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浙江省宁波市慈溪实验中学2026-2027学年八年级上学期开学检测数学试题
1．中国科技企业聚力创新，从芯片、终端到新能源，以硬核技术擦亮中国制造名片．下列企业的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．对某校701班和702班的学生“最喜爱的课后拓展课程”进行统计，分别绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（　　）
A．701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数多
B．701班中最喜欢足球的人数与702班中最喜欢足球的人数一样多
C．702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为
D．702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数一样多
5．若分式方程有增根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．下列句子中，属于命题的是（　　）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
7．到三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
8．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，在中，的平分线相交于点，过点，下列四个结论：①点的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，则．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
11．要使分式有意义，则的取值范围是　 　．
12．因式分解：x3-4x=　 　．
13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　 　cm．
14．如图，已知四边形的面积为，平分，．则点到的距离是　 　．
15．在中，为边上的高，，则是　 　度．
16．如图，在中，，点D在右下方，．过点C作的平行线交于点F，过A作，垂足E在线段上．若，则的长为　 　，的长为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程（组）
（1）
（2）．
19．某一次考试中有这样一道题：先化简，再求值： 其中m= ．小辰的化简过程如下：
原式
（1）你觉得小辰的化简过程正确吗 若不正确，请写出正确的化简过程；
（2）老师说：“这题的答案就是-5！”请求出被遮挡的m值．
20．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法）
21．如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．在学习乘法公式时，甲同学发现这四个代数式之间是有关系的，即．请利用上述关系并结合所学知识解决以下问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，求的值．
23．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到　 　，　 　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）[模型应用]如图2，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
（3）[深入探究]如图3，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点．
24．阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　 　；
（2）问题解决：
如图2，在四边形中，，E、F分别是边上的两点，且，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，平分，点E为边上一点，．猜想线段的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故选：D.
【分析】根据轴对称图形的概念“沿着一条直线折叠，直线两旁的部分互相重合的图形是轴对称图形”对各选项分析判断即可得解.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，选项A不符合题意；
，选项B符合题意；
和不是同类项，选项C不符合题意；
，选项D不符合题意，
故选：B.
【分析】运用幂的乘方、同底数幂的乘除法、合并同类项法则逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、是整式的乘法，故A不合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B不合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C不合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、701班中最喜欢无人机的人数占25%，最喜欢编程的人数占30%，所以701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数少，故选项不符合题意；
B、由于不明确701和702班总人数分别是多少，所以不能比较701班中最喜欢足球的人数与702班中最喜欢足球的人数的多少，故选项不符合题意；
C、702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为360°×30%=108°，故选项不符合题意；
D、702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数都是占总人数的20%，人数一样多，此选项正确，故符合题意.
故选：D.
【分析】根据扇形统计图的概念逐一判断即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：原方程去分母得：，
整理得：，
原方程有增根，
，
则，
那么，
解得：，
故选：C.
【分析】将原方程去分母后化为整式方程并整理，再把增根代入整理后的方程求得的值即可.
6．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意；
B、不是命题，故本选项不符合题意；
C、不是命题，故本选项不符合题意；
D、不是命题，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=OB，
∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在线段AC的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴O在线段BC的垂直平分线上，
即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得： 到三角形三个顶点的距离相等的点 是△ABC的三边垂直平分线的交点。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，
A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意；
B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意；
C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意；
D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意．
故选：A．
【分析】
判定，题目已经给出，，由此可以推出，此时已经得到一组边对应相等、一组角对应相等，接下来只需要结合各个选项所给条件，根据全等三角形的判定定理逐一判断，就能得到正确选项.
9．【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
的底是EF，的底是EC，即EF=EC，而高相等，
，
是AD的中点，
，，
，
，且，
，
即阴影部分的面积为。
故答案为：C.
【分析】因为点F是CE的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分别是BC、AD的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴根据角平分线的性质，点O到△ABC三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，
∴①错误；
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
在△AOB中，C+∠ABC)
故②正确；
当∠C=60°时，∠BAC+∠ABC=180°-60°=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴120°=60°，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-60°=120°，
则∠AOF=∠BOE=60°，
在AB上取一点H，使得BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△AOH和△AOF中，
∴△AOH≌△AOF(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
过点O作ON⊥AB，OM⊥AC，
∵和的角平分线交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴BC+CA)，
故④正确；
综上所述：正确的是②③④.
故选：C.
【分析】由三角形内角和定理得到∠BAC+∠ABC=180°-∠C，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得∠C，即可判断①；过点O作由角平分线的性质得到ON=OM=OD=a，由三角形的面积公式得到则
BC+CA)=ab，由此可得出④；在AB上取一点H，使得BH=BE，证明得到进而再证明.，得到AF=AH，据此可得结论③解答即可
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得.
故答案为：.
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可.
12．【答案】x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
x3-4x=x（x2-4）=x（x+2）（x-2）．
【分析】考查提公因式法与公式法的综合运用．
13．【答案】21．
【知识点】线段垂直平分线的性质
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F，
平分，
，
∵四边形的面积，
∴
又，
，
.
故答案为：．
【分析】过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F，根据角平分线的性质可得，再利用割补法求出四边形的面积，再代入即可得出答案．
15．【答案】40或80
【知识点】三角形内角和定理；分类讨论
【解析】【解答】解：当为锐角三角形时，如图，
当为钝角三角形时，如图，
综上所述，或
故答案为：80或40.
【分析】分两种情况：为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答.
16．【答案】4；6
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在EB上截取EH=DE，连接AH，如图所示：
∵AE⊥BD，
∴AE是线段DH的垂直平分线，
∴AH=AD，
∴∠AHD=∠ADB=∠ACB，
在△ABC中，AB=AC，
∴设∠ABC=∠ACB=α，
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2α，
在△ADH中，∠AHD=∠ADB=∠ACB=α，
∴∠HAD=180°-(∠ADB+∠ACB)=180°-2α，
∴∠BAC=∠HAD=180°-2α，
∴∠BAC-∠HAC=∠HAD-∠HAC，
∴∠BAH=∠CAD，
在△BAH和△CAD中，
∴△BAH≌△CAD(SAS)，
∴∠1=∠2，CH=DC，
∵CF∥AD，
∴∠DFC=∠ADB=∠ACB=∠ABC，
∵∠DFC是△FBC的外角，
∴∠DFC=∠3+∠4，
又∵∠ACB=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
∴∠DCF=∠2+∠5=∠1+∠3=∠ABC=∠ACB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DC=DF，
∵DE=3，EF=1，
∴DF=DE+EF=4，
∴DC=4，
∴BH=DC=4，
∴BF=BH+HF=4+2=6.
故答案为：4；6.
【分析】在EB上截取EH=DE，连接AH，则AE是线段DH的垂直平分线，由此得AH=AD，则∠AHD=∠ADB=∠ACB，由此可证明∠BAC=∠HAD，进而得∠BAH=∠CAD，据此依据“SAS”判定△BAH和△CAD全等得∠ABH=∠ACD，CH=DC，再根据CF∥AD得∠DFC=∠ADB，再由三角形外角性质证明∠FBC=∠ACF，继而得∠DFC=∠DCC，则DC=DF，然后根据DE=3，HF=2，EF=1得DC=4，由此得BH=DC=4，最后根据“BF=BH+HF”可得BF的长.
17．【答案】（1）解：
=9+1+4
=14；
（2）解：原式：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答.
18．【答案】（1）解：，得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先用求出x，再代入①中计算y即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再计算求解，最后检验即可．
（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
19．【答案】（1）解：小辰的化简过程不正确.
正确解答为：
原式
；
（2）当 时，则 ，
解得 ，
经检验m=4是原方程的解，
即被遮挡的 值为4.
【知识点】分式的混合运算；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)化简不应该去分母，应该先化为同分母，再进行同分母的减法运算；
(2)令 ，求出m的值并检验解答即可.
20．【答案】解：如图所示.

【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作出的平分线OQ和线段CD的中垂线EF，射线OQ与直线EF的交点即为所得点P.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：因为，
，
即，
，
因为，，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到BC=EF，利用线段的和差即可解决问题．
22．【答案】（1）解：(1)已知
则
=36-20
=16，
那么ab=8；
（2）解：∵mn=3，
∴
=31-6
=25，
那么m-n=±5；
（3）解：∵
∴
=9-2
=7，
=7-2
=5，
那么
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式的变式即可求得答案；
(2)利用完全平方公式求得的值后即可求得
(3)利用完全平方公式的变式先求得的值，再求得的值，最后求得的值即可.
23．【答案】（1）；
（2）解：由“K字”模型可知，△EPA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴EP=AG=6，PA=BG=3，BG=CH=3，GC=DH=4，
∴PH=PA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，
∴图中实线所围成的图形的面积=梯形EPHD的面积-△EPE的面积-△ABG的面积-△BGC的面积-△CHD的面积
=50.
（3）证明：过点D作于点M，过点E作于点N，
由（1）可知，当，，，时，
，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即点G是的中点．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC=DE，BC=AE
故答案为：DE；AE.
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等可直接进行求解；
（2）由“K字”模型可知，△EPA≌△AGB，△BGC≌△CHD，则有EP=AG=6，PA=BG=3，BG=CH=3，GC=DH=4，然后根据割补法求面积即可；
（3）过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，由“K字”模型得：△ABF≌△DAM(AAS)，则有AF=DM，然后可证△DMG≌△ENG(AAS)，进而问题可求解.
24．【答案】（1）
（2）证明：延长到点G使，再连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
（3）解：，理由：延长到点H使，再连接，
设，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)延长AD到点E使DE=AD，连接BE，
在 和 中，
(SAS)，
，
，即 ，
，
故答案为： ；【分析】(1)延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算；
(2)延长到点G使，再连接，根据SAS得到△ABG≌△ADF，即可得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，然后推理得到，即可得到，进而证明结论即可；
(3)延长到点H使，再连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到，然后根据三角形的内角和定理和三角形的外角得到，进而根据SAS得到△ABH≌△ABD，根据对应角相等进而得到，即可得到BE=EH，证明结论即可.
1 / 1浙江省宁波市慈溪实验中学2026-2027学年八年级上学期开学检测数学试题
1．中国科技企业聚力创新，从芯片、终端到新能源，以硬核技术擦亮中国制造名片．下列企业的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故选：D.
【分析】根据轴对称图形的概念“沿着一条直线折叠，直线两旁的部分互相重合的图形是轴对称图形”对各选项分析判断即可得解.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，选项A不符合题意；
，选项B符合题意；
和不是同类项，选项C不符合题意；
，选项D不符合题意，
故选：B.
【分析】运用幂的乘方、同底数幂的乘除法、合并同类项法则逐项判断即可.
3．下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、是整式的乘法，故A不合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B不合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C不合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案.
4．对某校701班和702班的学生“最喜爱的课后拓展课程”进行统计，分别绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（　　）
A．701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数多
B．701班中最喜欢足球的人数与702班中最喜欢足球的人数一样多
C．702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为
D．702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数一样多
【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、701班中最喜欢无人机的人数占25%，最喜欢编程的人数占30%，所以701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数少，故选项不符合题意；
B、由于不明确701和702班总人数分别是多少，所以不能比较701班中最喜欢足球的人数与702班中最喜欢足球的人数的多少，故选项不符合题意；
C、702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为360°×30%=108°，故选项不符合题意；
D、702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数都是占总人数的20%，人数一样多，此选项正确，故符合题意.
故选：D.
【分析】根据扇形统计图的概念逐一判断即可得出答案.
5．若分式方程有增根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：原方程去分母得：，
整理得：，
原方程有增根，
，
则，
那么，
解得：，
故选：C.
【分析】将原方程去分母后化为整式方程并整理，再把增根代入整理后的方程求得的值即可.
6．下列句子中，属于命题的是（　　）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意；
B、不是命题，故本选项不符合题意；
C、不是命题，故本选项不符合题意；
D、不是命题，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
7．到三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=OB，
∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在线段AC的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴O在线段BC的垂直平分线上，
即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得： 到三角形三个顶点的距离相等的点 是△ABC的三边垂直平分线的交点。
8．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，
A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意；
B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意；
C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意；
D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意．
故选：A．
【分析】
判定，题目已经给出，，由此可以推出，此时已经得到一组边对应相等、一组角对应相等，接下来只需要结合各个选项所给条件，根据全等三角形的判定定理逐一判断，就能得到正确选项.
9．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
的底是EF，的底是EC，即EF=EC，而高相等，
，
是AD的中点，
，，
，
，且，
，
即阴影部分的面积为。
故答案为：C.
【分析】因为点F是CE的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分别是BC、AD的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答.
10．如图，在中，的平分线相交于点，过点，下列四个结论：①点的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，则．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴根据角平分线的性质，点O到△ABC三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，
∴①错误；
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
在△AOB中，C+∠ABC)
故②正确；
当∠C=60°时，∠BAC+∠ABC=180°-60°=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴120°=60°，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-60°=120°，
则∠AOF=∠BOE=60°，
在AB上取一点H，使得BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△AOH和△AOF中，
∴△AOH≌△AOF(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
过点O作ON⊥AB，OM⊥AC，
∵和的角平分线交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴BC+CA)，
故④正确；
综上所述：正确的是②③④.
故选：C.
【分析】由三角形内角和定理得到∠BAC+∠ABC=180°-∠C，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得∠C，即可判断①；过点O作由角平分线的性质得到ON=OM=OD=a，由三角形的面积公式得到则
BC+CA)=ab，由此可得出④；在AB上取一点H，使得BH=BE，证明得到进而再证明.，得到AF=AH，据此可得结论③解答即可
11．要使分式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得.
故答案为：.
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可.
12．因式分解：x3-4x=　 　．
【答案】x（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
x3-4x=x（x2-4）=x（x+2）（x-2）．
【分析】考查提公因式法与公式法的综合运用．
13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　 　cm．
【答案】21．
【知识点】线段垂直平分线的性质
14．如图，已知四边形的面积为，平分，．则点到的距离是　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F，
平分，
，
∵四边形的面积，
∴
又，
，
.
故答案为：．
【分析】过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F，根据角平分线的性质可得，再利用割补法求出四边形的面积，再代入即可得出答案．
15．在中，为边上的高，，则是　 　度．
【答案】40或80
【知识点】三角形内角和定理；分类讨论
【解析】【解答】解：当为锐角三角形时，如图，
当为钝角三角形时，如图，
综上所述，或
故答案为：80或40.
【分析】分两种情况：为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答.
16．如图，在中，，点D在右下方，．过点C作的平行线交于点F，过A作，垂足E在线段上．若，则的长为　 　，的长为　 　．
【答案】4；6
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在EB上截取EH=DE，连接AH，如图所示：
∵AE⊥BD，
∴AE是线段DH的垂直平分线，
∴AH=AD，
∴∠AHD=∠ADB=∠ACB，
在△ABC中，AB=AC，
∴设∠ABC=∠ACB=α，
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2α，
在△ADH中，∠AHD=∠ADB=∠ACB=α，
∴∠HAD=180°-(∠ADB+∠ACB)=180°-2α，
∴∠BAC=∠HAD=180°-2α，
∴∠BAC-∠HAC=∠HAD-∠HAC，
∴∠BAH=∠CAD，
在△BAH和△CAD中，
∴△BAH≌△CAD(SAS)，
∴∠1=∠2，CH=DC，
∵CF∥AD，
∴∠DFC=∠ADB=∠ACB=∠ABC，
∵∠DFC是△FBC的外角，
∴∠DFC=∠3+∠4，
又∵∠ACB=∠4+∠5，
∴∠3=∠5，
∴∠DCF=∠2+∠5=∠1+∠3=∠ABC=∠ACB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DC=DF，
∵DE=3，EF=1，
∴DF=DE+EF=4，
∴DC=4，
∴BH=DC=4，
∴BF=BH+HF=4+2=6.
故答案为：4；6.
【分析】在EB上截取EH=DE，连接AH，则AE是线段DH的垂直平分线，由此得AH=AD，则∠AHD=∠ADB=∠ACB，由此可证明∠BAC=∠HAD，进而得∠BAH=∠CAD，据此依据“SAS”判定△BAH和△CAD全等得∠ABH=∠ACD，CH=DC，再根据CF∥AD得∠DFC=∠ADB，再由三角形外角性质证明∠FBC=∠ACF，继而得∠DFC=∠DCC，则DC=DF，然后根据DE=3，HF=2，EF=1得DC=4，由此得BH=DC=4，最后根据“BF=BH+HF”可得BF的长.
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=9+1+4
=14；
（2）解：原式：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答.
18．解方程（组）
（1）
（2）．
【答案】（1）解：，得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先用求出x，再代入①中计算y即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再计算求解，最后检验即可．
（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分式两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴．
19．某一次考试中有这样一道题：先化简，再求值： 其中m= ．小辰的化简过程如下：
原式
（1）你觉得小辰的化简过程正确吗 若不正确，请写出正确的化简过程；
（2）老师说：“这题的答案就是-5！”请求出被遮挡的m值．
【答案】（1）解：小辰的化简过程不正确.
正确解答为：
原式
；
（2）当 时，则 ，
解得 ，
经检验m=4是原方程的解，
即被遮挡的 值为4.
【知识点】分式的混合运算；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)化简不应该去分母，应该先化为同分母，再进行同分母的减法运算；
(2)令 ，求出m的值并检验解答即可.
20．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示.

【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作出的平分线OQ和线段CD的中垂线EF，射线OQ与直线EF的交点即为所得点P.
21．如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：因为，
，
即，
，
因为，，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到BC=EF，利用线段的和差即可解决问题．
22．在学习乘法公式时，甲同学发现这四个代数式之间是有关系的，即．请利用上述关系并结合所学知识解决以下问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：(1)已知
则
=36-20
=16，
那么ab=8；
（2）解：∵mn=3，
∴
=31-6
=25，
那么m-n=±5；
（3）解：∵
∴
=9-2
=7，
=7-2
=5，
那么
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式的变式即可求得答案；
(2)利用完全平方公式求得的值后即可求得
(3)利用完全平方公式的变式先求得的值，再求得的值，最后求得的值即可.
23．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到　 　，　 　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）[模型应用]如图2，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
（3）[深入探究]如图3，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点．
【答案】（1）；
（2）解：由“K字”模型可知，△EPA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴EP=AG=6，PA=BG=3，BG=CH=3，GC=DH=4，
∴PH=PA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，
∴图中实线所围成的图形的面积=梯形EPHD的面积-△EPE的面积-△ABG的面积-△BGC的面积-△CHD的面积
=50.
（3）证明：过点D作于点M，过点E作于点N，
由（1）可知，当，，，时，
，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即点G是的中点．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC=DE，BC=AE
故答案为：DE；AE.
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等可直接进行求解；
（2）由“K字”模型可知，△EPA≌△AGB，△BGC≌△CHD，则有EP=AG=6，PA=BG=3，BG=CH=3，GC=DH=4，然后根据割补法求面积即可；
（3）过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，由“K字”模型得：△ABF≌△DAM(AAS)，则有AF=DM，然后可证△DMG≌△ENG(AAS)，进而问题可求解.
24．阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　 　；
（2）问题解决：
如图2，在四边形中，，E、F分别是边上的两点，且，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，平分，点E为边上一点，．猜想线段的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）证明：延长到点G使，再连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
（3）解：，理由：延长到点H使，再连接，
设，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)延长AD到点E使DE=AD，连接BE，
在 和 中，
(SAS)，
，
，即 ，
，
故答案为： ；【分析】(1)延长AD到点E使DE=AD，连接BE，证明，根据全等三角形的性质得到BE=AC，根据三角形三边关系计算；
(2)延长到点G使，再连接，根据SAS得到△ABG≌△ADF，即可得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，然后推理得到，即可得到，进而证明结论即可；
(3)延长到点H使，再连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到，然后根据三角形的内角和定理和三角形的外角得到，进而根据SAS得到△ABH≌△ABD，根据对应角相等进而得到，即可得到BE=EH，证明结论即可.
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