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第2课时　椭圆及其标准方程的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.平面内动点P(x，y)满足方程+=4则动点P的轨迹方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A.10 B.16 C.18 D.20
3.(多选)已知P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点.△PF1F2的面积为2则P点的纵坐标可能为(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
4.设F1，F2为椭圆+y2=1的两个焦点，点P在此椭圆上，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B.2 C.1 D.
5.P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为(　　)
A.60° B.30° C.120° D.150°
6.已知F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，过F1的直线交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=5，则|AB|=　　　　.
7.已知P为椭圆+=1上一动点，记原点为O，若=2则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.
8.(13分)已知动点P到定点F(4，0)的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数求点P的轨迹方程.
9.(多选)已知P是椭圆+y2=1上的一点，F1，F2是其两个焦点，则∠F1PF2的大小可能为(　　)
A. B. C. D.
10.(15分)已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；(7分)
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(8分)
11.已知椭圆+=1上的点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为　　　　.
12.已知F1，F2是椭圆C：+=1的左、右焦点，点P在C上，且线段PF1的中点在以F1F2为直径的圆上，则△PF1F2的面积为(　　)
A.4 B.6 C.4 D.6
第2课时　椭圆及其标准方程的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.平面内动点P(x，y)满足方程+=4则动点P的轨迹方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案　B
解析　由题意，点P到两点(-1，0)，(1，0)的距离之和4>2，
所以点P的轨迹是以(-1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，
且a=2c=1，b2=a2-c2=12-1=11，
所以点P的轨迹方程为+=1.
2.椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)
A.10 B.16 C.18 D.20
答案　D
解析　由+=1可得椭圆焦点在x轴上，且a=5，
则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20.
3.(多选)已知P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点.△PF1F2的面积为2则P点的纵坐标可能为(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
答案　AB
解析　依题意a=4，b=3，c=
设P点的纵坐标的绝对值为|y0|，
因为|F1F2|=2且△PF1F2的面积为2
则×2×|y0|=2
所以|y0|=2，则y0=2或y0=-2.
4.设F1，F2为椭圆+y2=1的两个焦点，点P在此椭圆上，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B.2 C.1 D.
答案　C
解析　由题意可知2a=22c=2×=4，
方法一　设|PF1|=x，则|PF2|=2a-x=2-x，
因为PF1⊥PF2，所以+=
所以x2+(2-x)2=4c2=16，
解得x=-或x=+
即或
=|PF1|·|PF2|
=×(-)×(+)=1.
方法二　因为PF1⊥PF2，
所以+=
即+=16.
又|PF1|+|PF2|=2
所以+2|PF1||PF2|+=20，
所以|PF1||PF2|=2，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=1.
5.P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为(　　)
A.60° B.30° C.120° D.150°
答案　A
解析　由椭圆的定义得
|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=2
∴(|PF1|+|PF2|)2=64，
∵|PF1|·|PF2|=12，∴|PF1|2+|PF2|2=40，
在△F1PF2中，
由余弦定理得cos∠F1PF2==
∵0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2=60°.
6.已知F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，过F1的直线交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=5，则|AB|=　　　　.
答案　3
解析　由椭圆的定义，知
|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4，
所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，
即|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
又|AF2|+|BF2|=5，所以|AB|=3.
7.已知P为椭圆+=1上一动点，记原点为O，若=2则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.
答案　+=1
解析　设点Q(x，y)，由=2
得点P(2x，2y)，而点P为椭圆+=1上的任意一点，
所以+=1，整理得+=1，
所以点Q的轨迹方程是+=1.
8.(13分)已知动点P到定点F(4，0)的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数求点P的轨迹方程.
解　设动点P(x，y)，由点P与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x=的距离的比是常数
得=
即25[(x-4)2+y2]=16
整理得9x2+25y2=225，
即点P的轨迹方程为+=1.
9.(多选)已知P是椭圆+y2=1上的一点，F1，F2是其两个焦点，则∠F1PF2的大小可能为(　　)
A. B. C. D.
答案　BCD
解析　当点P位于y轴上时，∠F1PF2最大，此时|PF1|=2，|PF2|=2，c==.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2=-故∠F1PF2的最大值为结合选项可知，∠F1PF2的大小可能为.
10.(15分)已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；(7分)
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(8分)
解　(1)方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4+11b2-16=0，
故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5，
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则2a=+
=2
所以a=因为c=2，所以b2=a2-c2=1.
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，
解得y0=±.又+=1，
所以=x0=±
所以点P有4个，它们的坐标分别为.
11.已知椭圆+=1上的点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为　　　　.
答案　4
解析　记F2为该椭圆的右焦点，连接MF2，如图.由椭圆方程可知，a2=25，所以a=5.因为|MF1|=2，所以|MF2|=2a-|MF1|=8.在△MF1F2中，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以ON是△MF1F2的中位线，所以|ON|=|MF2|=4.
12.已知F1，F2是椭圆C：+=1的左、右焦点，点P在C上，且线段PF1的中点在以F1F2为直径的圆上，则△PF1F2的面积为(　　)
A.4 B.6 C.4 D.6
答案　A
解析　由椭圆C：+=1知a=4，b=2c=2，
设PF1的中点为M，
则|PF2|=2|OM|=2c=4，
于是|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c=4，
又|F1F2|=4，则△PF1F2为正三角形，
即=×16=4.

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