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浙江温州市第二中学2026-2027学年上学期九年级9月综合素质检测数学试题卷
1． 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x=2 B．x≠-2 C．x≤2 D．x≥2
2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的5个社区宣传垃圾分类，他们记录的各社区参加活动的人数为：，那么这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
4．已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5． 如图， 已知点P是线段AB 的黄金分割点，AB=2， 且AP>BP， 则AP 的长为(　　)
A． B． C． D．
6． 如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点 H， 下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
7．如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A．∠B+∠4=180° B．CD∥AB
C．∠1=∠4 D．∠2=∠3
8．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售.经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低x元，则可列方程为(　　)
A．(60-x) (100+10x) =2250 B．(20-x) (100+x) =2250
C．(40-x) (100+10x) =2250 D．(20-x) (100+10x) =2250
9． 如图， 在四边形ABCD中， E， F， G， H分别是AB， BC， CD， DA的中点， 则下列结论正确的是(　　)
A．四边形 EFGH 是矩形
B．四边形 EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
C．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的
D．四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和
10．对于一元二次方程 下列说法正确的个数是 (　　)
①若方程的两个根为-2和1，则2b+c=0．
②若a+b+c=0， 则方程一定有解．
⑧若 则m=n．
④若 ab-bc=0，且 则方程的两实数解一定互为相反数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若一个九边形的8个外角的和为300°，则它的第9个外角的度数为　 　．
12．若，，则代数式　 　．
13．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是　 　．
14．若关于x的一元二次方程 有一个根为2026，则一元二次方程+b(x+1)=-5必有一个根为　 　．
15． 如图， 在正方形ABCD中， 点P是BD上一点，过点P作PE⊥BC于点E， PF⊥CD于点 F，连结EF，若AB=2，则EF的最小值为　 　．
16． 如图，在菱形ABCD中， ∠B=60°，将CD绕点D逆时针旋转至 DE，连结AE 交线段CD于点 F.
⑴ 若F为AE的中点， 则旋转角∠CDE=　 　．
⑵ 若EF=2， 则CE=　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2） x(x+2)=x+2
19．某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制如图统计图．
选手 平均数 方差
A 8.5环 1.75
B 　 0.75
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值
最大值
A 6 　 10
B 8 8 9 10 10
【数据分析】
（1）小华利用平均数和方差进行分析.表格中①处应填　 　环.由表格中的数据可以看出　 　(填“A”或“B”)选手的发挥更稳定．
（2）小殷利用四分位数、箱线图(如图2)进行分析.表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出 A 选手8轮射击成绩的四分位数： =　 　，　 　，　 　．
（3）【作出决策】
根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔　 　．(填“A”或“B”参加青少年射击比赛)
20．如图， D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，相似比是．
（1） 若 DE=4cm， 求BC的长．
（2） 若AE=7cm， 求EC的长．
21．如图，在6×6的正方形网格中，请按要求作图．
（1） 在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC，且这两个三角形不全等．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ=2AQ．
22．如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 相交于点O，且O为BD的中点．
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形．
（2） 如图2， 延长CB至点 E， 使得CB=EB， 若AE=AC=5， CE=6，
①求四边形ABCD 的面积．
②设G为CD上一动点，连结 GO并延长交AB于点 F，若 求DG= ▲ ．(请直接写出答案)
23． 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展.某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为 4000 辆和 4840 辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同.
（1） 求该公司新能源汽车销量的月平均增长率.
（2） 已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理 250 辆汽车的交付任务.若该公司现有 20 名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工.
24．小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D 为边AB上一点，连接CD．
（1） 初步探究： 如图2， 若∠ACD=∠B， 求证：
（2） 尝试应用： 如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4， 求CD的长．
（3） 创新提升： 如图4， 点 E为CD中点，连接BE， 若∠CDB=∠CBD=30°， 则 CD的长为　 　．(请直接写出答案)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次排序为：，
∴众数为，中位数为第3个位置上的数即，
故选：C．
【分析】
根据众数和中位数的定义，就可以求解本题并得出答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
菱形的周长为20，则AB=5，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴BO=4，AC=2OA，
由勾股定理得：，
∴AC=2OA=6，
故菱形另一条对角线的长为6.
故答案为：6.
【分析】根据菱形的周长得边长为5，根据菱形角线互相垂直平分，结合勾股定理可得，即可得菱形另一条对角线的长为6.
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段的黄金分割点，
∴，
，
，
，
解得：或（舍去），
故选：A．
【分析】根据黄金分割的定义得到，从而得到，解方程求出AP长即可．
6．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、因为，则，所以，故该结论是正确的，不符合题意；
B、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意；
C、因为，则 ，所以，故该结论是不正确的，符合题意；
D、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行线分线段成比例判断A、B、D选项，然后根据两直线平行得到，根据对应边成比例判断C选项解答即可.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BN，
∴∠MAE=∠B，∠MEA=∠BNM，
∵ ∠B+∠4=180° ，
∴CD∥MB，
∴∠DCN=∠B=∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，故A，B不符合题意；
∵∠1=∠4，∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°，
∴∠MAE=∠DCN，
∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；
∵ ∠2=∠3，∠AEM+∠2=∠CDN+∠3=180°，
∴∠AEM=∠CDN，不能判断△MAE∽△DCN，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可.
8．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件，
根据题意得.
故答案为：D.
【分析】设每件降低元，表示单利润和销售量，根据利润=单利润×销售量列方程即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，设交于点，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意；
C.四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；
D. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；
故选：C.
【分析】连接，根据三角形中位线的性质得到四边形EFGH是平行四边形，然后根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，，
，，
，故①正确；
②，
将代入方程得，
是方程的根，即方程一定有解，故②正确；
③若，则都是方程的实数根，
一元二次方程可以有两个不相等的实数根，
不一定等于，故③错误；
④若，则，
，，与异号，
，即，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系，两根之和为，
方程的两实数解一定互为相反数，故④正确，
故正确的有①②④，共3个.
故答案为：C.
【分析】由根与系数的关系得到b=a，c=-2a，则可推出判断①；当时，即可得到是原方程的解判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根判断③；推理得到，，即可得到，进而可得根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为0，原方程的两实数解互为相反数判断④.
11．【答案】60°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和都等于，该九边形8个外角的和为，
∴第9个外角的度数为．
故答案为：60°.
【分析】根据多边形的外角和为360°解答即可.
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
将，代入，
则原式，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式可以得到，将对应数值代入公式，进行计算得到最终结果.
13．【答案】m＜
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得△=（ 2）2 4×3×m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
【分析】根据方程根的情况得到△＞0，解不等式求出m的取值范围即可．
14．【答案】2025
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程变形为，
设，则原方程可化为，
∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴有一个根为，
即，解得，
因此一元二次方程必有一个根为．
故答案为：2025.
【分析】利用换元法设，根据两方程系数关系可得，求出x的值解答即可.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵于点，于点F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值．
当时，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，证明四边形是矩形，根据对角线相等得到，再利用“垂线段最短”可求出的最小值为解答即可．
16．【答案】60°；
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∵F为的中点，
∴；
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点F作于点G，
∵四边形是菱形，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∴；
∵，，
在中，，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据菱形的和旋转的性质可得，，然后利用三角形的“三线合一”解答即可；
（2）过点F作于点G，根据菱形和旋转的性质可得，；设，即可得到，进而得到，利用30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
17．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算，然后化简二次根式即可；
（2）先运算二次根式的乘法，然后化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：，
，
，
或，
解得；
（2）解：，
，
，
或，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后利用十字相乘法分解因式解方程即可；
（2）先移项，然后提取公因式(x+2)因式分解解方程即可.
19．【答案】（1）9；B
（2）7.5；9；9.5
（3）B
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：∵选手B的平均成绩：，
∴①处应填9环．
∵选手A的方差为，选手B的方差为，，
∴B的发挥更稳定．
故答案为：9；B；
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是前半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()是后半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
故答案为：7.5；9；9.5；
（3）解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小殷的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B.
【分析】（1）根据平均数公式计算；比较两个选手的方差，根据方差小的选手发挥更稳定解答即可；
（2）根据四分位数的定义解答即可；
（3）通过比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数作决策即可．
20．【答案】（1）解：∵，相似比是，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，相似比是，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求出AC长，然后根据线段的和差解答即可.
21．【答案】（1）解： 如图，△ADE即为所作；
（2）解：如图，点Q即为所作.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等作图即可；
（2）取格点P，使得PC=2AB，连接BE交AC于点Q，则点Q即为所作．
22．【答案】（1）证明：∵，相交于点O，且O为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
由（1）知，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
②1或3.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，过点O作交于点H，
∵，
∴，即点H为的中点，
又∵点O为四边形对角线的中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∵G为上一动点，
∴当点G靠近点C时，，
综上所述，的长为1或3．
故答案为：1或3．
【分析】（1）利用AAS得到，即可得到AO=CO，再根据对角线互相平分得到结论即可；
（2）①利用三线合一可得，，然后根据勾股定理求出长，推理得到四边形是矩形，然后根据矩形的面积公式计算即可；
②先根据AS得到，进而可得，过点O作交于点H，根据勾股定理求出长，根据点G的位置，利用线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据题意得，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为
（2）解：∵每月新能源汽车销量的增长率相同，
∴六月份的新能源汽车销量为：，
∵每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工，
∴20名员工能完成的交付任务是：，
∴不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务
设需要增加m名员工，
由题意得：250（20+m）≥5324，
解得：m≥1.296，
∵m为正整数，
∴m的最小值为2，
∴至少需要增加2名员工，
答：该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加2名员工
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用.
（1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出今年六月份新能源汽车销量是5324辆，20名员工能完成的交付任务是5000辆，得出该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务，再设需要增加m名员工，根据完成今年六月份的新能源汽车交付任务，列出一元一次不等式，解不等式即可．
24．【答案】（1）证明： ∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：如图，取中点，连接、，设，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵点为的中点，
∴，，
在中，，点为的中点，
∴，，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据两组角对应相等得到，再根据对应边成比例得到结论即可；
（2）由（1）的结论可得，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可；
（3）取中点，连接、，设，根据等腰三角形与直角三角形斜边中线性质可得，，，．然后根据两组角对应相等得到，根据对应边成比例求出，，即可得到．再在中利用勾股定理构求出的值解答即可．
1 / 1浙江温州市第二中学2026-2027学年上学期九年级9月综合素质检测数学试题卷
1． 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x=2 B．x≠-2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：B.
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断即可.
3．社会实践活动小组的同学们响应“垃圾分类，从我做起”的号召，主动到附近的5个社区宣传垃圾分类，他们记录的各社区参加活动的人数为：，那么这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大依次排序为：，
∴众数为，中位数为第3个位置上的数即，
故选：C．
【分析】
根据众数和中位数的定义，就可以求解本题并得出答案.
4．已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
菱形的周长为20，则AB=5，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴BO=4，AC=2OA，
由勾股定理得：，
∴AC=2OA=6，
故菱形另一条对角线的长为6.
故答案为：6.
【分析】根据菱形的周长得边长为5，根据菱形角线互相垂直平分，结合勾股定理可得，即可得菱形另一条对角线的长为6.
5． 如图， 已知点P是线段AB 的黄金分割点，AB=2， 且AP>BP， 则AP 的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段的黄金分割点，
∴，
，
，
，
解得：或（舍去），
故选：A．
【分析】根据黄金分割的定义得到，从而得到，解方程求出AP长即可．
6． 如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点 H， 下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、因为，则，所以，故该结论是正确的，不符合题意；
B、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意；
C、因为，则 ，所以，故该结论是不正确的，符合题意；
D、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行线分线段成比例判断A、B、D选项，然后根据两直线平行得到，根据对应边成比例判断C选项解答即可.
7．如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A．∠B+∠4=180° B．CD∥AB
C．∠1=∠4 D．∠2=∠3
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BN，
∴∠MAE=∠B，∠MEA=∠BNM，
∵ ∠B+∠4=180° ，
∴CD∥MB，
∴∠DCN=∠B=∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，故A，B不符合题意；
∵∠1=∠4，∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°，
∴∠MAE=∠DCN，
∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；
∵ ∠2=∠3，∠AEM+∠2=∠CDN+∠3=180°，
∴∠AEM=∠CDN，不能判断△MAE∽△DCN，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可.
8．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售.经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低x元，则可列方程为(　　)
A．(60-x) (100+10x) =2250 B．(20-x) (100+x) =2250
C．(40-x) (100+10x) =2250 D．(20-x) (100+10x) =2250
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件，
根据题意得.
故答案为：D.
【分析】设每件降低元，表示单利润和销售量，根据利润=单利润×销售量列方程即可.
9． 如图， 在四边形ABCD中， E， F， G， H分别是AB， BC， CD， DA的中点， 则下列结论正确的是(　　)
A．四边形 EFGH 是矩形
B．四边形 EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
C．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的
D．四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，设交于点，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意；
C.四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；
D. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；
故选：C.
【分析】连接，根据三角形中位线的性质得到四边形EFGH是平行四边形，然后根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
10．对于一元二次方程 下列说法正确的个数是 (　　)
①若方程的两个根为-2和1，则2b+c=0．
②若a+b+c=0， 则方程一定有解．
⑧若 则m=n．
④若 ab-bc=0，且 则方程的两实数解一定互为相反数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，，
，，
，故①正确；
②，
将代入方程得，
是方程的根，即方程一定有解，故②正确；
③若，则都是方程的实数根，
一元二次方程可以有两个不相等的实数根，
不一定等于，故③错误；
④若，则，
，，与异号，
，即，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系，两根之和为，
方程的两实数解一定互为相反数，故④正确，
故正确的有①②④，共3个.
故答案为：C.
【分析】由根与系数的关系得到b=a，c=-2a，则可推出判断①；当时，即可得到是原方程的解判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根判断③；推理得到，，即可得到，进而可得根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为0，原方程的两实数解互为相反数判断④.
11．若一个九边形的8个外角的和为300°，则它的第9个外角的度数为　 　．
【答案】60°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和都等于，该九边形8个外角的和为，
∴第9个外角的度数为．
故答案为：60°.
【分析】根据多边形的外角和为360°解答即可.
12．若，，则代数式　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
将，代入，
则原式，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式可以得到，将对应数值代入公式，进行计算得到最终结果.
13．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是　 　．
【答案】m＜
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得△=（ 2）2 4×3×m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
【分析】根据方程根的情况得到△＞0，解不等式求出m的取值范围即可．
14．若关于x的一元二次方程 有一个根为2026，则一元二次方程+b(x+1)=-5必有一个根为　 　．
【答案】2025
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程变形为，
设，则原方程可化为，
∵关于的一元二次方程有一个根为，
∴有一个根为，
即，解得，
因此一元二次方程必有一个根为．
故答案为：2025.
【分析】利用换元法设，根据两方程系数关系可得，求出x的值解答即可.
15． 如图， 在正方形ABCD中， 点P是BD上一点，过点P作PE⊥BC于点E， PF⊥CD于点 F，连结EF，若AB=2，则EF的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵于点，于点F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，即取得最小值．
当时，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，证明四边形是矩形，根据对角线相等得到，再利用“垂线段最短”可求出的最小值为解答即可．
16． 如图，在菱形ABCD中， ∠B=60°，将CD绕点D逆时针旋转至 DE，连结AE 交线段CD于点 F.
⑴ 若F为AE的中点， 则旋转角∠CDE=　 　．
⑵ 若EF=2， 则CE=　 　．
【答案】60°；
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∵F为的中点，
∴；
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点F作于点G，
∵四边形是菱形，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∴；
∵，，
在中，，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据菱形的和旋转的性质可得，，然后利用三角形的“三线合一”解答即可；
（2）过点F作于点G，根据菱形和旋转的性质可得，；设，即可得到，进而得到，利用30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算，然后化简二次根式即可；
（2）先运算二次根式的乘法，然后化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可.
18．解方程：
（1）
（2） x(x+2)=x+2
【答案】（1）解：，
，
，
或，
解得；
（2）解：，
，
，
或，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后利用十字相乘法分解因式解方程即可；
（2）先移项，然后提取公因式(x+2)因式分解解方程即可.
19．某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制如图统计图．
选手 平均数 方差
A 8.5环 1.75
B 　 0.75
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值
最大值
A 6 　 10
B 8 8 9 10 10
【数据分析】
（1）小华利用平均数和方差进行分析.表格中①处应填　 　环.由表格中的数据可以看出　 　(填“A”或“B”)选手的发挥更稳定．
（2）小殷利用四分位数、箱线图(如图2)进行分析.表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出 A 选手8轮射击成绩的四分位数： =　 　，　 　，　 　．
（3）【作出决策】
根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔　 　．(填“A”或“B”参加青少年射击比赛)
【答案】（1）9；B
（2）7.5；9；9.5
（3）B
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：∵选手B的平均成绩：，
∴①处应填9环．
∵选手A的方差为，选手B的方差为，，
∴B的发挥更稳定．
故答案为：9；B；
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是前半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()是后半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
故答案为：7.5；9；9.5；
（3）解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小殷的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B.
【分析】（1）根据平均数公式计算；比较两个选手的方差，根据方差小的选手发挥更稳定解答即可；
（2）根据四分位数的定义解答即可；
（3）通过比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数作决策即可．
20．如图， D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，相似比是．
（1） 若 DE=4cm， 求BC的长．
（2） 若AE=7cm， 求EC的长．
【答案】（1）解：∵，相似比是，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，相似比是，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求出AC长，然后根据线段的和差解答即可.
21．如图，在6×6的正方形网格中，请按要求作图．
（1） 在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC，且这两个三角形不全等．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ=2AQ．
【答案】（1）解： 如图，△ADE即为所作；
（2）解：如图，点Q即为所作.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等作图即可；
（2）取格点P，使得PC=2AB，连接BE交AC于点Q，则点Q即为所作．
22．如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AC，BD 相交于点O，且O为BD的中点．
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形．
（2） 如图2， 延长CB至点 E， 使得CB=EB， 若AE=AC=5， CE=6，
①求四边形ABCD 的面积．
②设G为CD上一动点，连结 GO并延长交AB于点 F，若 求DG= ▲ ．(请直接写出答案)
【答案】（1）证明：∵，相交于点O，且O为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
由（1）知，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
②1或3.
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，过点O作交于点H，
∵，
∴，即点H为的中点，
又∵点O为四边形对角线的中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∵G为上一动点，
∴当点G靠近点C时，，
综上所述，的长为1或3．
故答案为：1或3．
【分析】（1）利用AAS得到，即可得到AO=CO，再根据对角线互相平分得到结论即可；
（2）①利用三线合一可得，，然后根据勾股定理求出长，推理得到四边形是矩形，然后根据矩形的面积公式计算即可；
②先根据AS得到，进而可得，过点O作交于点H，根据勾股定理求出长，根据点G的位置，利用线段的和差解答即可．
23． 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展.某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为 4000 辆和 4840 辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同.
（1） 求该公司新能源汽车销量的月平均增长率.
（2） 已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理 250 辆汽车的交付任务.若该公司现有 20 名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工.
【答案】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据题意得，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为
（2）解：∵每月新能源汽车销量的增长率相同，
∴六月份的新能源汽车销量为：，
∵每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工，
∴20名员工能完成的交付任务是：，
∴不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务
设需要增加m名员工，
由题意得：250（20+m）≥5324，
解得：m≥1.296，
∵m为正整数，
∴m的最小值为2，
∴至少需要增加2名员工，
答：该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加2名员工
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用.
（1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出今年六月份新能源汽车销量是5324辆，20名员工能完成的交付任务是5000辆，得出该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务，再设需要增加m名员工，根据完成今年六月份的新能源汽车交付任务，列出一元一次不等式，解不等式即可．
24．小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D 为边AB上一点，连接CD．
（1） 初步探究： 如图2， 若∠ACD=∠B， 求证：
（2） 尝试应用： 如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4， 求CD的长．
（3） 创新提升： 如图4， 点 E为CD中点，连接BE， 若∠CDB=∠CBD=30°， 则 CD的长为　 　．(请直接写出答案)
【答案】（1）证明： ∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：如图，取中点，连接、，设，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵点为的中点，
∴，，
在中，，点为的中点，
∴，，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据两组角对应相等得到，再根据对应边成比例得到结论即可；
（2）由（1）的结论可得，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可；
（3）取中点，连接、，设，根据等腰三角形与直角三角形斜边中线性质可得，，，．然后根据两组角对应相等得到，根据对应边成比例求出，，即可得到．再在中利用勾股定理构求出的值解答即可．
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