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第2课时　直线与抛物线的位置关系
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.过抛物线C：x2=12y的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|等于(　　)
A.x1+x2+6
B.x1+x2+12
C.y1+y2+6
D.y1+y2+12
2.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B两点，且|AB|=8，则|AF|等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
3.若直线3kx-3y-2=0与抛物线x2=y无交点，则实数k的取值范围为(　　)
A.(-1，1)
B.(-3，3)
C.(-∞，-1)∪(1，+∞)
D.(-∞，-3)∪(3，+∞)
4.抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=-3，过C的焦点F作斜率为2的直线与C交于A，B两点，则|AB|等于(　　)
A.9 B.12 C.13 D.15
5.过点M(2，3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得的弦长等于　　　　.
7.已知抛物线x2=5y，过点P作一条直线l与抛物线交于A，B两点，恰使得点P平分AB，则直线l的方程为　　　　　　　　.
8.(14分)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点.
9.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若|AB|<8，则p的值可能为(　　)
A. B.1 C. D.2
10.(15分)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点.
(1)求证：OA⊥OB；(7分)
(2)当△AOB的面积等于时，求k的值.(8分)
11.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(　　)
A. B. C. D.3
12.已知直线l交抛物线C：y2=4x于x轴异侧两点A，B，且=12，则直线l一定过点(　　)
A.(-2，0) B.(1，0)
C.(4，0) D.(6，0)
第2课时　直线与抛物线的位置关系
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共51分
1.过抛物线C：x2=12y的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|等于(　　)
A.x1+x2+6
B.x1+x2+12
C.y1+y2+6
D.y1+y2+12
答案　C
解析　由已知得p=6，设抛物线C的焦点为F，则|AB|=|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=y1+y2+6.
2.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B两点，且|AB|=8，则|AF|等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　B
解析　令x=4，则y2=8p，故y=±2
所以|AB|=4=8，
所以p=2，故准线方程为x=-1，
则|AF|=4-(-1)=5.
3.若直线3kx-3y-2=0与抛物线x2=y无交点，则实数k的取值范围为(　　)
A.(-1，1)
B.(-3，3)
C.(-∞，-1)∪(1，+∞)
D.(-∞，-3)∪(3，+∞)
答案　A
解析　由x2=y得y=x2，代入3kx-3y-2=0，得x2-3kx+2=0，
因为直线3kx-3y-2=0与抛物线x2=y无交点，
故Δ=(-3k)2-4××2=9k2-9<0，解得-14.抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=-3，过C的焦点F作斜率为2的直线与C交于A，B两点，则|AB|等于(　　)
A.9 B.12 C.13 D.15
答案　D
解析　因为抛物线C的准线方程为x=-3，所以=3，解得p=6，
则抛物线C的方程为y2=12x，焦点F(3，0)，
所以直线AB的方程为y-0=2(x-3)，即y=2(x-3)，
联立消去y并整理得x2-9x+9=0，
由根与系数的关系得xA+xB=9，xAxB=9，
方法一　|AB|==15.
方法二　由过焦点的弦长公式可得，|AB|=xA+xB+p=15.
5.过点M(2，3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　由y2=4x可知，抛物线开口向右，当过点M(2，3)的直线的斜率不存在时，直线与抛物线有两个交点，不符合题意；
当直线的斜率为0时，直线y=3与抛物线只有一个交点，符合题意；
当直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为y-3=k(x-2)，k≠0，即y=kx-2k+3，
联立
消去y得k2x2+2(-2k2+3k-2)x+(-2k+3)2=0，
由直线与抛物线只有一个交点，可知Δ=0，
即-4k2(-2k+3)2=0，
化简得2k2-3k+1=0，解得k=或k=1，
则直线方程为x-2y+4=0或x-y+1=0，
综上，过点M(2，3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有3条.
6.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得的弦长等于　　　　.
答案　
解析　联立消去y得4x2-8x+1=0.
设抛物线与直线交于点(x1，y1)，(x2，y2)，Δ=64-4×4>0，
由根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=.
所求弦长d=·|x1-x2|
===.
7.已知抛物线x2=5y，过点P作一条直线l与抛物线交于A，B两点，恰使得点P平分AB，则直线l的方程为　　　　　　　　.
答案　4x-8y+3=0
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将两点代入抛物线方程得
两式作差可得(x1-x2)(x1+x2)=5(y1-y2)，
即====
所以直线l的斜率k=
所以直线l的方程为y-1=
即4x-8y+3=0.
8.(14分)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点.
证明　由题意，得点F.
设直线AB的方程为x=my+
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则点C.
联立
消去x并整理，得y2-2mpy-p2=0，Δ>0，
则y1y2=-p2，O为原点，
所以kCO=====kAO，
所以直线AC经过原点.
9.(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若|AB|<8，则p的值可能为(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　ABC
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可知，l的方程为y=x-联立
整理得x2-3px+=0，
则x1+x2=3p，|AB|=x1+x2+p=4p<8，得010.(15分)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点.
(1)求证：OA⊥OB；(7分)
(2)当△AOB的面积等于时，求k的值.(8分)
(1)证明　如图所示，
由方程组
消去x并整理，得ky2+y-k=0.易知k≠0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系知y1+y2=-y1y2=-1.
∵kOA·kOB====-1，
∴OA⊥OB.
(2)解　设直线与x轴交于点N，
令y=0，则x=-1，即点N(-1，0).
∵S△AOB=S△OAN+S△OBN
=|ON|·|y1|+|ON|·|y2|
=|ON|·|y1-y2|=×1×
==
∴k=±.
11.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(　　)
A. B. C. D.3
答案　A
解析　方法一　设与抛物线相切，
且与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为
4x+3y+m=0.
与抛物线y=-x2联立，
消去y可得3x2-4x-m=0，
由题意知，Δ=16+12m=0，
∴m=-.
∴最小值为两平行线之间的距离
d==.
方法二　设抛物线y=-x2上一点为(m，-m2)，
该点到直线4x+3y-8=0的距离为当m=时，取得最小值.
12.已知直线l交抛物线C：y2=4x于x轴异侧两点A，B，且=12，则直线l一定过点(　　)
A.(-2，0) B.(1，0)
C.(4，0) D.(6，0)
答案　D
解析　易知直线l的斜率不为0，
因而可设直线l的方程为x=my+t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得y2-4my-4t=0，
则Δ=16m2+16t，y1y2=-4t，
所以=x1x2+y1y2=+y1y2=t2-4t=12，解得t=6或t=-2，
当t=-2时，A，B位于x轴同侧，故舍去，
当t=6时，A，B位于x轴异侧，符合题意，所以直线经过定点(6，0).

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