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第2课时　直线与双曲线的位置关系
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设点F1，F2分别是双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若|AB|=2，则a等于(　　)
A. B.1 C. D.2
3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为(　　)
A. B. C. D.7
4.已知双曲线C： x2-=1，过点A(0， 1)作直线l交双曲线于P1，P2， 若线段P1P2的中点在直线x=上，则直线l的斜率为(　　)
A.-1或2 B.-1±
C.-1± D.-2或1
5.(多选)已知双曲线C：-=1过点(3)，则下列结论正确的是(　　)
A.C的焦距为4
B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为y=±x
D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点
6.已知双曲线C：-=1，直线l：x-2y+2=0，则直线l与双曲线C的公共点的坐标为　　　　　　　　　.
7.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左、右支各有一个公共点，则k的取值范围是　　　　.
8.(14分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦距为2离心率为.
(1)求C的方程；(6分)
(2)若A是C的左顶点，直线l：y=3x-3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积.(8分)
9.已知点P(1，2)和双曲线C：x2-=1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l有(　　)
A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条
10.(15分)已知双曲线的方程是-y2=1.
(1)直线l的倾斜角为被双曲线截得的弦长为求直线l的方程；(7分)
(2)过点P(3，1)作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰好被P点平分，求直线l'的方程.(8分)
11.过M(1，1)且斜率为的直线交双曲线C：-=1(a>0，b>0)于A，B两点，弦AB恰好被点M平分，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
12.两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
第2课时　直线与双曲线的位置关系
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　直线与双曲线有唯一公共点时，
直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时有唯一公共点)；
直线与双曲线相切时，
直线与双曲线一定有唯一公共点.
2.设点F1，F2分别是双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若|AB|=2，则a等于(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　D
解析　∵直线AB过点F1，且AB⊥x轴，
将x=-c代入双曲线方程，得-=1，又b2=2，∴y=±
∴|AB|==2，∴a=2.
3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为(　　)
A. B. C. D.7
答案　B
解析　双曲线x2-y2=8的右焦点为(4，0)，经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-4)，
代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=x1x2=24，
所以直线被双曲线截得的线段的长为×=.
4.已知双曲线C： x2-=1，过点A(0， 1)作直线l交双曲线于P1，P2， 若线段P1P2的中点在直线x=上，则直线l的斜率为(　　)
A.-1或2 B.-1±
C.-1± D.-2或1
答案　B
解析　设直线l的斜率为k，则y=kx+1，联立消去y得(2-k2)x2-2kx-3=0.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则==即k2+2k-2=0，
解得k=-1±.
∴直线l的斜率为-1±.
5.(多选)已知双曲线C：-=1过点(3)，则下列结论正确的是(　　)
A.C的焦距为4
B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为y=±x
D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点
答案　AC
解析　由双曲线C：-=1过点(3)，可得m=1，则双曲线C的标准方程为-y2=1.所以a=b=1，c==2，因为双曲线C的焦距为2c=4，所以选项A正确；
因为双曲线C的离心率为==所以选项B不正确；
因为双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以选项C正确；
将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立，消去y可得3x2-4x+4=0，Δ=-4×3×4=-32<0，所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确.
6.已知双曲线C：-=1，直线l：x-2y+2=0，则直线l与双曲线C的公共点的坐标为　　　　　　　　　.
答案　(-2，0)，(4，3)
解析　联立方程组，得
解得或
因此，所求公共点的坐标为(-2，0)，(4，3).
7.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左、右支各有一个公共点，则k的取值范围是　　　　.
答案　(-1，1)
解析　由
消去y，得(1-k2)x2+2kx-5=0，依题意，
得解得-18.(14分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦距为2离心率为.
(1)求C的方程；(6分)
(2)若A是C的左顶点，直线l：y=3x-3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积.(8分)
解　(1)依题意，c=由离心率e==
解得a=1，b2=c2-a2=4，
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)由(1)知双曲线C的左顶点A(-1，0)，
点A到直线l：3x-y-3=0的距离d==
由消去y得5x2-18x+13=0，
解得x1=1，x2=
则|PQ|=|x1-x2|=
所以△APQ的面积S△APQ=|PQ|·d=.
9.已知点P(1，2)和双曲线C：x2-=1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l有(　　)
A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条
答案　A
解析　由题意可得，双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x，点(1，0)是双曲线的顶点.
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=1，此时，直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意；
②若直线l的斜率存在，则当直线平行于渐近线y=-2x时，直线l与双曲线只有一个公共点.
若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y=2x，此时直线l为双曲线C的一条渐近线，不符合题意.
综上所述，过点P(1，2)与双曲线只有一个公共点的直线l共有2条.
10.(15分)已知双曲线的方程是-y2=1.
(1)直线l的倾斜角为被双曲线截得的弦长为求直线l的方程；(7分)
(2)过点P(3，1)作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰好被P点平分，求直线l'的方程.(8分)
解　(1)设直线l的方程为y=x+m，
代入双曲线方程，
得3x2+8mx+4(m2+1)=0，
Δ=(8m)2-4×3×4(m2+1)=16(m2-3)>0，
∴m2>3.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1+x2=-m，x1x2=.
由弦长公式得|AB|=|x1-x2|
==
∴=
即m=±5，满足m2>3，
∴直线l的方程为y=x±5.
(2)设直线l'与双曲线交于A'(x3，y3)，B'(x4，y4)两点，
点P(3，1)为A'B'的中点，
则x3+x4=6，y3+y4=2.
由-4=4-4=4，
两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-4(y3+y4)(y3-y4)=0，
∴=
∴l'的方程为y-1=(x-3)，
即3x-4y-5=0.
把此方程代入双曲线方程，
整理得5y2-10y+=0，
满足Δ>0，
即所求直线l'的方程为3x-4y-5=0.
11.过M(1，1)且斜率为的直线交双曲线C：-=1(a>0，b>0)于A，B两点，弦AB恰好被点M平分，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，且=
又因为
所以(y1+y2)(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0，
即有(y1-y2)=(x1-x2)，
所以===
所以b2=2a2，所以c2=b2+a2=3a2，
所以e2==3，
所以e=.
12.两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
答案　-y2=1
解析　由题意，设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
联立方程组消去y，得3x2-24x+(36+λ)=0(λ≠0).
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
又直线x-y-3=0的斜率k=1，
所以|AB|=
=
==
解得λ=4，经检验，λ=4符合题意，所以所求双曲线的标准方程是-y2=1.

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