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第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
2.若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a无公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.(多选)已知直线l过点A(3，-1)，且椭圆C：+=1，则下列说法正确的是(　　)
A.点A在椭圆C内部
B.点A在椭圆C外部
C.直线l与椭圆C相交
D.直线l与椭圆C的位置关系不确定
4.(多选)某月球探测器顺利进入以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米，近月点、远月点与月球球心在同一条直线上.已知月球的直径约为3 476千米，对该椭圆下述四个结论正确的是(　　)
A.焦距约为300千米
B.长轴长约为3 988千米
C.两焦点坐标约为(±150，0)
D.离心率约为
5.椭圆C：mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为则的值为(　　)
A. B. C. D.
6.已知椭圆C：+=1，过点P(1，-1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是　　　　　.
7.某数学兴趣小组制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30 cm，短轴长为15 cm，大椭圆的长轴长为60 cm，则大椭圆的短轴长为　　　　cm.
8.(13分)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为A(0，1)为椭圆E上一点.
(1)求椭圆E的方程；(6分)
(2)若直线y=x+m与椭圆E有且只有一个公共点，求m的值.(7分)
9.已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50×108 km，焦距与长轴长的比值为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离为　　　　　　　　km，最近距离为　　　　　　　km.(注：把地球、太阳看成质点)
10.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为短轴长为2.
(1)求C的方程；(6分)
(2)若斜率为k的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为T(1，t)(t>0)，求k的取值范围.(9分)
11.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　　米.
12.若P为椭圆+y2=1上任意一点，则点P到直线x+y+4=0的距离的最大值是　　　　；此时点P坐标是　　　　　　　.
第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
答案　C
解析　联立得3x2+2x-1=0，则Δ=22+4×3=16>0，
所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交.
2.若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a无公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆，则a>0，
联立可得4x2-6x+3-a=0，
则Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12<0，
解得a<所以a的取值范围为.
3.(多选)已知直线l过点A(3，-1)，且椭圆C：+=1，则下列说法正确的是(　　)
A.点A在椭圆C内部
B.点A在椭圆C外部
C.直线l与椭圆C相交
D.直线l与椭圆C的位置关系不确定
答案　AC
解析　∵直线l过点(3，-1)且+<1，
∴点A(3，-1)在椭圆C的内部，直线l与椭圆C相交.
4.(多选)某月球探测器顺利进入以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米，近月点、远月点与月球球心在同一条直线上.已知月球的直径约为3 476千米，对该椭圆下述四个结论正确的是(　　)
A.焦距约为300千米
B.长轴长约为3 988千米
C.两焦点坐标约为(±150，0)
D.离心率约为
答案　AD
解析　设该椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.
依题意可得月球半径约为×3 476=1 738(千米)，
a-c=100+1 738=1 838，
a+c=400+1 738=2 138，
2a=1 838+2 138=3 976，则a=1 988，
c=2 138-1 988=150，焦距2c=300，
所以椭圆的离心率约为e===
可得结论A，D项正确，B项错误；
因为没有给定坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.
5.椭圆C：mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由已知可得==kMN==-
上述两个等式相乘得=-
由已知可得两式作差得m(-)+n(-)=0，
所以=-=.
6.已知椭圆C：+=1，过点P(1，-1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是　　　　　.
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2，y1+y2=-2，
且+=1+=1，
作差得=-所以=-×=
即直线l的斜率是.
7.某数学兴趣小组制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30 cm，短轴长为15 cm，大椭圆的长轴长为60 cm，则大椭圆的短轴长为　　　　cm.
答案　30
解析　根据题意可知，小椭圆的长轴长为30 cm，短轴长为15 cm，大椭圆的长轴长为60 cm，大、小椭圆的离心率相同，又e2=1-所以大、小椭圆的短轴长与长轴长的比值相等，设大椭圆的短轴长为2b，则=所以2b=30，即大椭圆的短轴长为30 cm.
8.(13分)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为A(0，1)为椭圆E上一点.
(1)求椭圆E的方程；(6分)
(2)若直线y=x+m与椭圆E有且只有一个公共点，求m的值.(7分)
解　(1)由题意可得
则
故椭圆E的方程为+y2=1.
(2)根据题意，联立
消去y得5x2+8mx+4m2-4=0，
Δ=64m2-4×5×(4m2-4)=0，
得m2=5，即m=±.
9.已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50×108 km，焦距与长轴长的比值为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离为　　　　　　　　km，最近距离为　　　　　　　km.(注：把地球、太阳看成质点)
答案　1.53×108　　1.47×108
解析　因为地球运行的轨道所在椭圆的长半轴长a=1.50×108 km，离心率e=0.02，
所以半焦距c=ae=3×106(km)，
所以地球到太阳的最远距离为a+c=1.53×108(km)，最近距离为a-c=1.47×108(km).
10.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为短轴长为2.
(1)求C的方程；(6分)
(2)若斜率为k的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为T(1，t)(t>0)，求k的取值范围.(9分)
解　(1)依题意可得
解得
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为线段AB的中点为T(1，t)(t>0)，
所以
又
两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，
即2(x1-x2)+4t(y1-y2)=0，
所以k==-
又点T(1，t)(t>0)在椭圆C内部，
所以解得0所以k=-<-
即k的取值范围为.
11.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　　米.
答案　32
解析　设椭圆方程为+=1(a>0)，
当点(44.5)在椭圆上时+=1，
解得a=16，
∵车辆高度不超过4.5米，
∴a≥16，d=2a≥32，故拱宽至少为32米.
12.若P为椭圆+y2=1上任意一点，则点P到直线x+y+4=0的距离的最大值是　　　　；此时点P坐标是　　　　　　　.
答案　3　　
解析　设与直线x+y+4=0平行的直线x+y+m=0与椭圆相切，
联立直线与椭圆方程得
消去y，整理得4x2+6mx+3m2-3=0，
由Δ=(6m)2-16(3m2-3)=0，
即12m2=48，解得m=±2.
当m=-2时，直线x+y+4=0与直线x+y-2=0的距离d==3；
当m=2时，直线x+y+4=0与直线x+y+2=0的距离d==.
由3>可知m=-2符合题意.
将m=-2代入4x2+6mx+3m2-3=0，
即(2x-3)2=0，解得x=
将x=代入x+y-2=0可得y=
则点P的坐标为此时距离的最大值为3.

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