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浙江省杭州市上城区丁荷中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
1．汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2． 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．5，6，10 B．5，5，11 C．3，4，8 D．5，6，11
3．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（　　）
A． B． C． D．
5． 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（　　）
A． B．或 C． D．或
6．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
7．的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是(　　)
A． B．
C．：：：： D．，，
8．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（　　）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲
9．杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知等边三角形△ABC边长为a，等腰三角形△BDC中，∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连结MN．则△AMN的周长为(　　)
A．a B．2a C．3a D．4a
11． 点在第　 　象限，其关于原点的对称点坐标为　 　．
12．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理　 　．
13．如图，D是的边上一点，交于，，，若，，则　 　．
14．如图，在中，，分别是，上的点，，，若，则的面积为　 　．
15．关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为　 　．
16．如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，　 　．
17．解下列不等式（组）：
（1）
（2）．
18．如图，点B，F，C，E在一条直线上，．
（1）求证：．
（2）若，求．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为．
（1）画出 关于x轴对称的 ；
（2）直接写出点 A 关于 y轴的对称点的坐标为_______；
（3）在x轴上找到一点 P（标出点 P即可，不用求坐标），使的和最小，并直接写出的最小值．
20．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）当时，求．
21．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动．
（1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
22．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．
（1）证明：垂直平分．
（2）若的周长为18，面积为24，，求的长．
23．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
24．如图，在中，，，D为边上一点．
（1）作交于点H，若，，求．
（2）作，且，连结交边于点F，连结．若．
①求证：．
②写出线段之间的等量关系并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】A.不是轴对称图形；
B.不是轴对称图形；
C.是轴对称图形；
D.不是轴对称图形；
故选：C．
【分析】
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、5+6>10，正确；
B、5+5<11，错误；
C、3+4<8，错误；
D、5+6=11，错误；
故正确答案为：A
【分析】三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∴，
选项A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【分析】
根据不等式的基本性质：（1）把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，依据这些性质即可解答.
4．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】 向右平移2个单位长度后得到点
故正确答案为：B
【分析】点的坐标平移规律，右加左减、上加下减.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当这个角为顶角时，顶角等于；
当这个角为底角时，.
故正确答数为：D
【分析】分类讨论，即当这个角为顶角或这个角为底角时，若为顶角直接得出答案，若为底角，则由三角形的内角和定理计算即可.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长是AB＋AD＋BD，
∴AB＋AD＋BD=AB＋AD＋CD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴ △ABD的周长＝19．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得MN垂直平分BC，即可得到BD=CD，然后得到AB＋AD＋BD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：因为 ，所以是直角三角形，故A不符合题意；
B：因为 ，所以∠A=90°，所以是直角三角形 ，故B不符合题意；
C：因为：：：： ，所以∠A、∠B、∠C三个角的度数分别为45°，60°，75°，所以不是直角三角形 ，故C符合题意；
D：c2=169，所以 ，所以是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据直角三角形的判定，分别进行识别，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙.
故选A．
【分析】
先对图形进行观察，再结合AAS、SAS这两种三角形全等的判定方法，就可以得出对应的答案.
9．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地，
∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了，
∴剩余时间内平整的土地为：
根据题意得，，
故选：C．
【分析】
设施工队在剩余时间内每小时平整土地，根据任务要求，全部平整工作需要不超过3小时完成。已知开始的半小时因操作不熟练，仅完成了的平整量，因此剩余可施工时间为(3-0.5)小时，这段时间内可以平整的土地面积为。要按时完成全部任务，总的平整面积需要不小于总任务量，因此根据题意可列不等式：.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为a的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CDN中，BF=CN，∠DBF=∠DCN=90°，DB=DC
∴△BDF≌△CDN（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF（SAS），
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a，
故选B．
【分析】
通过已知条件无法直接算出三角形三边的长度，只能将△AMN的三边用其他已知边长表示出来，需要添加辅助线构造全等三角形：延长AB到点F，使得BF=CN，连接DF。通过证明△BDF和△CDN全等，再证明△DMN和△DMF全等，即可得到MN=MF，最终推出△AMN的周长等于AB与AC的长度之和.
11．【答案】二；
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】
点A在第二象限
点A关于原点对称的点的坐标为
故正确答案依次为：二、
【分析】
各象限内点的坐标特征：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）；
关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数.
12．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】将原命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题。
13．【答案】8
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，，
又，
，
，
，
故答案为：8．
【分析】
根据AAS判定定理证明，再由全等三角形对应边相等的性质，得到，据此即可完成求解.
14．【答案】5
【知识点】三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
首先根据已知条件，也就是E为BC中点，推出；接着结合，即BD占AB总长的三分之一，且△BDE和△ABE同高，可得，代入面积即可计算得到最终结果.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】
首先先分别解出两个不等式，然后取公共解集，最后确定参数的取值范围．
16．【答案】2或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
当时，如图所示，
∴，
∴即，
解得：，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，即；
当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示，
由第一种情况得：，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，即；
∵，
∴，
综上可得：或，
故答案为：或．
【分析】
分三种情况进行讨论：当时，先通过等面积法得到，再利用勾股定理算出，同时得到，最后再次利用勾股定理就能算出对应结果；当时，先连接，将延长，交于点G，再过点A作，证明得到，设，就可以得到，据此建立方程即可求解；第三种情况根据翻折的性质可得，可推出，这种情况不成立，即可得到最终结果.
17．【答案】（1）解：
∴，
∴；
（2）解：，解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不到”求出不等式组的解集即可．
18．【答案】（1）解：∵，∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）利用全等三角形的判定定理完成证明；
（2）首先根据全等三角形对应角相等的性质，得到，再结合三角形内角和为180°的性质列出算式计算，就可以得到最终结果.
（1）解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：如图所示，分别作点、、关于x轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求；
（2）
（3）解： 连接交轴于点，点即为所求，
【知识点】两点之间线段最短；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（2）解：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：连接交轴于点，点即为所求，∴，
∴最小值为．
【分析】
（1）要作出△ABC关于x轴对称的图形，我们分别作出点、、关于x轴的对称点、、，再依次顺次连接、、，得到的就是所求作的对称图形；
（2）若要得到关于y轴对称的点的坐标，根据坐标对称规律：关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数，按照这个规律即可直接写出对应点的坐标，得到结果；
（3）要在x轴上找一点P使得周长最短，根据"两点之间，线段最短"的原理：连接，该线段与x轴的交点即为所求的点.
（1）解：如图所示，分别作点、、关于x轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求；
（2）解：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：连接交轴于点，点即为所求，
∴，
∴最小值为．
20．【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解；如图，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）已知，根据等腰三角形的性质可得，结合题中给出的条件、，即可根据边角边全等判定定理证明，再根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，即可证明是等腰三角形；
（2）已知，结合，根据三角形内角和定理可计算出，再结合得到对应角相等，通过角的和差关系与三角形内角和定理，即可求出的度数．
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）如图，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】
（1）在中，借助勾股定理计算出的长度，结合题目给出的台风移动速度，就可以求出台风中心从B移动到D所花费的时间；
（2）假设A市在台风移动到P点时开始受到影响，移动到Q点时结束影响，结合题意确定对应图形后，可以得到，A市会在台风位于P到Q之间的路段时受到影响，只要算出PQ的长度，再结合台风速度就可以求出A市受台风影响的总时长.
（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
22．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点A和点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分.
（2）解：如图，
∵，的周长为18，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为4.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等积变换
【解析】【分析】（1）根据，得相等，根据平分，得相等，即可证明全等，根据全等性质得，即可得点A和点D在的垂直平分线上，即可垂直平分.
（2）根据的周长为18，，即可求出，由（1）得全等，根据全等性质得等于90度，再根据分割法求面积，列出方程，求解即可得的长为4.
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点A和点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）解：∵，的周长为18，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台
依题意得：，解得：，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇台，根据题意得：
，
解得：，
∵，且X应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台；
当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台．
24．【答案】（1）解：∵，，，∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②．理由如下：
由①可得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】
（1）按照含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理，即可完成计算；
（2）①证明过程如下：过点作，垂足为，再过点作，垂足为，由此可证，根据全等三角形的性质可得，，。结合已知，可推出，整理后可得，因此。最后结合条件，即可推导出。
②根据①的结论可以得到，由此可推出。之后借助勾股定理可得关系式，再结合全等三角形的判定定理与性质，能够证得，因此可得，最后通过等量代换即可完成求解.
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②．理由如下：
由①可得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴．
1 / 1浙江省杭州市上城区丁荷中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
1．汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】A.不是轴对称图形；
B.不是轴对称图形；
C.是轴对称图形；
D.不是轴对称图形；
故选：C．
【分析】
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2． 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．5，6，10 B．5，5，11 C．3，4，8 D．5，6，11
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、5+6>10，正确；
B、5+5<11，错误；
C、3+4<8，错误；
D、5+6=11，错误；
故正确答案为：A
【分析】三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，
∴，
选项A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【分析】
根据不等式的基本性质：（1）把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，依据这些性质即可解答.
4． 若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】 向右平移2个单位长度后得到点
故正确答案为：B
【分析】点的坐标平移规律，右加左减、上加下减.
5． 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当这个角为顶角时，顶角等于；
当这个角为底角时，.
故正确答数为：D
【分析】分类讨论，即当这个角为顶角或这个角为底角时，若为顶角直接得出答案，若为底角，则由三角形的内角和定理计算即可.
6．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∵△ABD的周长是AB＋AD＋BD，
∴AB＋AD＋BD=AB＋AD＋CD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴ △ABD的周长＝19．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得MN垂直平分BC，即可得到BD=CD，然后得到AB＋AD＋BD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长.
7．的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是(　　)
A． B．
C．：：：： D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：因为 ，所以是直角三角形，故A不符合题意；
B：因为 ，所以∠A=90°，所以是直角三角形 ，故B不符合题意；
C：因为：：：： ，所以∠A、∠B、∠C三个角的度数分别为45°，60°，75°，所以不是直角三角形 ，故C符合题意；
D：c2=169，所以 ，所以是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据直角三角形的判定，分别进行识别，即可得出答案。
8．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（　　）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙.
故选A．
【分析】
先对图形进行观察，再结合AAS、SAS这两种三角形全等的判定方法，就可以得出对应的答案.
9．杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地，
∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了，
∴剩余时间内平整的土地为：
根据题意得，，
故选：C．
【分析】
设施工队在剩余时间内每小时平整土地，根据任务要求，全部平整工作需要不超过3小时完成。已知开始的半小时因操作不熟练，仅完成了的平整量，因此剩余可施工时间为(3-0.5)小时，这段时间内可以平整的土地面积为。要按时完成全部任务，总的平整面积需要不小于总任务量，因此根据题意可列不等式：.
10．如图，已知等边三角形△ABC边长为a，等腰三角形△BDC中，∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连结MN．则△AMN的周长为(　　)
A．a B．2a C．3a D．4a
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为a的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CDN中，BF=CN，∠DBF=∠DCN=90°，DB=DC
∴△BDF≌△CDN（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF（SAS），
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=2a，
故选B．
【分析】
通过已知条件无法直接算出三角形三边的长度，只能将△AMN的三边用其他已知边长表示出来，需要添加辅助线构造全等三角形：延长AB到点F，使得BF=CN，连接DF。通过证明△BDF和△CDN全等，再证明△DMN和△DMF全等，即可得到MN=MF，最终推出△AMN的周长等于AB与AC的长度之和.
11． 点在第　 　象限，其关于原点的对称点坐标为　 　．
【答案】二；
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】
点A在第二象限
点A关于原点对称的点的坐标为
故正确答案依次为：二、
【分析】
各象限内点的坐标特征：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）；
关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数.
12．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理　 　．
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】将原命题改写成如果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题。
13．如图，D是的边上一点，交于，，，若，，则　 　．
【答案】8
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，，
又，
，
，
，
故答案为：8．
【分析】
根据AAS判定定理证明，再由全等三角形对应边相等的性质，得到，据此即可完成求解.
14．如图，在中，，分别是，上的点，，，若，则的面积为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
首先根据已知条件，也就是E为BC中点，推出；接着结合，即BD占AB总长的三分之一，且△BDE和△ABE同高，可得，代入面积即可计算得到最终结果.
15．关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】
首先先分别解出两个不等式，然后取公共解集，最后确定参数的取值范围．
16．如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，　 　．
【答案】2或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
当时，如图所示，
∴，
∴即，
解得：，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，即；
当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示，
由第一种情况得：，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，即；
∵，
∴，
综上可得：或，
故答案为：或．
【分析】
分三种情况进行讨论：当时，先通过等面积法得到，再利用勾股定理算出，同时得到，最后再次利用勾股定理就能算出对应结果；当时，先连接，将延长，交于点G，再过点A作，证明得到，设，就可以得到，据此建立方程即可求解；第三种情况根据翻折的性质可得，可推出，这种情况不成立，即可得到最终结果.
17．解下列不等式（组）：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
∴，
∴；
（2）解：，解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不到”求出不等式组的解集即可．
18．如图，点B，F，C，E在一条直线上，．
（1）求证：．
（2）若，求．
【答案】（1）解：∵，∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）利用全等三角形的判定定理完成证明；
（2）首先根据全等三角形对应角相等的性质，得到，再结合三角形内角和为180°的性质列出算式计算，就可以得到最终结果.
（1）解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为．
（1）画出 关于x轴对称的 ；
（2）直接写出点 A 关于 y轴的对称点的坐标为_______；
（3）在x轴上找到一点 P（标出点 P即可，不用求坐标），使的和最小，并直接写出的最小值．
【答案】（1）解：如图所示，分别作点、、关于x轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求；
（2）
（3）解： 连接交轴于点，点即为所求，
【知识点】两点之间线段最短；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
（2）解：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：连接交轴于点，点即为所求，∴，
∴最小值为．
【分析】
（1）要作出△ABC关于x轴对称的图形，我们分别作出点、、关于x轴的对称点、、，再依次顺次连接、、，得到的就是所求作的对称图形；
（2）若要得到关于y轴对称的点的坐标，根据坐标对称规律：关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数，按照这个规律即可直接写出对应点的坐标，得到结果；
（3）要在x轴上找一点P使得周长最短，根据"两点之间，线段最短"的原理：连接，该线段与x轴的交点即为所求的点.
（1）解：如图所示，分别作点、、关于x轴的对称点、、，
连接点、、，得到即为所求；
（2）解：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
∴点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：连接交轴于点，点即为所求，
∴，
∴最小值为．
20．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）当时，求．
【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解；如图，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）已知，根据等腰三角形的性质可得，结合题中给出的条件、，即可根据边角边全等判定定理证明，再根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，即可证明是等腰三角形；
（2）已知，结合，根据三角形内角和定理可计算出，再结合得到对应角相等，通过角的和差关系与三角形内角和定理，即可求出的度数．
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）如图，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动．
（1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】
（1）在中，借助勾股定理计算出的长度，结合题目给出的台风移动速度，就可以求出台风中心从B移动到D所花费的时间；
（2）假设A市在台风移动到P点时开始受到影响，移动到Q点时结束影响，结合题意确定对应图形后，可以得到，A市会在台风位于P到Q之间的路段时受到影响，只要算出PQ的长度，再结合台风速度就可以求出A市受台风影响的总时长.
（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
22．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．
（1）证明：垂直平分．
（2）若的周长为18，面积为24，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点A和点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分.
（2）解：如图，
∵，的周长为18，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为4.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等积变换
【解析】【分析】（1）根据，得相等，根据平分，得相等，即可证明全等，根据全等性质得，即可得点A和点D在的垂直平分线上，即可垂直平分.
（2）根据的周长为18，，即可求出，由（1）得全等，根据全等性质得等于90度，再根据分割法求面积，列出方程，求解即可得的长为4.
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点A和点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）解：∵，的周长为18，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台
依题意得：，解得：，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇台，根据题意得：
，
解得：，
∵，且X应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台；
当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台．
24．如图，在中，，，D为边上一点．
（1）作交于点H，若，，求．
（2）作，且，连结交边于点F，连结．若．
①求证：．
②写出线段之间的等量关系并证明．
【答案】（1）解：∵，，，∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②．理由如下：
由①可得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】
（1）按照含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理，即可完成计算；
（2）①证明过程如下：过点作，垂足为，再过点作，垂足为，由此可证，根据全等三角形的性质可得，，。结合已知，可推出，整理后可得，因此。最后结合条件，即可推导出。
②根据①的结论可以得到，由此可推出。之后借助勾股定理可得关系式，再结合全等三角形的判定定理与性质，能够证得，因此可得，最后通过等量代换即可完成求解.
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②．理由如下：
由①可得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴．
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