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江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题
一、选择题
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若圆经过坐标原点，则( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的位置关系是( )
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
5.一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为( )
A. B. C. D.
6.若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为
A. B. C. D.
7.若圆上到直线的距离为的点仅有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.若直线与直线平行，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.在同一平面直角坐标系中，方程与表示的图形可能是( )
A. B.
C. D.
11.若为曲线：上任意一点，直线与的交点为，，，，记，，，的横坐标之和为，横坐标之积为，则( )
A. 的最大值为 B.
C. 的最小值为 D. 当时，
二、填空题
12.直线在轴上的截距为 ．
13.某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为 参考数据：取
14.函数的值域为 ．
三、解答题
15.已知点，，．
求直线的斜截式方程；
若，，三点共线，求的值；
若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式．
16.已知点关于直线对称的点为．
求点的坐标；
若直线与以线段为直径的圆相切，求的值．
17.已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，底边的另一个端点的轨迹记为．
求的方程．
设点满足
(ⅰ)求点的轨迹．
(ⅱ)试问点是否可能在上？说明你的理由．
18.已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？
已知直线，其中、均为任意实数，．
证明：直线过定点；
过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值．
19.设是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，，，则称点与圆的张角为已知圆的半径为，圆心为，点．
求点与圆的张角．
当取得最小值时，求点与圆的张角的余弦值．
将圆向右平移两个单位长度后得到圆．
Ⅰ求圆上一点的坐标，使得该点与圆的张角为；
Ⅱ过点的直线与圆交于，两点，，两点都不在轴上，证明：直线与的交点在一条定直线上．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，
所以直线的方程为，即．
若，，三点共线，则点在直线上，
所以点的坐标满足方程，则．
由题意得线段的中点为．
若，则，则，
所以边上的中线所在直线的方程为，即．

16.【答案】解：设因为直线的斜率为，所以，
所以，即．
因为线段的中点在直线上，
所以，即，
又，解得，，所以点的坐标为．
线段的中点坐标为，即．
因为，
所以圆的半径为．
因为直线与以线段为直径的圆相切，
所以圆心到直线的距离，
解得．

17.【答案】解：设点的坐标为，由题意得，
故C点轨迹是以为圆心，为半径的圆
因，，三点构成三角形，故C，，不共线，且，不重合
故除外，另点关于点对称的点也须排除，
而，
因此的方程为点和除外．
设点的坐标为，
由得，平方整理得，
配方得，
故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
检验可知点和均不在上，
，
从而
故D点所在圆与点所在圆相交，且交点不是和，
因此点可能在上
18.【答案】解：方程即为，
因为与不能同时为，
所以方程表示一条直线．
由得，所以该直线过定点，
无论取何值，都不成立，
所以直线不能与直线重合，
所以方程表示过定点的所有直线不包含直线
证明：的方程可化为．
由得，所以过定点．
设到的距离为，即．
由题意得的面积．
因为恒过定点，且，
所以，当且仅当与垂直时取到，因此面积最大值

19.【答案】解：过点作圆的切线，切点为，，则，，
在中，，则，
则，则点与圆的张角为．
设点到圆心的距离为，点与圆的张角为．
因为，，
所以，
所以．
由点在圆外，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，
故当取得最小值时，点与圆的张角的余弦值为．
圆的方程为．
设圆上所求的点为，则，
由点与圆的张角为，得，
因为，所以，
由和，解得，，
则所求点的坐标为或．
Ⅱ证明：由题意知直线的斜率不为，设直线的方程为，，．
将代入圆的方程，得，
由韦达定理得，，，则．
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，得，
将代入，得，则．
故直线与的交点在定直线上

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