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3.2.2　 第1课时　双曲线的简单几何性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.下列双曲线中，以(2，0)为一个焦点，以(1，0)为一个顶点的双曲线方程是(　　)
A.-y2=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.x2-y2=1
2.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的实轴长为(　　)
A.2 B.4 C.3 D.6
3.(多选)已知双曲线C：-=1，则(　　)
A.C的焦点坐标为(0，±)
B.C的渐近线方程为y=±x
C.C的虚轴长为2
D.C的离心率为
4.已知双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为(　　)
A. B. C.3 D.9
5.若双曲线的渐近线方程是y=±x，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.-=1或-=1
6.江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是　　　　.
7.如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，则该双曲线的离心率为　　　　　　.
8.(14分)求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)过点(5，3)且为等轴双曲线；(4分)
(2)焦点在x轴上，离心率为两顶点间的距离为6；(5分)
(3)与双曲线-=1有共同的渐近线，并且经过点A(2-3).(5分)
9.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
10.(15分)设双曲线-=1(011.若点O和点F(-2，0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为(　　)
A.[3-2+∞) B.[3+2+∞)
C. D.
12.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知=则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　.
3.2.2　 第1课时　双曲线的简单几何性质
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.下列双曲线中，以(2，0)为一个焦点，以(1，0)为一个顶点的双曲线方程是(　　)
A.-y2=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.x2-y2=1
答案　C
解析　因为双曲线的一个焦点是(2，0)，故可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，且a2+b2=4，
又(1，0)为一个顶点，故a=1，解得b2=3，
则双曲线方程为x2-=1.
2.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的实轴长为(　　)
A.2 B.4 C.3 D.6
答案　B
解析　由题意知a2+5=9，解得a=2，所以此双曲线的实轴长为4.
3.(多选)已知双曲线C：-=1，则(　　)
A.C的焦点坐标为(0，±)
B.C的渐近线方程为y=±x
C.C的虚轴长为2
D.C的离心率为
答案　CD
解析　双曲线C：-=1，可得a=3，b=c=
所以C的焦点坐标为(0，±)，所以A不正确；
C的渐近线方程为y=±x，所以B不正确；
C的虚轴长为2所以C正确；
C的离心率为所以D正确.
4.已知双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为(　　)
A. B. C.3 D.9
答案　B
解析　由题意双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，所以m>0=解得m=.
5.若双曲线的渐近线方程是y=±x，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.-=1或-=1
答案　C
解析　当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程可设为-=1(a>0，b>0)，
由解得
此时双曲线的标准方程为-=1；
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程可设为-=1(a>0，b>0)，
由解得
此时双曲线的标准方程为-=1.
6.江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是　　　　.
答案　-=1
解析　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在该双曲线上.设该双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
则解得
故该双曲线的标准方程是-=1.
7.如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，则该双曲线的离心率为　　　　　　.
答案　+1
解析　如图，以正六边形ABCDEF的中心为原点O，BE所在直线为x轴，过O且垂直于BE的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
方法一　不妨设该正六边形的边长为2，则A(-1)，
设所求双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
则c=|BE|=2，又点A在双曲线上，
则得故a=-1，
所以e===+1.
方法二　连接BF，OF，
设所求双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
易知在△BFE中，∠BFE=90°，∠FBE=30°，|BE|=2c，
则|EF|=c，|BF|=c，
又点F在双曲线上，
则2a=|BF|-|EF|=(-1)c，
所以e==+1.
8.(14分)求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)过点(5，3)且为等轴双曲线；(4分)
(2)焦点在x轴上，离心率为两顶点间的距离为6；(5分)
(3)与双曲线-=1有共同的渐近线，并且经过点A(2-3).(5分)
解　(1)设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0)，将(5，3)代入方程，可得λ=52-32=16，
所以双曲线方程为x2-y2=16，
即标准方程为-=1.
(2)设所求双曲线的方程为-=1(a>0，b>0).
由=2a=6，得a=3，c=5，
所以b2=c2-a2=16，
所以双曲线的标准方程为-=1.
(3)方法一　双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
若所求双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为-=1(a>0，b>0).
因为=所以b=a， ①
因为点A(2-3)在所求的双曲线上，
所以-=1， ②
联立①②所得的方程组无解.
若所求双曲线的焦点在y轴上，
设其标准方程为-=1(a>0，b>0).
因为=所以a=b， ③
因为点A(2-3)在所求的双曲线上，
所以-=1， ④
联立③④得a2=b2=4，
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
方法二　设与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程为-=λ(λ≠0).
因为点A(2-3)在所求的双曲线上，
所以λ=-=-
所以所求双曲线的方程为-=-
即标准方程为-=1.
9.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案　B
解析　因为圆C：x2+y2+6x+5=0的圆心为C(-3，0)，半径r=2，所以c=3，
又双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，
由题意知==b=2，
又a2+b2=9，所以a2=5，
则双曲线的方程为-=1.
10.(15分)设双曲线-=1(0解　直线l的方程为+=1，
即bx+ay-ab=0.
于是有=c，
所以ab=c2，两边平方，得a2b2=c4.
又b2=c2-a2，所以16a2(c2-a2)=3c4，
两边同时除以a4，得3e4-16e2+16=0，
解得e2=4或e2=.
又b>a，所以e2==1+>2，则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
11.若点O和点F(-2，0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为(　　)
A.[3-2+∞) B.[3+2+∞)
C. D.
答案　B
解析　由题意得c=2，则a2+1=4，∴a2=3，∴双曲线的标准方程为-y2=1.
O为坐标原点，设P(x，y)(x≥)，则=(x，y)=(x+2，y)=(x，y)·(x+2，y)=x2+2x+y2=x2+2x+-1=x2+2x-1(x≥).
令g(x)=x2+2x-1=-(x≥)，则g(x)在[+∞)上单调递增，
g(x)min=g()=3+2.
∴的取值范围为[3+2+∞).
12.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知=则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　.
答案　y=±2x
解析　依题意=|PF2|-|PF1|=2a，
则|PF2|=4a，|PF1|=2a，
双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0，
则点F2(c，0)到渐近线的距离d==b，
则cos∠PF2F1=
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2||PF2|cos∠PF2F1=|PF1|2，
得(2c)2+(4a)2-2·2c·4a·=(2a)2，
整理得c2+3a2-4ab=0，
即4a2-4ab+b2=0，解得b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.

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