资源简介

29.2.1 垂直于弦的直径
素养目标
1.通过折叠、作图等方法,理解圆的轴对称性.
2.利用圆的轴对称性,探索垂径定理,理解垂径定理的内容.
3.通过观察、操作、推理,发展直观想象与逻辑推理素养,在解决问题的过程中培养数学运算能力和应用意识.
重点
垂径定理、推论及其简单应用.
【自主预习】
预学思考
知识点一 圆的轴对称性
阅读课本本课时开始至“圆是轴对称图形……”的内容,补全下列新知要点:
圆是 图形,对称轴是 ,有 条.
知识点二 垂径定理
阅读课本本课时“从上面的证明”至结束的内容,补全下列新知要点:
1. 于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧.
2.几何语言表示:如图,∵CD为☉O的直径,CD⊥AB于点E,∴AE=BE,=,=.
自学检测
1.下列说法正确的是 ( )
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的直线平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
2.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为E,若AB=10,CD=8,则OE的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【合作探究】
题型精讲
题型1 垂径定理及其推论
例1　如图,在☉O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB
=60°,求CD的长.
变式训练
1.如图,在☉O中,弦AB=8,OC与AB交于点D,=,若OD=3,则OC的长为 ( )
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.1
2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AD,若OE=3,CD=8,则AD的长为 .
题型2 垂径定理的实际应用
例2　(社会情境·盾构隧道)如图,这是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(结果精确到0.1 m)
【方法归纳交流】
1.作辅助线的通法:遇到弦的问题时,优先过圆心作弦的垂线,或连接圆心与弦的端点,构造直角三角形,利用垂径定理(垂直于弦的直径平分弦)将弦长转化为半弦长,结合勾股定理求解半径、弦心距或线段长度.
2.核心解题模型:将问题转化为“半径r、半弦长a、弦心距d”构成的直角三角形,利用勾股定理r2=a2+d2建立方程,解决与弦长、半径、弦心距相关的计算问题,这是垂径定理应用的核心思路.
变式训练　
如图,这是平放在地上的油漆桶横截面,已知油漆桶的直径为26 cm,油漆面宽AB为24 cm,则现在油漆桶中油漆的最大深度为 ( )
A.6.5 cm　　　　B.8 cm C.10 cm　　　　D.10.5 cm
课堂检测
1.如图,☉P经过点O(0,0),交y轴于点B,若P(-5,-3),则点B的纵坐标是 ( )
A.-10 B.-8 C.-6 D.-4
2.如图,圆弧形桥拱的跨度AB为48 m,拱桥所在圆的半径为26 m,则拱高CD为 m.
参考答案
【自主预习】
预学思考
知识点一
轴对称　直径所在的直线(或过圆心的直线)　无数
知识点二
1.垂直　平分　平分
自学检测
1.D　2.A
【合作探究】
题型精讲
题型1
例1
解:如图,过点O作OP⊥CD于点P,连接OD,
∴CP=PD.
∵AE=1,EB=5,
∴AB=6,
∴OE=2.
在Rt△OPE中,∠DEB=60°,
∴∠POE=30°,
∴PE=OE=×2=1,
∴OP===,
∴PD==,
∴CD=2PD=2 cm.
变式训练
1.A　2.4
题型2
例2
解:如图,连接OC,AB交CD于点E.
由题意知,AB=1.6+6.4+4=12,
∴OC=OB=6,
OE=OB-BE=6-4=2,
由题意可知,AB⊥CD,
∵AB过点O,
∴CD=2CE,
在Rt△OCE中,由勾股定理得CE===4,
∴CD=2CE=8≈11.3,
∴路面CD的宽度为11.3 m.
变式训练
B
课堂检测
1.C　2.16

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