同减去c得：a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意；
D、若a＞b，当c＜0时，则-c>0得-ac>-bc，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可求解.
3．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，
则，
故选：D．
【分析】
先根据题目给出的条件计算出的度数，再结合三角形外角的性质进行计算，最终就能得到答案。
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是(　　)
A．6 B．8 C．4 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
∴BD=BC=3，AD⊥BC，
∴BD==4
∵同底等高的三角形面积相等，
∴，
∴=6．
故选A．
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得到线段长度和垂直关系，再利用勾股定理求出高，最后依据同底等高的三角形面积相等的性质求解阴影部分面积.
5．在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A．， B．，，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、，，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意．
D、，，
不能得出是直角三角形，本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．
6．下列尺规作图中，一定能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意；
B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意；
C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意；
D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
由于BC＝BD+CD，若AD+BD＝BC，则有AD＝CD，即点D在线段AC的垂直平分线，故应利用基本尺规作图作线段AC的垂直平分线即可．
7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，
这箱苹果共个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故答案为：C．
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x”，可得出这箱苹果共(5x+12)个，由题意有(x-1)个小朋友分得8个苹果，则可得最后一位小朋友分得的苹果数量为[5x+12-8(x-1)]个，再根据最后一位小朋友分得苹果数量不足8个，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．
8．已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵若它的解集是，即，解得：，
∴①正确，
∵当，，即不等式组的解为，
∴②正确，
∵若它的整数解仅有3个，即，
∴a的取值范围是
∴③正确，
∵若不等式组有解，即，则，
∴④错误，
故答案为：C．
【分析】根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可．
9．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　）
A．27 B．36 C．40 D．45
【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，设交于G，交于H，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵点恰好是的中点，
∴；
由正方形的性质可得，
∴，
∴三点共线，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积是45，
故选：D．
【分析】设CE和MN交于点G，CP和BM交于点H。首先可以通过ASA判定证明 ，由此可以得到FN=BC；接下来证明E、C、B三点共线，再通过ASA判定证明，因此得到 的面积相等。根据面积和的关系可得：正方形BCPQ的面积，因此可以推得BC2=9；结合题意AC=2BC，因此AC2=(2BC)2=36。最后根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=36+9=45，因此正方形ABMN的面积就是45.
10．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
【分析】由角平分线的性质和判定定理知，点F既是和角平分线的交点，同时也在的角平分线上，则可证明的周长恰好是周长的一半。
二、填空题（每题3分，共18分数）
11．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的基本性质举反例即可．
12．命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是　 　
【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合
∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】把命题的已知和结论互换位置，即可写出其逆命题．
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是　 　．
【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AD、DC．
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG＝DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA＝DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG＝DF，DA＝DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG＝CF．
又∵BD＝BD，DG＝DF．
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG＝BF．
又∵AG＝CF，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16．
故答案为：16．
【分析】连接AD、DC，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DG=DF，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DA=DC，从而利用HL证明Rt△DGA≌Rt△DFC，由全等三角形的对应边相等得AG＝CF，再利用HL证明Rt△BDG≌Rt△BDF，由全等三角形的对应边相等得BG＝BF，进而根据三角形周长计算公式及线段和差将△ABC的周长转化为2BG+AC，从而代值计算可得答案.
14．已知3x﹣2y＝5，且x＞﹣1，y≤2，若k＝x﹣y，则k的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
当x=-1时，k=3，
当x=3时，k=1，
，
故答案为：．
【分析】首先对等式3x - 2y = 5进行变形，可得，结合条件y2，可以得到不等式，解这个不等式后得到，结合题目原有的范围，最终可以确定x的取值范围是。接下来再用x对k进行变形整理，得到，之后就可以根据x的取值范围确定k的范围.
15．如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，则的长为　 　．
【答案】或或
【知识点】勾股定理；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当时，；
如图，当时，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：或或．
【分析】分、、三种情况解答即可求解.
16．如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，作，使得，连接，
则，
平分．
，
．
在和中，
，
，
，
当三点共线时，的最小值等于的长，
又的最小值为5，
∴的长为5，
．
，
∴是等边三角形，
．
．
故答案为：．
【分析】
作，且满足，连接。根据平行线的性质可得，再结合BD是角平分线的性质，可证明，因此得到对应边相等，即。由此可将转化为，根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，可取得最小值，最小值等于AE的长度，计算可得的长为5，最后进一步判定为等边三角形即可完成推导.
三、解答题（共7题，共52分）
17．下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤
（1）小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号）
（2）正确的解答过程．
【答案】（1）①
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】（1）解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6；
故答案为：①.
【分析】（1）在第①步去分母的操作中，不等号右侧的常数项2没有乘公分母6，据此即可找出出错的步骤；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的正确步骤，即可求出不等式的解集.
（1）解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．如图，，，，垂足分别为点，，且．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）通过判定定理，证明，根据全等三角形对应边相等即可得到，再结合线段的和差关系，即可推导出要证明的结论；
（2）再通过判定定理证明，根据全等三角形对应边相等即可得到.
（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作答并画出下列图形：
（1）的长为______；
（2）如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；
（3）请在图中画出的角平分线．
【答案】（1）5
（2）解：如图，连接，交过点P的横格线于点Q，则点Q即为所求．
（3）解：如图，取格点F，使，连接，取的中点E，连接，可得为等腰三角形，
∴为的平分线．则即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；作图﹣轴对称；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】
（1）解：由图形可知，；
【分析】
（1）结合图形，通过勾股定理计算得到对应边长；
（2）连接，让这条线段和经过点P的横格线相交于点Q。从图中可以得到，点落在的垂直平分线上，因此满足；再结合这个平行关系，可以推导出，说明点也在的垂直平分线上，因此点Q就是我们要找的点；
（3）先选取一个格点F，使得，连接，再取的中点E，根据等腰三角形三线合一的性质，此时线段就是题目要求作的线段.
（1）解：由图形可知，；
（2）解：如图，连接，交过点P的横格线于点Q，则点Q即为所求．
（3）解：如图，取格点F，使，连接，取的中点E，
连接，可得为等腰三角形，
∴为的平分线．则即为所求．
20．如图，在四边形中，，分别是对角线的中点．
（1）求证：；
（2）若，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，点是的中点，
，
同理可得，，
，
又∵点是的中点，
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
，点是的中点，
，
，
同理可得，，
∴，
，
，
∵点是的中点，
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（）首先连接，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可以推出，，因此可以得到，最后结合等腰三角形三线合一的性质，即可证得所求结论；
（）连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，根据等边对等角可得；同理可得。进一步推导可得，最后结合直角三角形的相关性质，即可推导出最终结论.
（1）证明：如图，连接，
，点是的中点，
，
同理可得，，
，
又∵点是的中点，
；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
，点是的中点，
，
，
同理可得，，
∴，
，
，
∵点是的中点，
．
21．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元：4台A型空调和5台B型空调，共需费用35000元.
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元：
（2）若学校计划采购A、B型号空调共40台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？
【答案】（1）设B型空调每台需y元，A型空调每台需x元，
，
解得 ，
答：B型空调每台需3000元，A型空调每台需5000元；
（2）解：设采购A型空调m台，
解得
∵m为整数，
∴m=14或15或16.
∴该校共有三种采购方案：
方案一：采购A型空调16台，B型空调24台；
方案二：采购A型空调15台，B型空调25台；
方案三：采购A型空调14台，B型空调26台.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元，根据题意列出方程组解答即可求解；
(2)设采购A型空调m台，则采购B型空调(40-m)台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案.
22．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
（1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
（2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
（3）在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的一条等腰分割线
（2）解：如图当是腰时，，
∴，，
∴，
∴，
∴此时都是等腰三角形；
如图，当是底时，，，
∴，，
∴，
∴此时都是等腰三角形
（3）或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】（3）解：如图2，
当，时，则，
∴，
∴是等边三角形，
∴当时，是等边三角形，即此时；
如图3，
当，时，则，
∴；
如图4，
当，时，则，
∴；
综上所述：的度数为或或．
【分析】（1）先通过三角形外角性质和等腰三角形性质，证得，同时得到，由此即可推得所需结论；
（2）根据作为等腰三角形的腰和底进行分类讨论：当为腰时，分和两种情况；当为底时，分和两种情况，分别画出对应的图形即可；
（3）按照边相等关系分三种情况讨论：分别为、以及，画出每种情况对应的示意图，再分别计算求解即可。
（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的一条等腰分割线；
（2）解：如图当是腰时，，
∴，，
∴，
∴，
∴此时都是等腰三角形；
如图，当是底时，，，
∴，，
∴，
∴此时都是等腰三角形；
（3）解：如图2，
当，时，则，
∴，
∴是等边三角形，
∴当时，是等边三角形，即此时；
如图3，
当，时，则，
∴；
如图4，
当，时，则，
∴；
综上所述：的度数为或或．
23．已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：；
（3）在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和．
【答案】（1）解：∵为等边三角形，∴，，
在和中，
，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长到，使，连接，如图，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
由（1）知，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）4
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（3）解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图，
设，和，
∵为等边三角形，
∴，即，
由，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
由（2），
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则点A到的距离与点N到的距离之和4．
【分析】
（1）已知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，且。结合BD=CE，可证得，由全等三角形对应角相等得。因为，通过等量代换可得，最后根据三角形外角的性质，可得。
（2）延长AE到点H，使得FH=AF，先利用SAS判定，根据全等三角形的性质得到；再结合已知角的关系，利用AAS判定，由全等三角形对应边相等得。接下来，结合三角形外角性质和三角形内角和定理，可推导出，根据“等角对等边”可得，等量代换后最终得到。
（3）过点N作，交于点H；再过点A作，交于点；最后过点C作，交于点。设，，，由△ABC是等边三角形，可得两条高相等，即，也就是。接下来根据全等三角形，可以推出同底等高的三角形面积相等，即，结合已知条件可以得到，进而可以推导出。 进一步证得，则，由（2），有，即可求得，结合，解得即可.
（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长到，使，连接，如图，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
由（1）知，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图，
设，和，
∵为等边三角形，
∴，即，
由，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
由（2），
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则点A到的距离与点N到的距离之和4．
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