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3.3.1　抛物线及其标准方程
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.抛物线y=x2的焦点到准线的距离为(　　)
A. B.
C.10 D.20
2.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
3.已知抛物线y=x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(多选)关于抛物线y2=10x，下列说法正确的是(　　)
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1)
5.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　)
A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m
6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为　　　.
7.已知点M(0，3)以及抛物线y2=16x上一动点N(a，b)，则a+|MN|的最小值为　　　　.
8.(14分)根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；(7分)
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.(7分)
9.(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
10.(15分)动圆P与定圆A：(x+2)2+y2=1外切，且与直线l：x=1相切，求动圆圆心P的轨迹方程.
11.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=若以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，则抛物线C的方程为(　　)
A.x2=4y或x2=8y B.x2=2y或x2=4y
C.x2=2y或x2=8y D.x2=4y或x2=16y
12.已知抛物线y=x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q记点P到x轴的距离为d，则d+|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
3.3.1　抛物线及其标准方程
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.抛物线y=x2的焦点到准线的距离为(　　)
A. B.
C.10 D.20
答案　C
解析　由y=x2可得x2=20y，故2p=20，p=10，故抛物线y=x2的焦点到准线的距离为p=10.
2.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
答案　D
解析　由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.
3.已知抛物线y=x2上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　D
解析　依题意可知抛物线可化为x2=4y，其准线方程为y=-1，
∴点A到准线的距离为4+1=5，
根据抛物线的定义可知点A到抛物线焦点的距离就是点A到抛物线准线的距离，
∴点A到抛物线焦点的距离为5.
4.(多选)关于抛物线y2=10x，下列说法正确的是(　　)
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.存在过原点的一条直线，过焦点作该直线的垂线，垂足坐标为(2，1)
答案　BD
解析　抛物线y2=10x的焦点在x轴上，所以B正确，A错误；
设M(1，y0)是y2=10x上一点，F为焦点，
则|MF|=1+=1+=≠6，所以C错误；
由于抛物线y2=10x的焦点为
由题意知过原点的直线方程为y=x，
设过焦点的直线的斜率存在，
方程为y=k直线过点(2，1)，
则k=-2，因为×(-2)=-1，所以D正确.
5.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　)
A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m
答案　B
解析　若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，
设抛物线方程为x2=2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，
代入抛物线方程可得2×0.25p=1，解得p=2，
所以抛物线方程为x2=4y，故焦点坐标是F(0，1).
所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为　　　.
答案　4
解析　∵在椭圆+=1中，a2=6，b2=2，
∴c2=a2-b2=4，∴c=2，
∴椭圆的右焦点坐标为(2，0)，
∴抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2，0)，
∴=2，则p=4.
7.已知点M(0，3)以及抛物线y2=16x上一动点N(a，b)，则a+|MN|的最小值为　　　　.
答案　1
解析　抛物线y2=16x的焦点F的坐标为(4，0)，
因为|FN|=a+4，
所以a=|FN|-4，
因为|MF|==5，
则a+|MN|=|MN|+|FN|-4≥|MF|-4=1，
当点N为线段MF与抛物线的交点时，a+|MN|有最小值1.
8.(14分)根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；(7分)
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.(7分)
解　(1)双曲线方程可化为-=1，
左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3，∴p=6，
∴抛物线的标准方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，
由抛物线定义得5=|AF|=.
又(-3)2=2pm，∴p=±1或p=±9，
∴抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.
9.(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　C
解析　对lBF：y=-2x+2，令y=0，则x=1，
所以F(1，0)，p=2，所以抛物线C：y2=4x，故抛物线的准线方程为x=-1，当x=-1时，y=4，
故B(-1，4)，则yA=4，代入抛物线C：y2=4x得xA=4.
所以|AF|=|AB|=xA+=4+1=5.
10.(15分)动圆P与定圆A：(x+2)2+y2=1外切，且与直线l：x=1相切，求动圆圆心P的轨迹方程.
解　如图，设动圆圆心P(x，y)，半径为r，过点P作PD⊥l于点D，作直线l'：x=2，过点P作PD'⊥l'于点D'，连接PA.
由题知圆A的半径为1，
∵圆P与圆A外切，∴|PA|=r+1.
又∵圆P与直线l：x=1相切，
∴|PD'|=|PD|+|DD'|=r+1.
∴|PA|=|PD'|，
即动点P到定点A与到定直线l'的距离相等，
∴点P的轨迹是以A为焦点，l'为准线的抛物线.
设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，
∵圆A的圆心为(-2，0)，∴-=-2，
故p=4，∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2=-8x.
11.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=若以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，则抛物线C的方程为(　　)
A.x2=4y或x2=8y B.x2=2y或x2=4y
C.x2=2y或x2=8y D.x2=4y或x2=16y
答案　C
解析　设P(x，y)，
F
由条件可知y+=
即y=-
并且线段PF的中点纵坐标是=
因为以线段PF为直径的圆与x轴切于(-1，0)，
所以x=-2，即P
代入抛物线方程得4=2p
整理得p2-5p+4=0，
解得p=1或p=4，
即抛物线C的方程是x2=2y或x2=8y.
12.已知抛物线y=x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q记点P到x轴的距离为d，则d+|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，记l：y=-是抛物线的准线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接FQ，
则|PF|=|PH|，F.
因为点P到x轴的距离比点P到l的距离少
所以d+|PQ|=|PH|-+|PQ|
=|PF|+|PQ|-
所以当Q，P，F三点共线，且点P在线段FQ上时，d+|PQ|最小，且最小值为|FQ|-=
-=2-=.

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