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北京市昌平区第二中学2026-2027学年度高一第一学期10月月考
数学试卷
一、选择题
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.命题“，都有”的否定为( )
A. ，都有 B. ，使得
C. ，都有 D. ，使得
3.下列命题为真命题的是
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知集合，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
5.全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
6.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，那么当取得最小值时，的值是( )
A. B. C. D.
9.关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的个数是( )
不等式的解集可以是
不等式的解集可以是
不等式的解集可以是
不等式的解集可以是
A. B. C. D.
10.设全集，集合、是的子集，若，就称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 规定与是两个不同的“理想配集”
A. B. C. D.
二、填空题
11.方程的两根为，，则 ， ．
12.已知集合，集合，若，则的值是 ．
13.已知函数，当 时，有最小值且最小值等于 ．
14.若“关于的不等式在上恒成立”为假命题，则实数的取值范围是 ．
15.我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数例如，，则容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有，，三类，那么某小学对小学生的课外活动进行了调查调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，只选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人问接受调查的小学生共有 人
三、解答题
16.已知集合，．
当时，求；
若集合为非空集合且，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
17.已知函数．
若，求的解集；
若方程有两个实数根，，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18.以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本百元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为．
该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？
该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？提示：平均处理成本为
19.解关于的不等式．
20.设数集由实数构成，且满足，；若，则．
若，则在中必含有其他两个数，试求出这两个数；
判断集合中至少有几个元素，并说明理由；
若集合中的元素个数不超过，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：，则．
当时，，则或，；
由题可得为子集，又不为空集，则；
当时，满足题意，此时；
当时，，又，则或，
得，综上可得：或．

17.【答案】解：当时，即，化简得，
解得或，所以的解集为或；
不存在实数，使成立．
方程有两个实数根，，
从而，解得，
由韦达定理可知，，，，
所以，解得．
又，矛盾，所以不存在实数，使成立．

18.【答案】解：对称轴．
函数在单调递增．
当时，．
当时，．
所以该单位每月处理成本的最小值百元，最大值百元．
由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然．
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立．
故每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

19.【答案】解：当时，原不等式即为，解得；
当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，
若，即，解得；
若，即时，解得或；
若，即时，解得或．
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．

20.【答案】解：已知，由条件，将代入：
，
将代入：，
故中必含的另外两个数为、．
至少含个元素，理由如下：
任取，由条件知，，，
若、、中有两个相等，不妨设，可得，
，则方程无实数解，
同理可知，，即、、两两不相等，故中至少含个元素．
集合元素为的倍数，且不超过，则元素个数为或，
若元素个数为，三元组乘积为，其中一个元素的平方等于总乘积，
即，无实数解，舍去；
若元素个数为，是组三元组循环，总乘积为，由得，
又，故，
含的三元组为，元素的和为，
已知所有元素和为，故另一组三元组的和为，
设另一组初始元素为，则，
则，解得，，，
对应三元组，
故．

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