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第2课时　双曲线及其标准方程的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P与F1的距离为2，则∠F1PF2等于(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”(其中“勾”为较短直角边，“股”为较长直角边，“弦”为斜边).设F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，且|PF1|·|PF2|=2ab，则a与b的关系为(　　)
A.a=b B.a=b
C.a=2b D.a=2b
3.(多选)已知双曲线的标准方程为-=1，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线上有一点P使得=25，则点P的纵坐标可以为(　　)
A.-5 B.5 C.-3 D.3
4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2=90°，且|AF1|=2|AF2|=4，则双曲线的方程为(　　)
A.x2-=1
B.x2-=1
C.x2-=1
D.x2-y2=1
5.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形A1A2A3A4的农贸市场中，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为(注：|AA1|≠|AA2|)(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.以上都不是
6.双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是　　　　.
7.设P是双曲线-=1上一点，M，N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为　　.
8.(14分)单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，广州塔的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，求该地标建筑的高度.
9.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
10.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上(且不在坐标轴上).
(1)若双曲线C与椭圆+y2=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q(2，1)，求该双曲线的标准方程；(7分)
(2)若b=1，∠F1PF2=求的值.(8分)
11.已知F1，F2是双曲线-=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且|PF1|∶|PF2|=2∶5，则△F1PF2的面积为(　　)
A.4 B.4 C.6 D.8
12.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减少相关预警区域的灾害损失.根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为(　　)
A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km
第2课时　双曲线及其标准方程的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P与F1的距离为2，则∠F1PF2等于(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
答案　B
解析　因为a=2，c=|PF1|=2，
由双曲线的定义可知||PF2|-|PF1||=2a=4，得|PF2|=6，
又因为|F1F2|=2在△F1PF2中，
cos∠F1PF2=
==-
所以∠F1PF2=120°.
2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”(其中“勾”为较短直角边，“股”为较长直角边，“弦”为斜边).设F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，且|PF1|·|PF2|=2ab，则a与b的关系为(　　)
A.a=b B.a=b
C.a=2b D.a=2b
答案　A
解析　由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，则(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2，即4a2+4ab=4c2，又c2=a2+b2，所以a=b.
3.(多选)已知双曲线的标准方程为-=1，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线上有一点P使得=25，则点P的纵坐标可以为(　　)
A.-5 B.5 C.-3 D.3
答案　AB
解析　由双曲线的方程-=1，可得a=3，b=4，则c==5，
设P(x0，y0)，则=×2c·|y0|=25，解得|y0|=5，
故点P的纵坐标可以为±5.
4.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2=90°，且|AF1|=2|AF2|=4，则双曲线的方程为(　　)
A.x2-=1
B.x2-=1
C.x2-=1
D.x2-y2=1
答案　A
解析　由题意，根据双曲线的定义及|AF1|=2|AF2|=4，可得|AF1|-|AF2|=2=2a，
解得a=1，因为∠F1AF2=90°，
所以|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2=20，
即(2c)2=20，即c2=5，
又b2+a2=c2，则b2=c2-a2=4，
所以双曲线的方程为x2-=1.
5.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形A1A2A3A4的农贸市场中，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为(注：|AA1|≠|AA2|)(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.以上都不是
答案　C
解析　设M是界限上的一点，则|MA1|+|AA1|=|MA2|+|AA2|，
所以|MA1|-|MA2|=|AA2|-|AA1|，
即||MA1|-|MA2||=||AA2|-|AA1||，在△AA1A2中，0<||AA2|-|AA1||<|A1A2|，即||MA1|-|MA2||<|A1A2|，
所以点M的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线.
6.双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是　　　　.
答案　26
解析　依题意，|AF2|-|AF1|=2a=8，
|BF2|-|BF1|=2a=8，
∴|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=16，
又|AB|=5，
∴|AF2|+|BF2|=16+|AF1|+|BF1|
=16+|AB|=16+5=21.
∴|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26，
即△ABF2的周长是26.
7.设P是双曲线-=1上一点，M，N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为　　.
答案　9
解析　设两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1的圆心分别为A，B，
即A(5，0)，B(-5，0)，半径分别为2，1，
又c==5，则A，B为双曲线的两焦点，
|PM|-|PN|≤|PA|+2-(|PB|-1)
=|PA|-|PB|+3=2a+3=6+3=9(当且仅当P在双曲线的左支上且A在线段PM上，N在线段PB上时，|PA|-|PB|=2a，等号成立)，即最大值为9.
8.(14分)单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，广州塔的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，求该地标建筑的高度.
解　以最细处的直径AA'所在直线为x轴，AA'的中点为原点O，建立平面直角坐标系，如图所示.由题意可得A(50，0)，C(25-300)，
设B(25y0)(y0>0)，
双曲线的方程是-=1(a>0，b>0)，
则解得
所以双曲线的方程是-=1，
将点B(25y0)代入，
得-=1，解得y0=100，
所以该地标建筑的高度为300+100=400(m).
9.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设|PF1|=d1，|PF2|=d2，
则d1+d2=2 ①
|d1-d2|=2 ②
①2+②2，得+=18.
①2-②2，得2d1d2=6.
而c=2，∴cos∠F1PF2==.
10.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上(且不在坐标轴上).
(1)若双曲线C与椭圆+y2=1有共同的焦点，且双曲线C过点Q(2，1)，求该双曲线的标准方程；(7分)
(2)若b=1，∠F1PF2=求的值.(8分)
解　(1)椭圆+y2=1的焦点为(0)和(-0)，
所以c=
所以a2+b2=c2=3，
又双曲线C过点Q(2，1)，
所以-=1，
由解得
故双曲线的标准方程为-y2=1.
(2)设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得m-n=2a，
在△PF1F2中，由余弦定理，
得4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2
=m2+n2-mn=(m-n)2+mn=4a2+mn，
所以mn=4c2-4a2=4b2=4，
则=mncos∠F1PF2=4×=2.
11.已知F1，F2是双曲线-=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且|PF1|∶|PF2|=2∶5，则△F1PF2的面积为(　　)
A.4 B.4 C.6 D.8
答案　D
解析　∵点P是双曲线左支上的点，
∴|PF2|-|PF1|=6，
又|PF1|∶|PF2|=2∶5，
设|PF1|=2x，|PF2|=5x，
∴5x-2x=6，解得x=2，
∴|PF2|=10，|PF1|=4，
又双曲线方程为-=1，
∴a2=9，b2=16，∴|F1F2|=10，
∴cos∠F1PF2=
==
∴sin∠F1PF2===
∴=×|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2=×4×10×=8.
12.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减少相关预警区域的灾害损失.根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为(　　)
A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km
答案　A
解析　设震中为P，依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，
因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
所以|PB|-6+|PB|≥10，所以|PB|≥8，
所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.

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