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2026-2027学年湖北省武汉市黄陂区第七高级中学高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则该正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知为单位向量，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在平行四边形中，，，，点满足，点是的中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知一组样本数据共有个数，其平均数为，方差为，将这组样本数据增加两个数据构成一组新的样本数据，且新的样本数据的平均数为，则新的样本数据的方差最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若空间向量，，满足，，则
B. 若空间向量，，满足，，则
C. 若空间四个点，，，满足，则，，三点共线
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10.袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则( )
A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立
11.如图，已知正方体的棱长为，点在正方形内运动含边界，则( )
A. 正方体的外接球的表面积为
B. 存在点，使得
C. 若，则点运动轨迹的长度为
D. 若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.小陈同学记录了次上学途中所花的时间单位：分钟分别为：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 ．
13.在四棱锥中，平面，底面是正方形若，则直线与平面所成的角的大小为 ．
14.在中，，，为的外心，若，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共人参加本次测试测试成绩均在内，将所得数据分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点，分别是棱，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，．
求证：；
求的长；
求与所成角的余弦值．
19.本小题分
在中，，点满足．
若，，求证：是直角三角形；
已知点满足．
(ⅰ)若，，求的值；
(ⅱ)若，求面积的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意知，解得，
所以估计这次体能测试成绩的平均数为：．
即这次体能测试成绩的平均数为；
记“至少有一人的体能测试成绩为满分”为事件，
所以，
所以，
即至少有一人的体能测试成绩为满分的概率为．
16.【答案】解：因为，
，，
，
，
又，所以，所以，得，
又，所以；
因为的面积为，得，
由余弦定理得，即，
所以，
所以，
所以的周长为．
17.【答案】证明：如图，连接，交于点，连接．
在直四棱柱中，四边形是矩形，
因为对角线与交于点，所以为的中点，
又点是棱的中点，所以D.
又平面，平面，所以平面．
连接．
因为底面是矩形，所以，，，
因为点，分别是棱，的中点，，
所以，，，
所以四边形是正方形，所以．
在直四棱柱中，平面，
又平面，所以．
因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
18.【答案】证明：由题意知，，
，，，，
则，
，
，即．
由知
，
．
．
又
，
，
与所成角的余弦值为．
19.【答案】证明：因为，点满足，所以，，
，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
在中，由余弦定理得．
又因为，所以，
则，故是直角三角形．
解：依题意，，，，
又，
设，则．
在中，由正弦定理得，即，
在中，同理可得，
又，，所以，
即，解得，
所以，
在中，由余弦定理得，
即．
由，，，，
所以，
，
两式相乘得，则．
设，则，由，解得，
在中，由余弦定理得，
则，
，
由，得，当时，面积的最大值为．
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