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3.2.1 第1课时　双曲线及其标准方程
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.下列双曲线中，焦点在y轴上的是(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.双曲线 -=-1的焦点坐标是(　　)
A.(±0)
B.(±0)
C.(0，±)
D.(0，±)
3.已知动点P到A(-3，0)的距离与它到B(3，0)的距离之差等于4，则点P的轨迹方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x≤2) D.-=1(x≥2)
4.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，|AB|=5，|BC|=12.若以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则以B，C为焦点，且过点A的双曲线方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
5.(多选)已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是(　　)
A.若mn>0，则C为双曲线
B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆
C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆
D.若m>0，n>0，则C为两条直线
6.经过点P(-3，2)和Q(-6-7)，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为　　　　　　　　　.
7.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a=　　　　.
8.(14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)b=4，c=5，焦点在y轴上；(4分)
(2)a=b，一个焦点为F(0，2)；(5分)
(3)a=c=1.(5分)
9.已知方程-=1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A.(5，+∞)
B.(-2，2)∪(5，+∞)
C.(-2，2)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
10.(14分)求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点P(2，1)的双曲线方程.
11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点.若|AB|=4，|BC|=3，则此双曲线的标准方程为　　　　　　　.
12.(多选)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)上的两点A1(-a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，-b)，且四边形A1PA2Q的面积为2四边形A1PA2Q内切圆的周长为则双曲线C的方程可以为(　　)
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
3.2.1 第1课时　双曲线及其标准方程
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共52分
1.下列双曲线中，焦点在y轴上的是(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案　C
解析　根据双曲线的标准方程可知，
只有双曲线-=1的焦点在y轴上.
2.双曲线 -=-1的焦点坐标是(　　)
A.(±0)
B.(±0)
C.(0，±)
D.(0，±)
答案　D
解析　双曲线 -=-1的标准方程为-=1，其焦点在y轴上，
∴c==
∴双曲线 -=-1的焦点坐标为(0，±).
3.已知动点P到A(-3，0)的距离与它到B(3，0)的距离之差等于4，则点P的轨迹方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1(x≤2) D.-=1(x≥2)
答案　D
解析　动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，又c=3，a=2，∴b2=32-22=5，
∴点P的轨迹方程为-=1(x≥2).
4.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，|AB|=5，|BC|=12.若以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则以B，C为焦点，且过点A的双曲线方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案　B
解析　在Rt△ABC中，AB⊥BC，以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，可知2c=12，即c=6，由|AB|=5，|BC|=12可得|AC|=13，
结合双曲线的定义可得2a=13-5=8，
即a=4，则b2=36-16=20，所以双曲线方程为-=1.
5.(多选)已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是(　　)
A.若mn>0，则C为双曲线
B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆
C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆
D.若m>0，n>0，则C为两条直线
答案　AB
解析　若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；若m>0且m+n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m>0，n<0，当m=1，n=-1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确.
6.经过点P(-3，2)和Q(-6-7)，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为　　　　　　　　　.
答案　-=1
解析　设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(mn>0)，
代入点P(-3，2)，Q(-6-7)得
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
7.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a=　　　　.
答案　1
解析　由题意知解得a=1.
8.(14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)b=4，c=5，焦点在y轴上；(4分)
(2)a=b，一个焦点为F(0，2)；(5分)
(3)a=c=1.(5分)
解　 (1)因为b=4，c=5，所以a2=c2-b2=9，又因为此双曲线的焦点在y轴上，所以其标准方程为-=1.
(2)因为c=2a=b，所以由c2=a2+b2得8=a2+a2，所以a2=b2=4，又焦点在y轴上，所以其标准方程为-=1.
(3)因为a=c=1，所以b2=c2-a2=
当焦点在x轴上时，标准方程为-=1；
当焦点在y轴上时，标准方程为 -=1.
9.已知方程-=1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A.(5，+∞)
B.(-2，2)∪(5，+∞)
C.(-2，2)
D.(-∞，-2)∪(2，+∞)
答案　B
解析　因为方程对应的图形是双曲线，
所以(k-5)(|k|-2)>0.
即或
解得k>5或-210.(14分)求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点P(2，1)的双曲线方程.
解　设所求双曲线的方程为-=1(a>0，b>0).
又两曲线有相同的焦点，
所以a2+b2=4+2=6， ①
又点P(2，1)在双曲线-=1上，
所以-=1， ②
由①②联立得a2=b2=3.
故所求双曲线的方程为-=1.
11.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点.若|AB|=4，|BC|=3，则此双曲线的标准方程为　　　　　　　.
答案　x2-=1
解析　设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0).
由题意得B(2，0)，C(2，3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2-=1.
12.(多选)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)上的两点A1(-a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，-b)，且四边形A1PA2Q的面积为2四边形A1PA2Q内切圆的周长为则双曲线C的方程可以为(　　)
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
答案　AB
解析　∵四边形A1PA2Q的面积为2
∴×2a×2b=2
得ab=.
记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r，
则2πr=解得r=
又4×cr=2∴c=.
又∵c2=a2+b2=3，
得或
∴双曲线C的方程为-y2=1或x2-=1.

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