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3.1.2　 第1课时　椭圆的简单几何性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　)
A.|x|≤3，|y|≤5 B.|x|≤|y|≤
C.|x|≤5，|y|≤3　　 D.|x|≤|y|≤
2.椭圆x2+=1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.
3.下列四个椭圆中，形状最扁的椭圆是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.与椭圆+=1有相同焦点，且长轴长为4的椭圆的标准方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.(多选)为使椭圆+=1的离心率为正数m的值可以是(　　)
A.1 B. C. D.
6.若椭圆C：+=1，则该椭圆的焦点到短轴端点的距离为　　　　.
7.我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆E：+=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为　　　　　　　　　　.
8.(14分)求下列方程表示的椭圆的长轴长、短半轴长、焦点坐标以及离心率：
(1)+=1；(7分)
(2)8x2+3y2=24.(7分)
9.已知椭圆C：+=1(a>b>0)中，a>3b，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
10.(14分)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个顶点为(0，2)，离心率e=；(7分)
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.(7分)
11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF=90°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
12.(多选)若椭圆绕其对称中心旋转90°，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”.下列方程所表示的椭圆是“对称椭圆”的有(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.1.2　 第1课时　椭圆的简单几何性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　)
A.|x|≤3，|y|≤5 B.|x|≤|y|≤
C.|x|≤5，|y|≤3　　 D.|x|≤|y|≤
答案　C
解析　椭圆的标准方程为+=1，故|x|≤5，|y|≤3.
2.椭圆x2+=1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.
答案　D
解析　椭圆x2+=1的焦点在y轴上，
即0由长轴长是短轴长的2倍，可得=2，解得m=.
3.下列四个椭圆中，形状最扁的椭圆是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案　A
解析　因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆+=1的形状最扁.
4.与椭圆+=1有相同焦点，且长轴长为4的椭圆的标准方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案　D
解析　椭圆+=1的焦点坐标为(-0)，(0)，
则所求椭圆的焦点在x轴上，设其方程为+=1(a>b>0)，
可得a2-b2=5.
又所求椭圆的长轴长为4即2a=4得a=2
∴a2=20，则b2=20-5=15，∴所求椭圆的标准方程是+=1.
5.(多选)为使椭圆+=1的离心率为正数m的值可以是(　　)
A.1 B. C. D.
答案　CD
解析　当0此时a2=2，b2=m，
所以c2=a2-b2=2-m，
所以e2===
解得m=符合题意；
当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m，b2=2，
所以c2=a2-b2=m-2，
所以e2===
解得m=符合题意.
故正数m的值可以是或.
6.若椭圆C：+=1，则该椭圆的焦点到短轴端点的距离为　　　　.
答案　2
解析　椭圆的焦点到短轴端点的距离为a=2.
7.我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆E：+=1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为　　　　　　　　　　.
答案　+=1
解析　椭圆E的离心率为e==
设椭圆F的标准方程为+=1(a>b>0)，
则a==2，
∴椭圆F的半焦距c=1，b2=a2-c2=3，
即椭圆F的标准方程为+=1.
8.(14分)求下列方程表示的椭圆的长轴长、短半轴长、焦点坐标以及离心率：
(1)+=1；(7分)
(2)8x2+3y2=24.(7分)
解　(1)由36>24可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2=36，b2=24，因此长轴长2a=12，短半轴长b=2.
又因为c2=a2-b2=36-24=12，即c=2.因此，椭圆的焦点坐标为(-20)，(20).
离心率e===.
(2)已知椭圆的方程可化为+=1，
由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a2=8，b2=3，因此长轴长2a=4短半轴长b=.
又因为c2=a2-b2=8-3=5，即c=.
因此，椭圆的焦点坐标为(0，-)，(0).
离心率e===.
9.已知椭圆C：+=1(a>b>0)中，a>3b，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为a>3b，则<
故e2===1->1-=即e>又e<1，
所以椭圆C的离心率的取值范围是.
10.(14分)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个顶点为(0，2)，离心率e=；(7分)
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.(7分)
解　(1)①当椭圆焦点在x轴上时，
由已知得b=2，e==
∵a2-b2=c2，∴a2=b2=4，
∴椭圆的标准方程为+=1.
②当椭圆焦点在y轴上时，
由已知得a=2，e==
∵a2-b2=c2，∴a2=4，b2=3，
∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0.
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，
∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18.
故所求椭圆的标准方程为+=1.
11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF=90°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意知，A(-a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
∵∠ABF=90°，∴kAB·kBF=-1，
即=-1，∴=1，
即b2=ac，∴c2-a2+ac=0，
即e2+e-1=0，又0∴e=-(舍去)或e=.
12.(多选)若椭圆绕其对称中心旋转90°，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”.下列方程所表示的椭圆是“对称椭圆”的有(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案　AC
解析　因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，
所以2b=2c，即b=c，
对于A，a2=6，b2=3，则c2=a2-b2=3，所以b=c，所以A正确；
对于B，a2=12，b2=8，则c2=a2-b2=4，所以b≠c，所以B错误；
对于C，a2=10，b2=5，则c2=a2-b2=5，所以b=c，所以C正确；
对于D，a2=5，b2=3，则c2=a2-b2=2，所以b≠c，所以D错误.

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