资源简介

范围：§3.2~§3.3
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.抛物线y=x2的准线方程为(　　)
A.y=- B.y=-
C.y=- D.y=-
2.若方程+=1表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2，4)
B.(-2，1)∪(1，4)
C.(-∞，-2)∪(4，+∞)
D.m∈R，且m {-2，1，4}
3.(2025·全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　)
A. B.2 C. D.2
4.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点是F，点M(x0，2)在抛物线C上，若|MF|=4，则x0等于(　　)
A.±4 B.±2 C.±8 D.±2
5.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2=8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|等于(　　)
A.6 B.8 C.2 D.29
6.★★设点M是抛物线x2=8y的焦点，点F是双曲线Γ：x2-=1的左焦点，点Q是Γ上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是(　　)
A.|QF|-|QM|的最大值是5
B.|QF|+|QM|的最小值是5
C.|QF|-|QM|的最大值是7
D.|QF|+|QM|的最小值是7
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.已知双曲线C：-y2=1的焦点在x轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的虚轴长为2
C.双曲线C的焦距为2
D.双曲线C的离心率为
8.已知双曲线C：x2-=1，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C与圆+y2=1有3个公共点
B.双曲线C的离心率与椭圆+=1的离心率的乘积为1
C.双曲线C与双曲线-x2=1有相同的渐近线
D.双曲线C的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同
9.★★抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1x2=2
B.y1y2=-4
C.若θ=则|AB|=
D.+=1
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知双曲线过点P(1，6)，它的一条渐近线方程为y=-3x，则该双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
11.一个动圆与定圆F：(x-3)2+y2=4外切，且与直线l：x=-1相切，则动圆圆心的轨迹方程为　　　　　　　　.
12.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　.
四、解答题(共27分)
13.(13分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；(5分)
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为4求实数m的值.(8分)
14.★★(14分)已知直线l：x-y+1=0与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，|AB|=8.
(1)求p；(7分)
(2)设抛物线C的焦点为F，过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E，G两点，求四边形AEBG的面积.(7分)
范围：§3.2~§3.3
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.抛物线y=x2的准线方程为(　　)
A.y=- B.y=-
C.y=- D.y=-
答案　C
解析　由题意可得抛物线的标准方程为x2=y，
所以抛物线y=x2的准线方程为y=-.
2.若方程+=1表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2，4)
B.(-2，1)∪(1，4)
C.(-∞，-2)∪(4，+∞)
D.m∈R，且m {-2，1，4}
答案　C
解析　依题意有(2+m)(4-m)<0，
所以(2+m)(m-4)>0，解得m<-2或m>4.
3.(2025·全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　)
A. B.2 C. D.2
答案　D
解析　设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，
由题意知b=a，
于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=2a，
即e==2.
4.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点是F，点M(x0，2)在抛物线C上，若|MF|=4，则x0等于(　　)
A.±4 B.±2 C.±8 D.±2
答案　A
解析　∵|MF|=4，∴|MF|=+yM=+2=4，得p=4，
∴抛物线C的方程为x2=8y，
再将点M(x0，2)代入x2=8y，得x0=±4.
5.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2=8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|等于(　　)
A.6 B.8 C.2 D.29
答案　C
解析　由M(12，2)，可得点A的纵坐标为2，设A(m，2)，则4=8m，解得m=由题意知反射光线经过抛物线y2=8x的焦点(2，0)，所以直线AB的方程为y-0=(x-2)，
整理可得y=-(x-2)，由消去y整理得2x2-17x+8=0，解得x1=x2=8，则y2=-(x2-2)=-8，所以B(8，-8)，
所以|MB|==2.
6.★★设点M是抛物线x2=8y的焦点，点F是双曲线Γ：x2-=1的左焦点，点Q是Γ上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是(　　)
A.|QF|-|QM|的最大值是5
B.|QF|+|QM|的最小值是5
C.|QF|-|QM|的最大值是7
D.|QF|+|QM|的最小值是7
答案　D
解析　如图，由点M是抛物线x2=8y的焦点，故M(0，2)，
由双曲线Γ：x2-=1知，a=1，b=2，c==
故F(-0)，右焦点F'(0)，
所以kFM==2，又双曲线的渐近线方程为y=±2x，
所以直线FM与双曲线右支无交点，故|QF|-|QM|<|FM|==5，故A，C错误；
由双曲线的定义知，|QF|=2a+|QF'|=2+|QF'|，
所以|QF|+|QM|=2+|QF'|+|QM|≥2+|MF'|=2+=7，
记线段MF'与双曲线交于点N，当且仅当点Q运动到点N，即M，Q，F'三点共线时，|QF|+|QM|有最小值7，故B错误，D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.已知双曲线C：-y2=1的焦点在x轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的虚轴长为2
C.双曲线C的焦距为2
D.双曲线C的离心率为
答案　AB
解析　由题设2a=3×2b=6b a=3b，而b=1，故a=3，则m=a2=9，
则c==双曲线C的实轴长为2a=6，虚轴长为2b=2，焦距为2c=2离心率为故A，B正确，C，D错误.
8.已知双曲线C：x2-=1，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C与圆+y2=1有3个公共点
B.双曲线C的离心率与椭圆+=1的离心率的乘积为1
C.双曲线C与双曲线-x2=1有相同的渐近线
D.双曲线C的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同
答案　BCD
解析　由已知得双曲线C中，
a=1，b=
c==2，
所以双曲线C的焦点为(±2，0)，
顶点为(±1，0)，作图可知A不正确；
渐近线方程为y=±x=±x，
离心率为=2.
椭圆+=1的离心率为=2×=1，故B正确；
双曲线-x2=1的渐近线方程为y=±x，故C正确；
抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，故D正确.
9.★★抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1x2=2
B.y1y2=-4
C.若θ=则|AB|=
D.+=1
答案　BCD
解析　对于选项A，B，抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1，0)，
由题意可设直线AB的方程为x=ty+1，
联立
消去x，得y2-4ty-4=0，所以y1+y2=4t，y1y2=-4，
故x1x2==1，故A错误，B正确；
对于选项C，若θ=则t=y1+y2=
则|AB|==×=故C正确；
对于选项D，由抛物线的定义知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
又x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2，
所以+=+===1，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知双曲线过点P(1，6)，它的一条渐近线方程为y=-3x，则该双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
答案　-=1
解析　设双曲线的方程为-=1(mn>0)，将P(1，6)代入方程得-=1， ①
又其一条渐近线方程为y=-3x，
而双曲线的渐近线方程为y=±x，即-=-3， ②
联立①②得
故双曲线的标准方程为-=1.
11.一个动圆与定圆F：(x-3)2+y2=4外切，且与直线l：x=-1相切，则动圆圆心的轨迹方程为　　　　　　　　.
答案　y2=12x
解析　方法一　由题意知，动圆圆心到定圆F的圆心F(3，0)的距离与到直线x=-3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹为以F(3，0)为焦点，x=-3为准线的抛物线，其轨迹方程为y2=12x.
方法二　定圆F：(x-3)2+y2=4的圆心为F(3，0)，半径为2，设动圆圆心点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线x=-1的距离，即r，则根据两圆外切及直线与圆相切的性质可得，|PF|-2=r，d=r，
所以-2=x+1，化简得y2=12x.
所以动圆圆心的轨迹方程为y2=12x.
12.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　.
答案　
解析　|F1A|=13，|AF2|=|AB|=5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|==12.
由双曲线定义可得2a=|F1A|-|AF2|=8，
2c=|F1F2|=12，化简得a=4，c=6，
则C的离心率e==.
四、解答题(共27分)
13.(13分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；(5分)
(2)若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为4求实数m的值.(8分)
解　(1)由条件可知
所以
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)联立
得x2-2mx-m2-2=0，
设直线y=x+m与双曲线C交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ=4m2-4(-m2-2)=8m2+8>0恒成立，
x1+x2=2m，x1x2=-m2-2，
|AB|=×
=×
=×=4
解得m=±1.
14.★★(14分)已知直线l：x-y+1=0与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，|AB|=8.
(1)求p；(7分)
(2)设抛物线C的焦点为F，过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E，G两点，求四边形AEBG的面积.(7分)
解　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由可得x2-2px-2p=0，
易得Δ=4p2+8p>0，
所以xA+xB=2p，xAxB=-2p，
则|AB|==2=8，即p2+2p-8=0，因为p>0，所以p=2.
(2)由题意可得抛物线C的焦点为F(0，1)，直线EG的方程为x+y-1=0.
联立
化简可得x2+4x-4=0，则Δ=16+16>0，
设E(x1，y1)，G(x2，y2)，
则x1+x2=-4，y1+y2=2-(x1+x2)=6，
则|EG|=y1+y2+p=8，因为AB⊥EG，
所以S四边形AEBG=|AB|·|EG|=×8×8=32.

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