资源简介

专题专项练
思想方法练4
一、递推法
方法概述　　递推法是一种用若干步可重复的简单运算(规律)来描述复杂问题的方法,是从特殊情况找出一般规律然后进行求解的方法。(第2节能力提升练第5题也用了此方法)
1.(多选题)一列简谐横波沿直线传播,在波的传播方向上有A、B两点。在t时刻A、B两点间形成如图甲所示波形,在(t+3 s)时刻A、B两点间形成如图乙所示波形,已知A、B两点的平衡位置间距离a=9 m,则以下说法中正确的是(　　)
A.若波的周期为4 s,波一定向右传播
B.若波的周期大于4 s,波可能向右传播
C.若波速为8.5 m/s,波一定向左传播
D.该波的传播速度可能的最小值为0.5 m/s
2.(多选题)如图所示,A、B是同一介质中在同一直线上的两点,相距14 m。现有一波源发出的一列简谐横波经过A、B两点,某时刻发现A点恰经过平衡位置向下振动时,B点恰好到达波峰位置,并测得6 s后B点恰好第二次到达波谷位置。则这列波的波速的可能值为(　　)
A.2.8 m/s　　　　B.2.0 m/s
C.1.0 m/s　　　　D. m/s
二、对称法
方法概述　　对称法指应用对称性求解某些具体的物理问题的思维方法。在波的传播方向上,关于波源对称的两点振动情况相同,利用对称思想分析解决这类问题,可以快速得出答案。(第2节基础过关练第11题也用了此方法)
3.在某一均匀介质中,由波源O发出的简谐横波沿x轴正、负方向传播,某时刻的波形如图所示,已知波速为5 cm/s,下列说法正确的是　(　　)
A.波的频率与波源的频率无关
B.此时P、Q两质点的振动方向相同
C.再经过0.5 s,波恰好传到坐标为(-5 cm,0)的位置
D.该波为横波,频率为3 Hz
4.如图所示,在x轴上有S、A、B三点,S是上、下振动的波源,振动的频率为10 Hz。激起的简谐横波沿x轴向左、右传播,波速为40 m/s。质点A、B到S的距离为xA=xB=38.4 m,且都已经开始振动。若某时刻波源S正通过平衡位置向下振动,则该时刻质点A的运动方向　　　　,质点B的运动方向　　　　。(均填“向上”或“向下”)
答案与分层梯度式解析
专题专项练
思想方法练4
1.ACD　若波向右传播,则3 s=T1(n=0,1,2,…),T1= s≤4 s,B错误;若波向左传播,则3 s=T2(n=0,1,2,…),T2= s(n=0,1,2,…),可知T2≠4 s,当n=0时,T1=4 s,故若波的周期为4 s,波一定向右传播,故A正确;由题图知波长λ=6 m,若波速为8.5 m/s,波在3 s内传播的距离为x=vt=8.5×3 m=25.5 m=4λ,根据波形的平移可知,波一定向左传播,故C正确;若波向左传播,波在3 s内传播的最小距离为1.5 m,波速的最小值为vmin= m/s=0.5 m/s,故D正确。
方法点津　由图可知,若波向右传播,A点第一次到达波峰需要的时间为T,再考虑第二次、第三次……到达波峰的时间,即A点到达波峰需要的时间为nT+T(n=0,1,2,…);同理可求出波向左传播时振动时间与周期的关系。
2.ABD　若波由A向B传播,设其波长为λ1,则xAB=nλ1+λ1=14 m(n=0,1,2,…),故λ1= m(n=0,1,2,…),根据题意有=6 s,解得Τ=4 s,又v1=,可得波速为v1= m/s(n=0,1,2,…),当n=1时,v1=2.8 m/s,当n=5时,v1= m/s;若波由B向A传播,设其波长为λ2,则xAB=nλ2+λ2=14 m(n=0,1,2,…),故λ2= m(n=0,1,2,…),根据题意有=6 s,解得T=4 s,又v2=,可得波速为v2= m/s(n=0,1,2,…),当n=1时,v2=2.0 m/s。综上可得波速不可能为1.0 m/s,故选A、B、D。
方法点津　若波由A向B传播,先考虑A、B之间距离小于一个波长的情况,得xAB=λ,再考虑A、B之间距离大于一个波长的情况,得xAB=nλ+λ(n=0,1,2,…);同理可求出波由B向A传播时A、B间距离与波长的关系。
3.B　波的频率由波源的振动频率决定,故A错误;根据对称性可知,图示时刻P(-2 cm,0)、Q(2 cm,0)两质点振动方向相同,故B正确;由题图知波长λ=2 cm,周期为T===0.4 s,再经过时间t=0.5 s=T,波传到坐标为(-5.5 cm,0)、(5.5 cm,0)的位置,故C错误;该波的频率为f== Hz=2.5 Hz,故D错误。
4.答案　向上　向上
解析　S是波源,激起的简谐横波沿x轴向左、右传播,由v=λf,可得λ== m=4 m,xB=38.4 m=λ,即质点B的振动状态跟与波源S相距λ的质点B'的振动状态相同(如图所示)。
由此可判断B在x轴下方,运动方向向上。A质点的平衡位置与B质点的平衡位置关于波源S对称,由对称性可知,A的运动情况与B的相同,运动方向向上。
方法点津　根据波的对称分布以及A、B关于波源对称,可以确定A、B的振动情况完全相同。专题专项练
专题强化练7　波的多解问题
1.(多选题)[2026北京月考]甲、乙两小船随水波(可视为简谐横波)上下振动,两船相距80 m。当甲在水波波峰时,乙恰在平衡位置,经过20 s再观察,甲恰在波谷,乙仍在平衡位置。则下列说法正确的是(　　)
A.水波的最大波长为160 m
B.水波的波长可能是 m
C.水波的最小频率是 Hz
D.水波的最小波速是8 m/s
2.[2026陕西咸阳阶段测试]A、B两列简谐横波均沿x轴正方向传播,在某时刻的波形分别如图甲、乙所示,经过时间t(t小于A波的周期TA),这两列简谐横波的波形分别变为图丙、丁所示,则A、B两列波的波速之比可能是(　　)
　
　
A.1∶3　　　　B.2∶3　　　　C.2∶1　　　　D.3∶1
3.[2026湖南邵阳开学考试]在艺术体操比赛中,体操运动员伴随着欢快的音乐,完成了各项专业动作。如图甲为t=0时刻体操运动员抖动彩带形成的一列沿x轴传播的简谐横波的部分波形图。A、B是彩带上沿x轴方向上相距2 m的两个质点,A质点位于波峰时,B质点恰位于波谷,图丙为彩带上C质点的振动图像。下列说法正确的是(　　)
　
A.体操运动员的手每分钟完成100次全振动
B.该简谐波的传播速度可能为12 m/s
C.t=4.1 s时刻,x=0处质点的速度最大
D.0~ s时间内,x=0处质点振动的路程为5 cm
4.(多选题)如图甲所示,P、Q为波向外传播的一条直线上的两质点,两质点相距d=0.4 m,质点P的振动图像如图乙所示,已知t=0时刻,P、Q两质点都在平衡位置,且P、Q之间只有一个波峰,则下列判断正确的是(　　)
　
A.波的传播速度可能为1 m/s
B.波的传播速度可能为 m/s
C.质点Q位于波谷的时刻可能为t=0.15 s
D.质点Q位于波谷的时刻可能为t=0.45 s
5.[2026四川调研]如图甲所示,一列简谐横波沿x轴方向传播,实线和虚线分别为t1=0.1 s时刻和t2时刻的波形图,且t2>t1,P、Q分别是平衡位置为x1=1 m和x2=4 m的两质点。图乙为质点Q的振动图像,下列说法正确的是(　　)
　
A.t1时刻P的振动方向沿y轴正方向
B.t2时刻Q的加速度最小
C.t2-t1=0.1 s
D.t1到t2内,P、Q运动的路程相等
6.(多选题)[2025八省联考四川卷]一列简谐横波沿x轴的正向传播,振幅为2 cm,周期为T。已知在t=0时刻波上相距50 cm的两质点a、b的位移都是 cm,但运动方向相反,其中质点a沿y轴负向运动,如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.在t=时刻质点b速度最大
B.该列简谐横波波长可能为12 cm
C.质点a、质点b的速度在某一时刻可以相同
D.当质点b的位移为2 cm时,质点a的位移为负
7.[2025江苏无锡江阴学情调研]如图为一列简谐横波在两个不同时刻的波形,虚线为实线所示的横波在t=0.5 s后的波形。
(1)若质点的振动周期T与t的关系为T(2)若波速为v=1.8 m/s,则波向哪个方向传播
8.[2026安徽阜阳阶段测试]一列简谐横波沿x轴正方向传播,在t=0时刻,沿x轴方向相距30 m的两质点a、b的位移分别为1 cm和-1 cm,a质点正沿y轴负方向运动,b质点正沿y轴正方向运动,如图所示。已知质点a的振动方程y=2 cos (ωt+φ) cm,质点a、b的运动方向始终相反,质点a在t'=0.1 s时第一次回到平衡位置。求:
(1)该简谐横波的周期T;
(2)该简谐横波的传播速度v的大小。
9.[2026山东烟台期中]如图甲所示,一列简谐横波沿x轴方向传播。已知平衡位置在xA=1 m的质点A的振动图像如图乙中实线所示,平衡位置在xB=12 m的质点B的振动图像如图乙中虚线所示。
　
(1)求该波可能的波长;
(2)若该波的波速v>10 m/s,求该波的传播方向及波速。
答案与分层梯度式解析
专题专项练
专题强化练7　波的多解问题
1.BC　由题可知,甲、乙之间的距离满足Δx=λ=80 m,或Δx=λ=80 m(n=0,1,2,…),可得波长为λ= m或λ= m(n=0,1,2,…)(破题关键),当n=0,可得水波的最大波长为λmax=320 m,当n=3时,可得λ= m= m= m,A错误,B正确;由题可知,振动时间满足t=T=20 s(k=0,1,2,…),可得周期为T= s(k=0,1,2,…),当k=0时,周期最大,为Tmax=40 s,则水波的最小频率为fmin== Hz,C正确;当波长最小且周期最大时,波速最小,因为最小波长不是320 m,则最小波速vmin≠ m/s=8 m/s,D错误。故选B、C。
2.A　由图甲可知,A波的波长λA=24 cm,波沿x正方向传播,经过t(t小于A波的周期TA)时间,波形图变为丙图,波传播的距离为ΔxA=λA,则有t=TA,同理,对于B波,则有λB=12 cm,B波从乙图到丁图,波传播的距离为ΔxB=nλB(n=1,2,3,…),则t=nTB(n=1,2,3,…),则两列波的波速之比为vA∶vB=∶=∶=1∶n(n=1,2,3,…),显然,当n=3时,vA∶vB=1∶3,故选A。
3.D　由图乙可知该简谐横波的周期T=0.4 s,频率为f== Hz=2.5 Hz,体操运动员的手每分钟完成全振动的次数为N=60 s·f=150(次),A错误;A质点位于波峰时,B质点恰位于波谷,有2 m=nλ+(n=0,1,2,…),得λ= m,该简谐横波的传播速度为v== m/s,当n=0时,vmax=10 m/s,B错误;t=4.1 s=10T+,t=4.1 s时x=0处的质点位于波峰或波谷(由于传播方向不确定,不能得到具体位置),速度为零,C错误;t= s=T时,x=0处质点的位移大小y=A sin t=5 cm,所以0~ s时间内,x=0处质点振动的路程为s=5 cm,D正确。故选D。
方法技巧　解决周期性多解问题时,往往采用从特殊到一般的思维方法,即找出一个周期内满足条件的Δt或Δx,若为时间,则t=nT+Δt(n=0,1,2,…);若为距离,则x=nλ+Δx(n=0,1,2,…)。
4.CD
关键点拨
　　“P、Q之间只有一个波峰”,P、Q之间的波形不能确定,且波的传播方向也不能确定,列举各种情况讨论。
由题图乙可知,t=0时,P由平衡位置向y轴负方向振动,若该机械波从P传向Q,且两个质点之间存在一个波峰,则波形图如图1、2所示,则波长λ1=2d=0.8 m,λ2=d=0.4 m,由题图乙可知,该波的周期T=0.2 s,故波速v1==4 m/s,v2==2 m/s;
　　　
若该机械波从Q传向P,且两质点之间存在一个波峰,那么波形图如图3、4所示,则波长λ3=d=0.4 m,λ4=d= m,故波速v3==2 m/s,v4== m/s,A、B错误。
　　　
t=0时刻P、Q均在平衡位置,根据以上分析可知质点Q可能向y轴正方向运动,也可能向y轴负方向运动,当质点Q向y轴正方向运动时,位于波谷的时刻是t=T=(0.2n+0.15) s(n=0,1,2,…),当n=0时t=0.15 s;当质点Q向y轴负方向运动时,位于波谷的时刻是t=T=(0.2n+0.05) s(n=0,1,2,…),当n=2时t=0.45 s,故C、D正确。
5.A　由振动图像可知,质点Q在t1时刻正在沿y轴负方向运动,由此可得,该简谐波沿x轴负方向传播,因此P在t1时刻的振动方向沿y轴正方向,故A正确;t2时刻质点Q处于波峰,此时Q的加速度最大,故B错误;由题图可知波长λ=8 m,周期T=0.2 s,可得t2-t1=nT+(n=0,1,2,…),故C错误;t1到t2内,Q运动的路程y=4nA+3A(n=0,1,2,…),当t1=0.1 s,在第一个时间内,P沿y轴正方向运动到波峰,又沿y轴负方向回到原位置,路程y2=(2-)A方法技巧　起点位置不在平衡位置、波峰或波谷,如果向衡位置的方向运动,在内通过的路程大于1倍振幅(因为在平衡位置时速度最大),如果向远离平衡位置的方向运动,在内通过的路程小于1倍振幅。
6.ABC　设质点b的振动方程为yb=2 sin t+φb cm,代入t=0,可得yb=2 sin φb cm= cm,结合b沿y轴正向运动,解得φb=,在t=时刻,质点b的位移为yb=2 sin cm=0,可知质点b刚好位于平衡位置,速度最大,选项A正确;质点b的振动方程为yb=2 sin cm,同理可得质点a的振动方程为ya=2 sin cm,则a、b两个质点的振动时间差为Δt=nT+=T(n=0,1,2,…),a、b两个质点的距离为Δx=vΔt=vT=λ=50 cm(n=0,1,2,…),可得波长为λ= cm(n=0,1,2,…),当n=4时,可得λ=12 cm,选项B正确;因为a、b两个质点的振动时间差为Δt=T(n=0,1,2,…),可知当两质点分别位于平衡位置的上、下方且离平衡位置距离相等时,两质点的速度相同,选项C正确;因为a、b两个质点的振动时间差为Δt=T(n=0,1,2,…),当质点b的位移为2 cm时,即质点b位于波峰时,质点a的位移为正,选项D错误。
7.答案　(1)见解析　(2)波沿x轴正方向传播
关键点拨
　　波的传播方向不确定、波形具有周期性造成多解,分情况列通式讨论。
解析　(1)若波沿x轴正方向传播,根据图像可知,时间t内波传播的距离为x1=nλ+λ(n=0,1,2,3,…)
其中λ=24 cm
波传播的速度v1==
根据题意有T解得n=1或2
解得x1=42 cm或x1=66 cm
若波沿x轴负方向传播,根据图像可知,时间t内波传播的距离为x2=nλ+λ(n=0,1,2,3,…)
波传播的速度v2==
根据题意有T解得n=1或2
解得x2=30 cm或x2=54 cm
(2)若波速为v=1.8 m/s,根据v=
解得波传播的距离Δx=90 cm=3λ+λ
结合上述可知,波沿x轴正方向传播。
8.答案　(1)1.2 s　(2) m/s(n=0,1,2,…)
解析　(1)在t=0时刻,质点a正沿y轴负方向运动,
质点a的振动方程y=2 cos (ωt+φ) cm
当t=0时,y=1 cm,代入得1=2 cos φ
解得φ=
当t'=0.1 s时,质点a第一次回到平衡位置,则有y=0,代入得0=2 cos (0.1ω+φ)
又ω=
联立解得该简谐横波的周期为T=1.2 s
(2)质点a、b的运动方向始终相反,则有Δx=(2n+1)=30 m(n=0,1,2,…)(破题关键)
该简谐横波的传播速度为v=
联立解得v= m/s(n=0,1,2,…)
9.答案　(1)见解析　(2)沿x轴负方向传播　33 m/s
解析　(1)由图乙可知,t=0时刻,质点A经平衡位置且向上振动,质点B经y=4 cm位置也向上振动。
若该波沿x轴正方向传播,则A、B之间的最简波形为
则有xAB=λ(n=0,1,2,…)
解得λ= m(n=0,1,2,…)
若该波沿x轴负方向传播,则A、B之间的最简波形为
则有xAB=λ(n=0,1,2,…)
解得λ= m(n=0,1,2,…)
(2)由图乙可知周期T=4 s,波传播的速度v=
若该波沿x轴正方向传播,有v== m/s(n=0,1,2,…)
此时波的传播速度均小于10 m/s,不满足题意
若该波沿x轴负方向传播,有v= m/s(n=0,1,2,…)
由于波速v>10 m/s,解得符合条件的波速v=33 m/s
结合上述可知,波沿x轴负方向传播,传播速度大小为33 m/s。三年模拟练
应用实践
1.[2025上海复旦大学附中期中]战斗绳是目前非常流行的一种高效锻炼全身的健身器材。在某次训练中,运动员手持绳的一端甩动形成的绳波可简化为简谐波,图甲是t=0.3 s时的波形图,x=0处质点的振动图像如图乙所示,质点A的平衡位置在x=2.5 m处,则(　　)
　　
A.这列波向x轴负方向传播
B.这列波的传播速度为1 m/s
C.t=0.6 s时质点A的加速度方向沿y轴负方向
D.t=0.3 s至t=0.55 s时间内,质点A通过的路程为3 cm
2.[2026河北沧州期中]三颗小石子先后在t0、t1、t2时刻落到平静的水面上,一段时间后激起的水波如图中实线所示。已知图中的三个圆两两相切,圆心A、B、C在同一直线上,A、B两点之间的距离为l,则水波的传播速度为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.[2025河北石家庄模拟预测]如图所示,将两根粗细相同、材料不同的长软绳甲、乙的一端连接在一起,1、2、3、4、…为绳上的一系列间距均为0.1 m的质点,其中质点10为两绳的结点,绳处于水平方向。手持质点10在竖直方向做简谐运动,形成向左和向右传播的两列简谐波Ⅰ、Ⅱ,其中波Ⅰ的波速为0.2 m/s。某时刻质点10处在波谷位置,5 s后此波谷传到质点15,此时质点10正好通过平衡位置向上运动,质点10与质点15之间还有一个波谷,下列说法正确的是(　　)
A.质点10的振动周期为2 s
B.波Ⅰ的波长为 m
C.波Ⅱ的波长为 m
D.当质点15处于波峰时,质点6处于平衡位置
4.(多选题)[2026浙江金华一模]如图1所示,在同一均匀介质中有A、B、C、D、E五个点,其中A、B、C、D四个点的连线构成一个矩形,AB=CD=8 m,AD=BC=6 m,E点为矩形对角线的交点。t=0时刻,分别位于A、B、C、D处的四个横波波源同时开始沿y轴正方向(垂直纸面向上)振动,各波源的振动图像分别如图2、图3所示。已知A、C处的波源形成的两列波的波长均为4 m。下列说法正确的是(　　)
　
A.B、C处的波源形成的两列波的波长一致
B.t=3.5 s时,E处的质点位移为4 cm
C.t=6 s时,E处的质点位移为4 cm
D.t=7 s时,E处的质点运动速度方向为y轴正方向
5.(多选题)[2026浙江舟山期末]均匀介质中有一三维坐标系,x、y轴在水平面内,z轴垂直于xOy平面。波源O由平衡位置开始垂直xOy平面振动,产生的简谐横波在水平面内向四周传播,某时刻(设为t=0时刻)出现如图甲所示的状态,实线圆、虚线圆分别表示波峰、波谷,且此时刻水平面内只有一圈波谷。图乙是水平面内某一质点的振动图像。下列说法正确的是(　　)
　
A.该波遇到10 m大小的物体时不能发生衍射
B.t=0.15 s时质点B开始振动
C.图乙可能是距O点1.5 m远的质点D的振动图像
D.在0~1.25 s这段时间内,质点C运动的路程为40 cm
6.[2026广东惠州期中]一列沿x轴负方向传播的简谐横波,在t=0时刻的波形图如图所示,此时坐标为(1 cm,0)的质点刚好开始振动,P质点的坐标为(3 cm,0)。在t1=0.6 s时刻,P质点首次位于波峰位置,Q点的坐标是(-3 cm,0),从t=0时刻开始计时。
(1)求这列波的传播速度;
(2)若经t2时间Q质点第一次到达波谷,求t2;
(3)求t3=1.8 s时质点P的路程和位移。
7.[2026山东青岛期中]图甲为装满介质的容器截面图,C、A、O、B为介质表面的水平面上的四个点,其中A和B是波源,O点位于不同深度的两部分介质分界线上。图乙和图丙分别是波源A和波源B振动一个周期后形成的图像。波源B到容器底部B'的距离hB=0.4 m,xOA=3 m,xOB=1 m,容器左侧壁与水平地面的夹角θ=45°。已知机械波在该均匀介质中的波速v与介质深度h的关系为v=,g=10 m/s2。当t=0时刻,两波源同时开始振动,t=0.75 s后O点振幅不再发生变化,求:
　
(1)波源B在容器底部B'处的波长λB及波源A到容器底部A'的距离hA;
(2)在A、C之间,距A点的距离为x时,波速vx与x的关系式;
(3)t=1.5 s时,质点O运动的路程。
答案与分层梯度式解析
三年模拟练
1.D　由题图乙可知,t=0.3 s时,x=0处的质点在平衡位置,沿y轴负方向运动,对照图甲,由带动法可知,该波沿x轴正方向传播,A错误;由题图甲知波长为λ=6 m,由题图乙知周期为T=0.6 s,波速v==10 m/s,B错误;t=0.3 s到t=0.6 s,经过半个周期,质点A运动到平衡位置下方,加速度方向沿y轴正方向,C错误;ω== rad/s,x=0处质点的振动方程为y=2 sin t cm,A质点比x=0处质点晚振动的时间是0.25 s,所以A质点的振动方程为yA=2 sin cm,在t=0.3 s时,A质点的位移y1=2 sin cm=1 cm,在t=0.55 s时,A质点的位移y2=2 sin cm=0,即t=0.55 s时,A质点恰好回到平衡位置,由于t=0.3 s至t=0.55 s的时间间隔大于T且小于T,所以质点A先到波峰再到平衡位置,通过的路程为1 cm+2 cm=3 cm,D正确。
方法技巧　画出质点A的振动图像,更方便计算路程。
2.B　
关键点拨
由图可知t0、t1、t2时刻的石子分别落在B、C、A三点,且t2时刻石子落在A点时,B处石子激起的水波刚好传播到A点,所以水波的传播速度为v=。故选B。
3.D
模型建构
质点每振动一个周期,波向前传播一个波长,经5 s质点10处的波谷传到质点15,此时质点10在平衡位置向上运动,质点10与质点15之间还有一个波谷,波形图如图所示,则λ2+λ2=0.5 m,T+T=5 s,解得λ2=0.4 m,T=4 s,选项A、C错误;根据v=可知波Ⅰ的波长为λ1=v1T=0.8 m,选项B错误;由波形图可知,再经过半个周期绳乙段质点13处的波峰传播到质点15,绳甲段质点10处的波形传播到质点6,故当质点15处于波峰时质点6处于平衡位置,选项D正确。
一题多解　t=5 s时质点15处于波谷,经到达波峰,而t=5 s时质点6位于平衡位置,经返回平衡位置,故当质点15处于波峰时质点6处于平衡位置,选项D正确。
4.CD　由图可知,B、C处的波源形成的两列波周期不同,但在同种均匀介质中波速相同,由λ=vT可知两列波的波长不同,A错误;四个波源与E点的距离均为5 m,四列波的振动均在5 s末才传到E点,t=3.5 s时,四列波的振动还未传到E点,因此t=3.5 s时,E处的质点位移为0,B错误;t=6 s时,四列波在E点的振动均持续了1 s,A、C两处波源形成的两列波在E点引起的振动位移均为2 cm,而B、D两处波源形成的两列波在E点引起的振动位移均为0,所以t=6 s时,E处的质点位移为4 cm,C正确;t=7 s时,四列波在E点的振动均持续了2 s,则A、C两处波源形成的两列波在E点引起的振动位移均为0,速度向下,B、D两处波源形成的两列波在E点引起的振动位移均为0,速度向上,由于B、D的周期比A、C的周期小,则B、D的y-t图线在平衡位置的斜率较大,速度较大(易错点),所以t=7 s时,E处的质点运动的合速度方向为y轴正方向(速度向上),D正确。
5.BD　实线圆、虚线圆分别表示波峰、波谷,由图甲可知λ=2 m-1 m=1 m,解得λ=2 m,该波遇到10 m大小的物体时仍然能够发生衍射现象(衍射是波的特有现象),只是由于波长比10 m小得多,不能发生明显的衍射现象,A错误;由图乙可知,周期为0.2 s,则波在该均匀介质中的传播速度v==10 m/s,波源O由平衡位置开始垂直xOy平面振动,由题此时刻(t=0时刻)水平面内只有x=1 m处一圈波谷,说明波刚传到x=2.5 m处(波刚传到的质点一定处于平衡位置),x=4 m处的质点B开始振动的时刻为t== s=0.15 s,B正确;由图乙可知,0时刻质点沿z轴正方向运动,对比图甲,结合同侧法可知,0时刻距O点1.5 m远的质点D沿z轴负方向运动,C错误;由上述分析,0时刻,距离O点2.5 m处质点开始振动,由图甲可知xOC= m=5 m,质点C开始振动的时间tC= s=0.25 s,在0~1.25 s这段时间内,质点C运动时间Δt=1.25 s-0.25 s=1.0 s=5T,可知在0~1.25 s这段时间内,质点C运动的路程为5×4×2 cm=40 cm,D正确。
6.答案　(1)0.05 m/s　(2)1.4 s　(3)36 cm　-4 cm
解析　(1)由波形图可知,波长λ=4 cm=0.04 m
由于波沿x轴负方向传播,根据波形平移法知t=0时刻P质点向下振动,经过T首次到达波峰位置,由此可知T=0.6 s
得T=0.8 s
故波速为v===0.05 m/s
(2)因波长为λ=4 cm,故经过一个周期T该波刚好传播到Q质点,根据传播方向可知Q质点向y轴正方向振动。质点Q再经T的时间到达波谷,因此t2=T+T=1.4 s
(另解:t=0时刻离Q最近的波谷在x=4 cm处,到Q的距离是7 cm,Q质点第一次到达波谷的时间t2= s=1.4 s)
(3)t3=1.8 s=T,根据t=0时的波形图,由同侧法知该时刻P质点向下振动,t3=1.8 s时,质点P的路程为s=×4A=36 cm
质点P的位移为x=-A=-4 cm
7.答案　(1)0.5 m　1.6 m　(2)vx= m/s(或vx= m/s)　(3)28 cm
解析　(1)由题可知,波源B在OB区域内的波速vB==2 m/s
由图丙可知波源B的周期T=0.25 s
则波源B在容器底部B'处的波长λB=vBT=0.5 m
波源B的振动形式传到O点所用时间为tB==0.5 s
由题t=0.75 s后O点振幅不再发生变化,可知波源A的振动形式传到O点所用时间tA=0.75 s
波源A在OA区域内的波速vA==4 m/s
由vA=,可得波源A到容器底部A'的距离hA=1.6 m
(2)由几何关系可得,在A、C之间,距A点的距离为x时,深度hx=hA-x=(1.6-x) m
则波速vx与x的关系式vx== m/s(或vx= m/s)
(3)由图乙、图丙可得波源A的振幅A1=5 cm,波源B的振幅A2=4 cm
当波源A的振动形式传到O点时,O点以波源B的振动形式振动了Δt=tA-tB=0.25 s=T
所以质点O先运动了s1=4A2=16 cm
t=0.75 s后,在O点发生干涉,由于两波源振动步调相反,故此时振幅A=A1-A2=1 cm
在t=0.75 s至t=1.5 s之间,质点振动了
1.5 s-0.75 s=0.75 s=3T
则质点O运动了s2=3×4A=12 cm
质点O运动的总路程为s=s1+s2=28 cm五年高考练
考点1　波长、波速、周期的关系
1.(多选题)[2025重庆,8]一小浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动,水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置,某时刻第1圈实线的半径为r,第3圈实线的半径为9r,如图所示,则(　　)
A.该波的波长为4r
B.该波的波速为2fr
C.此时浮筒在最低点
D.再经过,浮筒将在最低点
2.[2024广东,3]一列简谐横波沿x轴正方向传播,波速为1 m/s,t=0时的波形如图所示。t=1 s时,x=1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为(　　)
A.0　　B.0.1 m　　C.-0.1 m　　D.0.2 m
3.(多选题)[2025山东,9]均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波,振幅均为2 cm,波速均为1 m/s,M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示,M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是　(　　)
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时,M向y轴正方向运动
D.t=6 s时,N向y轴负方向运动
4.(多选题)[2025天津,7]位于坐标原点的波源从平衡位置开始沿y轴运动,在均匀介质中形成了一列沿x轴正方向传播的简谐波,P和Q是平衡位置分别位于x=3 m和x=7 m处的两质点,t=0时波形如图所示,此时Q刚开始振动,t=1 s时Q第一次到达波谷。则(　　)
A.该波在此介质中的波速为2 m/s
B.波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向
C.P的位移随时间变化的关系式为y=sin πt cm
D.平衡位置位于x=9 m处的质点在t=6 s时第一次到达波峰
5.[2025云南,7]如图所示,均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻,波源开始振动产生简谐横波,并以相同波速分别向左、右两侧传播,P、Q分别为矩形区域左右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示,则(　　)
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时,波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时,平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
考点2　振动图像和波动图像的综合
6.(多选题)[2024重庆,10]一列沿x轴传播的简谐波,在某时刻的波形图如图甲所示,一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示,若该波的波长大于3 m。则　(　　)
　
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为 cm
7(多选题)[2022山东,9]一列简谐横波沿x轴传播①,平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t=7 s时,简谐波的波动图像可能正确的是(　　)
①关键点拨　波的传播方向没有确定。
考点3　波的多解问题
8.(多选题)[2025陕晋青宁,8]一列简谐横波在介质中沿直线传播,其波长大于1 m,a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点,其振动图像如图所示。则t=0时的波形图可能为(　　)
　　　　
　　　　
9[2023海南,4]下面两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像①,下列说法正确的是(　　)
　
A.该波的周期是5 s
B.该波的波速是3 m/s
C.4 s时P质点向上振动
D.4 s时Q质点向上振动
①关键点拨　两质点振动方向始终相反,据此判断6 m与波长λ的关系。
考点4　波的叠加
10.(多选题)[2024山东,9]甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播,波速均为2 m/s。t=0时刻二者在x=2 m处相遇,波形图如图所示。关于平衡位置在x=2 m处的质点P,下列说法正确的是(　　)
A.t=0.5 s时,P偏离平衡位置的位移为0
B.t=0.5 s时,P偏离平衡位置的位移为-2 cm
C.t=1.0 s时,P向y轴正方向运动
D.t=1.0 s时,P向y轴负方向运动
11.[2025广西,13]某乐器发出频率为两倍关系的两个纯音(简谐声波),其波形叠加后呈现一种周期性变化。图甲和图乙分别为同一时刻两列简谐声波单独沿x正方向传播的波形图,图中的坐标原点位于同一质点处,声速为340 m/s。
(1)从图中读出这两列波的波长。
(2)该时刻这两列波叠加,分别求x=0和x=0.375 m处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移。
(3)求这两列波叠加后的周期。
考点5　波的干涉
12.[2025黑吉辽蒙,5]平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源,在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示,波谷用虚线表示,P点位于其最大正位移处,曲线ab上的所有点均为振动减弱点,则下列图中可能满足以上描述的是(　　)
　　　
13[2024江西,6]如图(a)所示,利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中,入射波为连续的正弦信号,探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号,分别如图(b)、(c)所示①。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s②。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d,下列选项正确的是(　　)
　　
A.振动减弱;d=4.725 mm
B.振动加强;d=4.725 mm
C.振动减弱;d=9.45 mm
D.振动加强;d=9.45 mm
①②关键点拨　读出时间差,已知波速,可计算d。
14.(多选题)[2025浙江1月,12]如图1所示,两波源S1和S2分别位于x=0与x=12 m处,以x=6 m为边界,两侧为不同的均匀介质。t=0时两波源同时开始振动,其振动图像相同,如图2所示。t=0.1 s时x=4 m与x=6 m两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响,则(　　)
A.t=0.15 s时两列波开始相遇
B.在6 mC.两列波叠加稳定后,x=8.4 m处的质点振动减弱
D.两列波叠加稳定后,在0自主招生
15.[清华大学THUSSAT诊断性测试]波源O从0时刻开始向上振动,在t1时刻的波形如图所示,已知在图示空间第一次出现如图所示的波形。则此波的速度为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案与分层梯度式解析
五年高考练
1.AD　
题图解读
由题可知,某时刻第1圈实线的半径为r,第3圈实线的半径为9r,可得2λ=9r-r,该波的波长λ=4r,A正确;该波在水中的波速为v=λf=4rf,B错误;由λ=4r可得此时第1圈实线的半径为r=λ,可得此时浮筒处于平衡位置,由于波向外传播,根据同侧法可知,此时浮筒处于平衡位置向下振动,再经过=T,浮筒将运动到最低点,C错误,D正确。
2.B　由题图可知该简谐横波的波长为λ=2 m,波速为1 m/s,所以周期为T===2 s,则经过Δt=1 s=,x=1.5 m处的质点从波谷运动半个周期到达波峰处,t=1 s时,x=1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为0.1 m,选项B正确。
一题多解　t=0时,x=1.5 m处质点位于波谷,0~1 s时间内波沿x轴正方向传播了1 m,则x=0.5 m处的质点的振动形式传播到x=1.5 m处,x=1.5 m处质点在t=1 s时处于波峰,其相对平衡位置的位移为0.1 m,选项B正确。
3.BD　由题图知,甲波的波长λ甲=4 m,甲波的周期T甲==4 s,A错误。由题图知λ乙=4 m,解得λ乙=6 m,B正确。根据“同侧法”,结合甲波的传播方向可知t=0时质点M向y轴正方向运动,当t=6 s=T甲时,质点M的位移yM=-1 cm,向y轴负方向运动;乙波的周期T乙==6 s,根据“同侧法”,结合乙波的传播方向可知t=0时质点N向y轴负方向运动,当t=6 s=T乙时,质点N的位移yN=1 cm,向y轴负方向运动,C错误,D正确。
4.AB　波沿x轴正方向传播,由图根据同侧法可知,Q点开始振动时的运动方向沿y轴负方向,则波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向,该波的波长为λ=2×(7-3) m=8 m,周期为T=4×1 s=4 s,则该波在此介质中的波速为v==2 m/s,A、B正确;由同侧法可知,此时(t=0时)P点从平衡位置沿y轴正方向振动,初相是φ=0,振幅为A=1 cm,则P的位移随时间变化的关系式为y=A sin = sin t cm,C错误;该波传播到x=9 m处的时间为t'= s=1 s,质点起振方向沿y轴负方向,则第一次到达波峰的时间为t″=T=3 s,则平衡位置位于x=9 m处的质点第一次到达波峰的时间为t=t'+t″=4 s,D错误。
一题多解　D选项:距x=9 m处最近的波峰在x=1 m处,x=9 m处的质点第一次到达波峰所用时间t==4 s,D错误。
5.D　由题图可知,λ=4 m,T=2 s,所以v==2 m/s,A错误;由于P点左侧形成波形先于Q点右侧形成波形,故波源的平衡位置在矩形区域中更靠近P点处,如图所示,结合波形可确定波源平衡位置距P点1 m,B错误;t=1.5 s时,P点处于平衡位置且向上运动,故可知t=1.0 s时,P点处于波谷,又由于P点平衡位置距波源1 m=,故可推知波源此时处于平衡位置且向上运动,C错误;t=2.5 s时,平衡位置在P、Q的两质点均在平衡位置,t'=5.5 s-2.5 s=3 s=T,则t=5.5 s时两质点仍在平衡位置,故位移相同,D正确。
6.BD　根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y=sin (ωt+φ) cm,代入点和(2 s,0),解得φ=,ω= rad/s,可得T=2.4 s,f= Hz,B正确;在题图甲中标出位移为 cm的质点P、Q,若波沿x轴正方向传播则为Q点,则有λ=3 m,得λ=9 m,若波沿x轴负方向传播则为P点,有λ'=3 m,得λ'=18 m,A错误;根据v=,可得v=3.75 m/s,v'=7.5 m/s,C错误;根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s= cm= cm,D正确。
考情分析　以波形图和质点的振动图像为情境设问,是高考中对机械波板块常见的考查方式,是必须熟练掌握的题型。
7.AC
题图解读
t=7 s时,平衡位置位于坐标原点的质点在平衡位置下方且沿y轴负方向振动,因此t=7 s时,若波沿x轴正方向传播,波形如C所示;若波沿x轴负方向传播,波形如A所示。故选A、C。
8.AD　B选项中波长小于1 m,B错误。t=0时刻,b应位于负向最大位移处,C错误;A、D选项图满足波长λ>1 m,以及t=0时刻a在平衡位置、b在负向最大位移处,A、D正确。
9.C
关键点拨
　　波传播过程中存在空间上的周期性,P、Q两质点振动方向始终相反,波长有多组解,对应的波速有多组值。
由振动图像可看出该波的周期T=4 s,A错误;由于Q、P两个质点振动方向始终相反,则可知两者间距离满足λ=6 m(n=0,1,2,…)(破题关键),则波速v== m/s(n=0,1,2,…),B错误;由P质点的振动图像可看出,4 s时P质点在平衡位置向上振动,C正确;由Q质点的振动图像可看出,4 s时Q质点在平衡位置向下振动,D错误。
10.BC
关键点拨
　　首先明确两列波在同一均匀介质中传播,其传播速度相同;其次判断两列波到达质点P时各自的运动情况,再根据两者振动情况判断出质点P的振动情况。
t=0.5 s时,Δx=v·Δt=1 m,甲波波谷传到P,乙波的平衡位置传到P,则此时P偏离平衡位置的位移为-2 cm,故B正确。t=1.0 s时,Δx'=v·Δt'=2 m,甲波和乙波的平衡位置均传到P,且都沿y轴正方向运动,故C正确。
一题多解　由题图知,乙波的波长为λ乙=2 m,周期T乙==1 s,甲波的波长为λ甲=4 m,周期T甲==2 s,由同侧法知,t=0时刻,甲波在P点引起的振动方向向下,乙波在P点引起的振动方向向上,Δt=0.5 s=T乙=T甲,甲波波谷传到P点,乙波平衡位置传到P点,由波的叠加知,P偏离平衡位置的位移为-2 cm,选项B正确,A错误;Δt=1 s=T乙=T甲,甲、乙两波平衡位置均传到P点且向上振动,由波的叠加知,P向y轴正方向运动,选项C正确,D错误。
11.答案　(1)0.5 m　1.0 m　(2)2 μm　- μm　(3) s
解析　(1)由题图甲可知,4λ甲=2.0 m
解得λ甲=0.5 m
由题图乙可知,2λ乙=2.0 m
解得λ乙=1.0 m
(2)由题图甲、乙可知,该时刻,图甲的波和图乙的波在x=0处偏离平衡位置的位移均为1.0 μm
因此这两列波叠加后在x=0处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为y0=2 μm
该时刻,图甲中的波使x=0.375 m=λ甲处的质点偏离平衡位置的位移为0
图乙中的波使x=0.375 m=λ乙处的质点偏离平衡位置的位移为- μm
因此这两列波叠加后在x=0.375 m处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为y0.375=- μm
(3)这两列波叠加后的波长λ=1.0 m
根据波长、波速与周期的关系有λ=vT,其中v=340 m/s
代入数据解得T= s
12.C　由题P点位于其最大正位移处,是两列波的波峰与波峰相交处,可知B、D错误;根据波的干涉规律可知,A图曲线ab上的点存在振动加强点,而C图可满足曲线ab上的点均为振动减弱点,A错误,C正确。
　
　
13.A
真题降维
根据反射信号图像可知,超声波的传播周期为T=2×10-7 s,波速v=6 300 m/s,则超声波在机翼材料中的波长λ=vT=1.26×10-3 m,两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt=1.5×10-6 s,故两个反射信号的路程差2d=vΔt=9.45×10-3 m=λ,解得d=4.725 mm,两个反射信号在探头处振动减弱,选项A正确。
一题多解　t=1.5 μs=7T时探头处机翼表面的反射信号在平衡位置且振动方向沿y轴负方向,缺陷表面的反射信号在平衡位置且振动方向沿y轴正方向,这两个反射信号在探头处的叠加效果为振动减弱。
14.BC　波在x=6 m左侧的波速v1= m/s=40 m/s,右侧的波速v2= m/s=60 m/s,设从0.1 s开始,再经过Δt时间两波相遇,则Δt==0.025 s,所以t1=0.1 s+0.025 s=0.125 s,选项A错误;在6 m名师点津　(1)本题中以x=6 m为边界,两侧为不同的均匀介质,两侧介质中的波速不同(同时不要忽略一列波经边界后的波速变化,这是容易出错的地方)。
(2)两不同介质中,波长不同,这时要判断振动加强点与减弱点,可在同一介质中重新定义两个“波源”(如本题中选择了x=0与x=6 m的两点),再根据一般方法去确定振动加强点与减弱点。
15.B　由同侧法可知,t1时刻O点向下振动,O'质点在最低点向上振动,由题意可知从0时刻到t1时刻经过,即=t1,由图可知λ=a,由公式v=,联立解得v=,选项B正确,A、C、D错误。专题专项练
易混易错练4
易错点1　对波的形成和传播规律理解不透彻
1.[2024北京海淀中关村中学期中]如图甲所示,在均匀介质中,各质点的平衡位置在同一直线上,相邻两质点间的距离均为s。振动从质点1开始向右传播,质点1开始振动时的速度方向向上。经过时间t,前13个质点第一次形成如图乙所示的波形。关于这列波,下列说法正确的是(　　)
A.这列波的周期为t
B.这列波的波长为9s
C.这列波的传播距离为12s
D.这列波的传播速度为
易错点2　不能正确区分振动图像与波的图像
2.[2024重庆第二外国语学校期中]一列简谐横波的波源在图中的坐标原点O处,经过0.4 s,振动从原点O向右传播20 cm,此时的波形如图所示,质点P离原点O的距离为80 cm。
(1)判断质点P起振时的速度方向;
(2)求波的传播速度和周期;
(3)由图示时刻开始计时,至质点P第一次到达波峰,求这段时间内波源在振动过程中通过的路程。
易错点3　对波的多解问题考虑不周全
3.(多选题)一列机械波经过t时间由图中实线波形变为图中虚线波形,波速为1 m/s,那么t的值可能是(　　)
A.1 s　　　　B.2 s
C.3 s　　　　D.4 s
易错点4　对波的叠加和干涉分析不全面
4.两个振幅相同的波源S1、S2在水槽中形成如图所示的波形,其中实线表示波峰,虚线表示波谷,则　(　　)
A.在两波相遇的区域中会产生干涉现象
B.a点在图示时刻的位移最大
C.a点的振动始终加强
D.a点的振动始终减弱
易错点5　盲目套用多普勒效应的规律
5.某人站在地面某处,一架飞机以恒定速度沿水平方向由远及近从人的头顶上方飞过,则人听到的飞机发出的声音的频率　(　　)
A.越来越低
B.越来越高
C.先变高后变低
D.先变低后变高
答案与分层梯度式解析
专题专项练
易混易错练4
1.D　经过时间t,前13个质点第一次形成题图乙所示的波形,由“同侧法”可知此时第13个质点速度方向向下,而波源的起振方向向上,可知第13个质点已经振动半个周期,设周期为T,则t=+=2T,解得T=,A错误;相邻波峰(或波谷)间的距离等于波长,由题图乙可知,这列波的波长为λ=8s,B错误;这列波传播的距离为x=2λ=16s,C错误;这列波的传播速度为v===,D正确。
错解分析　本题易误认为前13个质点第一次形成题图乙所示波形时,波刚传到第13个质点,从而造成错解。真实的情况:波源(质点1)的起振方向向上,质点13的起振方向也应向上,而图中质点13的运动方向却是向下的,说明质点13已经振动了半个周期。如图所示:
2.答案　(1)沿y轴负方向　(2)0.5 m/s　0.4 s
(3)60 cm
解析　(1)振动从O点向右传播,x=20 cm处质点的起振方向沿y轴负方向,则质点P起振时的速度方向沿y轴负方向。
(2)经过0.4 s,振动从O点向右传播20 cm,由题图可知波长为λ=20 cm,周期为T=0.4 s
则波速v==50 cm/s=0.5 m/s
(3)质点P第一次到达波峰,即x=5 cm处的振动状态传到P点,波传播的距离x1=75 cm,则从图示时刻开始计时,质点P第一次到达波峰所经过的时间
t==1.5 s=T
则这段时间内波源通过的路程为s=×4A=60 cm
错解分析　在求解第(3)问“质点P第一次到达波峰”所用的时间时,错把波的图像当成振动图像处理,直接接着原来的波形往后续画波形,误认为波传到质点P后P从平衡位置向上振动,经到达波峰而造成错解。正确的做法应是把整个波形沿波的传播方向平移,根据平移后所得新的波形分析问题。
3.AC　由图读出波长为λ=4 m,由波速公式v=得周期T== s=4 s。若波沿x轴正方向传播,则t=T=(4n+1) s(n=0,1,2,…),当n=0时,t=1 s;当n=1时,t=5 s。若波沿x轴负方向传播,则t=T=(4n+3) s(n=0,1,2,…),当n=0时,t=3 s;当n=1时,t=7 s。t不可能为2 s和4 s。由以上分析可知,A、C符合题意,B、D不符合题意。
错解分析　习惯性认为波的多解问题只是一种情况的多解,从而造成漏选。规避此类错误的方法:牢记造成多解的可能因素“二周二双”,“二周”指时间的周期性和空间的周期性,“二双”指传播方向的双向性和振动方向的双向性。
4.B　两列水波在水中传播的波速相等,从图中可以看出两列水波的波长不同(破题关键),根据v=λf,可知两列水波的频率不同,而只有两列波的频率相同时才可能发生干涉现象,所以在两波相遇的区域中不会产生干涉现象,不会出现振动始终加强点和减弱点,A、C、D均错误;图示时刻波峰与波峰在a点相遇,a点的位移为这两列波分别引起的位移的矢量和,则a点在图示时刻的位移最大,B正确。
错解分析　误认为只要波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇的地方振动就始终加强,从而造成错解。解答此类问题需谨记:只有当频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波发生干涉时,才会出现振动始终加强与始终减弱的区域。
5.A　当飞机飞近人时,将飞机的速度分解,如图甲所示,飞机朝向人的速度为v1=v cos α,α越来越大,则v1越来越小,故人听到飞机发出的声音的频率越来越低,但总是f听>f源。当飞机远离人时,将飞机的速度分解,如图乙所示,飞机背离人的速度v3=v cos α,α越来越小,则v3越来越大,即人听到飞机发出的声音的频率越来越低,且总是f听错解分析　易根据飞机和人的距离先减小后增大,误认为人听到飞机发出的声音的频率先变高后变低,从而错选C。对本题来说,当飞机靠近人时,人接收的频率是在大于飞机发出的频率的范围内减小的;当飞机远离人时,人接收的频率是在小于飞机发出的频率的范围内减小的。专题专项练
专题强化练6　波动图像和振动图像的综合
1.[2026四川阶段测试]一列简谐横波沿x轴方向传播,t=5.5 s时刻的波形图如图(a)所示,质点P的振动图像如图(b)所示,下列说法正确的是(　　)
　
A.这列波沿x轴负方向传播
B.这列波的波速为0.45 m/s
C.图(a)中质点P的纵坐标为6 cm
D.质点P起振后,9 s内经过的路程为60 cm
2.[2026云南昆明阶段测试]图甲为一列沿x轴方向传播的简谐横波,a、b为平衡位置在x轴上相距8 m的两质点。以波源开始振动为计时起点,在t=18 s时刻a、b间首次形成如图甲所示的波形,图乙为质点b振动的位移-时间图像,则(　　)
　
A.该简谐横波沿x轴负方向传播
B.该简谐横波波速为2 m/s
C.b点与波源在x轴方向上相距11 m
D.0~18 s内质点a运动的路程为80 cm
3.(多选题)[2026山东青岛期中]一列沿x轴传播的简谐横波,从某时刻开始计时,图甲为简谐波在t=0.35 s时的波形图,图乙为质点P的振动图像,周期为T,P、Q分别为简谐波上的一个质点,如图所示,下列说法正确的是(　　)
　
A.波沿x轴正方向传播
B.从图甲再经过t= s后,P点的位移是2 cm
C.从图甲再经过T后,Q点向上振动
D.质点Q在T内运动的最小路程为(8-4) cm
4.[2025广东广州期中]一列简谐横波沿x轴传播,t=0.1 s时的波形图如图甲所示,图乙为介质中质点A的振动图像。
　　
(1)求波的传播方向及波速;
(2)求质点A在振动1 s内经过的总路程;
(3)在t=0.1 s时,波刚好传播到坐标原点O,质点B的平衡位置在x轴上坐标为xB=-100 cm处(图中未画出),求波从O点传播到B点所用的时间及质点B处于波谷位置的时刻。
答案与分层梯度式解析
专题专项练
专题强化练6　波动图像和振动图像的综合
1.D
题图解读
从质点P的振动图像可知,在t=5.5 s时刻质点P沿y轴负方向运动,根据“微平移法”可知波沿x轴正方向传播,A错误;由题图(a)可知波长为λ=2.4 m,由题图(b)可知周期为T=6 s,则波速为v==0.4 m/s,B错误;质点P的振动方程为y=-10 sin t cm,则t=5.5 s时刻质点P的纵坐标为y=5 cm,C错误;由于9 s=T,则质点P起振后,9 s内经过的路程为s=×4A=×4×10 cm=60 cm,D正确。
方法技巧
微平移法
　　由于波沿x轴正方向传播时,波形也向x轴正方向平移,则作出经微小时间Δt后的波形曲线,就知道了各质点经过Δt时间后到达的位置,此时刻质点的振动方向也就知道了,如图所示。
2.C　由图乙可知,t=18 s时刻b点的振动方向为沿y轴负方向,结合图甲根据同侧法可知,该简谐横波沿x轴正方向传播,A错误;由图甲可知λ=12 m,由图乙可知T=12 s,故该简谐横波的波速为v==1 m/s,B错误;由图乙可知,波源开始振动后,振动经过Δt=11 s传到b点,故b点与波源在x轴方向上相距Δx=vΔt=11 m,C正确;0~18 s内质点a振动的时间为ta=(18-11) s+=7 s+ s=15 s=T,故0~18 s内质点a运动的路程为sa=×4A=×4×20 cm=100 cm,D错误。故选C。
方法技巧
振动图像与波的图像综合问题的分析思路
(1)确定波长λ:从波形图中可得一个完整波形在波的传播方向上对应的长度或相邻两个振动状态完全相同的质点之间的距离或相邻两波峰(或波谷)之间的距离。
(2)确定周期T:从振动图像中可得波源(或波中振动质点)完成一次全振动的时间;或由波的图像确定波长λ,结合题中给出的波速信息,由公式T=求得。
(3)根据图中信息确定波的传播方向和各质点振动方向,再结合题设条件和相应规律求解。
3.BD　由图乙可知,t=0.35 s时,质点P向上振动,对照图甲,根据同侧法可知,波沿x轴负方向传播,A错误。由图甲可知,振幅A=4 cm,由图乙可知,周期T=0.6 s,则ω== rad/s,t=0时质点P从平衡位置向下振动,则φ=π,故质点P的振动方程为y=A sin (ωt+φ)=-4 sin t cm,图甲为波在t=0.35 s时的波形图,所以再经过t= s后,P点的位移为y=-4 sin × cm=2 cm,B正确。t=0.35 s时,Q点向下振动,再经过T后,Q点已经运动到了平衡位置的下方且向下振动,C错误。质点Q在T内运动的最小路程为smin=2×(4-2) cm=(8-4) cm(如质点Q从A处远离平衡位置到波峰再从波峰衡位置到A处),D正确。故选B、D。
一题多解　B、C项:
4.答案　(1)x轴负方向　0.5 m/s　(2)1 m　(3)2 s　(2.25+0.2n) s(n=0,1,2,3,…)
解析　(1)由题图乙可知t=0.1 s时,质点A正经过平衡位置沿y轴负方向运动,结合题图甲可知,波的传播方向为沿x轴负方向,由题图甲可知波长λ=0.1 m,由题图乙可知周期为T=0.2 s,则波速v==0.5 m/s
(2)依题意,该波的振幅A=5 cm,由Δt=1 s=5T可知,质点A在振动1 s内经过的总路程s=5×4A=1 m
(3)波从O点传播到B点所用的时间tOB==2 s
质点B第一次离开平衡位置是向上运动的(破题关键),到处于波谷位置所需时间为
Δt'=T(n=0,1,2,3,…)
所以质点B处于波谷位置的时刻t=0.1 s+tOB+Δt'=(2.25+0.2n) s(n=0,1,2,3,…)

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